Propriétés des vecteurs gratuits, exemples, exercices

Les vecteurs gratuits Ce sont ceux qui sont pleinement spécifiés par leur ampleur, leur direction et leur signification, sans qu'il soit nécessaire d'indiquer un point d'application ou une origine particulière.

Étant donné que les vecteurs infinis peuvent être dessinés de cette manière, un vecteur libre n'est pas une entité unique, mais un ensemble de vecteurs parallèles et identiques qui sont indépendants de l'endroit où ils se trouvent.

Figure 1. Divers vecteurs gratuits. Source: auto-faite.

Disons qu'il existe plusieurs vecteurs de la magnitude 3 dirigés verticalement vers le haut, ou magnitude 5 et incliné à droite, comme dans la figure 1.

Aucun de ces vecteurs n'est spécifiquement appliqué à un certain point. Ensuite, l'un des vecteurs bleus ou verts est représentatif de leur groupe respectif, car ses caractéristiques - module, direction et sens - ne sont pas du tout modifiés lorsqu'ils sont transférés dans un autre endroit de l'avion.

Un vecteur gratuit est généralement indiqué dans du texte imprimé avec une lettre minuscule et audacieuse, par exemple V. Ou avec des minuscules et une flèche sur le dessus s'il s'agit d'un texte manuscrit.

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 Exemples

L'avantage des vecteurs libres est qu'ils peuvent être déplacés par un avion ou un espace et maintenir leurs propriétés, car tout représentant de l'ensemble est également valide.

C'est pourquoi en physique et en mécanique sont fréquemment utilisés. Par exemple, pour indiquer la vitesse linéaire d'un solide qui le déplace, il n'est pas nécessaire de choisir un point particulier de l'objet. Ensuite, le vecteur de vitesse se comporte comme un vecteur gratuit.

Un autre exemple de vecteur gratuit est la paire de forces. UN paire Il se compose de deux forces d'ampleur et de direction égales, mais de sens opposés, appliqué à différents points d'un solide. L'effet d'une paire n'est pas de transférer l'objet, mais de provoquer une rotation grâce au moment produit.

La figure 2 montre une paire de forces appliquées à un volant. À travers les forces F₁ et F₂, Le couple qui tourne le volant autour de son centre est créé et dans un calendrier.

Il peut vous servir: nitrure de bore (BN): structure, propriétés, obtention, utilisations Figure 2. Quelques forces appliquées à un volant offrent un tour de notation. Source: Bensko [domaine public].

Vous pouvez apporter des modifications à la paire et continuer à obtenir le même effet rotatif, par exemple augmenter la force, mais diminuer la distance entre eux. Ou maintenez la résistance et la distance, mais appliquez la paire sur un autre couple de points sur le volant, c'est-à-dire, tournez le couple autour du centre.

Le temps de la paire de forces ou simplement paire, C'est un vecteur dont le module est FD et est perpendiculaire au plan de roue perpendiculaire. Dans l'exemple indiqué par la convention, le temps de temps a un sens négatif.

Propriétés et caractéristiques

Contrairement au vecteur libre V, les vecteurs UN B et CD Ils sont fixes (voir figure 3), car ils ont spécifié le point de départ et le point d'arrivée. Mais être l'équipement les uns avec les autres, et à son tour avec le vecteur V, Ils sont représentatifs du vecteur libre V.

figure 3. Vecteurs gratuits, équipements et vecteurs fixes. Source: auto-faite.

Les principales propriétés des vecteurs libres sont les suivants:

-Tout vecteur UN B (Voir figure 2) Il est, comme indiqué, représentatif du vecteur libre V.

-Le module, la direction et le sens sont les mêmes dans n'importe quel représentant vectoriel libre. Dans la figure 2, les vecteurs UN B et CD Ils représentent le vecteur gratuit V Et ce sont de l'équipement.

-Étant donné un point P de l'espace, il est toujours possible de trouver un représentant vectoriel libre V dont l'origine est en p et ledit représentant est unique. C'est la propriété la plus importante des vecteurs gratuits et celui qui les rend si polyvalents.

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-Un vecteur libre Voyed est désigné comme 0 Et c'est l'ensemble de tous les vecteurs qui manquent de magnitude, de direction et de sens.

-Si le vecteur UN B représente le vecteur libre V, Puis le vecteur Ba représente le vecteur libre -V.

-La notation sera utilisée V³ pour désigner l'ensemble de tous les vecteurs sans espace et V² Pour désigner tous les vecteurs libres de l'avion.

Exercices résolus

Avec des vecteurs gratuits, vous pouvez effectuer les opérations suivantes:

-Ajout

-Soustraction

-Multiplication de l'escalade par un vecteur

-Produit scalaire entre deux vecteurs.

-Traverser le produit entre deux vecteurs

-Combinaison linéaire de vecteurs

Et de plus.

-Exercice 1

Un étudiant a l'intention de nager d'un point sur le rivage d'une rivière à une autre qui est précisément devant. Pour ne rien atteindre directement à une vitesse de 6 km / h, dans une direction perpendiculaire, mais le courant a une vitesse de 4 km / h qui le détourne.

Calculez la vitesse résultant du nageur et combien est détourné par le courant.

Solution

La vitesse d'étendue du nageur est la somme vectorielle de sa vitesse (par rapport à la rivière, tirée verticalement) et la vitesse de la rivière (dessinée de gauche à droite), qui est réalisée comme indiqué sur la figure ci-dessous:

L'amplitude de la vitesse résultante correspond à l'hypoténuse du triangle droit représenté par conséquent:

V = (6² + 4²) ^½ km / h = 7.2 km / h

L'adresse peut être calculée par angle par rapport à la perpendiculaire au rivage:

α = arctg (4/6) = 33.7e ou 56.3e concernant le rivage.

Exercice 2

Trouvez le temps de la paire de forces illustrée sur la figure:

Solution

Le moment est calculé par:

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M = r X F

Les unités du moment sont lb-f.pied. Étant donné que le couple est dans le plan de l'écran, le moment est réalisé perpendiculaire, soit vers l'extérieur ou vers l'intérieur.

Comme le couple de l'exemple a tendance à tourner l'objet sur lequel il est appliqué (qui n'est pas illustré sur la figure) dans un horaire, ce moment est considéré en pointant à l'intérieur de l'écran et avec un signe négatif.

L'ampleur du moment est m = f.d.péché A, étant à l'angle entre la force et le vecteur r. Vous devez choisir un point pour calculer le moment, qui est un vecteur gratuit. L'origine du système de référence est donc choisie r va de O au point d'application de chaque force.

M₁ = M₂ = -Fdsen60º = -500 . vingt .Sen 60º lb-f . pied = -8660.3 lb-f . pied

Le moment net est la somme de m₁ et M₂: -17329.5 lb-f . pied.

Les références

1. Beardon, t. 2011. Une introduction aux vecteurs. Récupéré de: nrich.Mathématiques.org.
2. Bedford, 2000. POUR. Mécanique pour l'ingénierie: statique. Addison Wesley. 38-52.
3. Figueroa, D. Série: Physique pour la science et l'ingénierie. Volume 1. Cinématique.31-68.
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5. Hibbeler, R. 2006. Mécanique pour les ingénieurs. Statique. 6e édition. Société de rédaction continentale. 15-53.
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