Sélections aléatoires avec ou sans remplacement

La sélection aléatoire Il consiste à choisir, au hasard, un élément ou un échantillon, basé sur un ensemble de données ou d'objets. Avec remplacement, cela signifie renvoyer l'élément à l'ensemble d'origine, et sans remplacement, cela signifie qu'il ne revient pas.

Dans le premier cas, lorsque l'élément sélectionné revient à l'ensemble d'origine, il n'est pas modifié, laissant ouverte la possibilité que cet élément soit choisi plus d'une fois. De cette façon, des extractions infinies peuvent être effectuées sur la même population, même si elle se compose de n éléments, étant fini.

Mais si la sélection est effectuée sans remplacement, l'ensemble d'éléments d'origine change chaque fois qu'un élément est extrait de celui-ci pour former l'échantillon. Et les éléments extraits n'ont aucune possibilité d'être sélectionnés.

À mesure que la population diminue, le nombre d'extractions qui peuvent être faits sur elle est finie.

Si la taille de la population N est petite, il y a une différence significative entre la sélection des éléments aléatoires avec ou sans remplacement. D'un autre côté, lorsque N est très grand, la différence est beaucoup plus faible, comme on le verra plus tard.

Sélection avec remplacement

La probabilité qu'un certain événement X se produise est le rapport entre le nombre de cas favorables et les cas totaux:

P (x) = cas favorable / total.

Si la population se compose de n différents éléments: x₁, X₂, X₃…, La probabilité de choisir l'élément x₁ est p (x₁) = 1 / n.

Comme il y a le remplacement, la taille de la population reste n, alors, la probabilité de choisir l'élément suivant x₂ est p (x₂) = 1 / n.

Et de la même manière, chacun des éléments restants a la même probabilité d'être sélectionné:

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P (x_n) = 1 / n

Par conséquent, étant les événements indépendants les uns avec les autres, la probabilité conjointe d'occurrence est le produit des probabilités de chacun d'eux:

P (x₁, X₂, X₃... X_n) = (1 / n) × (1 / n) ×… × (1 / n)

Sélection sans remplacement

Lors du choix d'un certain élément sans remplacement d'une population de taille n, la probabilité qu'un tel élément soit choisi est:

P (x₁) = 1 / n

Une fois cela fait, n - 1 éléments restent dans la population, par conséquent, la probabilité de choisir la suivante est:

P (x₂) = 1 / (n - 1)

Élu cet élément, la population se compose désormais de n - 2 éléments, dans ce cas, la probabilité de choisir ce qui suit est:

P (x₃) = 1 / (n - 2)

Et ainsi de suite. La probabilité pour le seul élément est:

P (x_n) = 1 / [n− (n-1)]

Enfin, la probabilité conjointe de sélectionner les éléments x₁, X₂, X₃… Dans le cadre de l'échantillon, c'est le produit de chacune des probabilités:

P (x₁, X₂, X₃…) = 1 / n × 1 / (n-1) × 1 / (n-2) ×… × 1 / [n− (n-1)] = 1 / [n × (n-1) × (n −2) ×… × [n− (n-1)]

Exemples

Dans les statistiques, l'action de sélection de l'échantillon est une expérience, l'ensemble des résultats possibles est l'espace d'échantillon et les résultats de l'expérience constituent un événement.

Exemple 1

Une boîte avec des billes de différentes couleurs est disponible: 12 rouge, 7 bleu et 5 vert. L'expérience consiste à extraire un seul marbre aléatoire.

Comme au total, il y a 24 billes dans la boîte, dont 12 sont rouges, la probabilité de retirer un marbre rouge, indiqué P (R), est:

P (r) = 12/24 = 1/2 = 0.5

Après cela, vous voulez connaître la probabilité d'extraire un marbre vert, c'est-à-dire P (V).

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Cette probabilité dépend du fait que le marbre rouge qui a été extrait en premier lieu revient à la boîte ou non. Si le marbre rouge est remis dans la boîte avec les autres, la sélection est avec remplacement ou remplacement, et sinon c'est une sélection sans remplacement.

Dans une sélection avec remplacement, l'espace d'échantillonnage ne change pas, il y a encore 24 billes dans la boîte et la probabilité d'extraire un marbre vert est:

P (v) = 5/24 = 0.vingt-et-un

Et si le marbre rouge initial n'est pas renvoyé dans la boîte, il y a 23 billes, et que la probabilité d'extraction d'un vert devrait être un peu plus grande:

P (v) = 5/23 = 0.22

Exemple 2

Dans une autre expérience avec la boîte en marbre, vous voulez calculer la probabilité que, lorsque deux billes sont extraites, la première est rouge et la suivante est bleue. Vous pouvez procéder de deux manières:

a) avec remplacement

Les deux événements sont indépendants, c'est-à-dire que la couleur du marbre extrait d'abord n'influence pas la probabilité d'obtenir un autre marbre d'une certaine couleur.

P (ra) = (12/24) × (7/24) = 84/576 = 0.146

b) Pas de remplacement

Lorsque vous quittez le premier marbre à l'extérieur, si c'était rouge, la probabilité d'extraire un bleu la deuxième fois est un peu plus grande:

P (ra) = (12/24) × (7/23) = 84/552 = 0.152

Exemple 3

Une ville en a 30.000 habitants, dont 15.423 sont des femmes. Vous souhaitez calculer la probabilité qu'en sélectionnant deux habitants, les deux sont des femmes.

a) avec remplacement

Soit P (M) la probabilité que l'habitant sélectionné soit une femme, alors:

P (m) = 15.423/30.000 = 0.51410

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Ainsi, la probabilité que la deuxième personne choisie est également une femme est:

P (mm) = p (m) × p (m) = 0.5140² = 0.2643

b) Pas de remplacement

Si la première personne choisie n'est pas "retournée", alors la probabilité de choisir une femme dans la deuxième tentative est:

P (m) = 15.422/29.999 = 0.51408

Il n'y a pas de différence significative avec le cas précédent. Et produit 0.51410 × 0.51408 est presque égal à 0.2643, le lecteur peut le vérifier avec la calculatrice.

Exercice résolu

Une boîte a 5 croyants verts, 2 croyants bleus et 3 croyants rouges, tous nouveaux et identiques. Déterminez la probabilité qu'en extrayant deux croyants de la boîte, aucune d'entre elles ne soit rouge:

a) avec remplacement. Ces événements sont-ils indépendants?

b) sans remplacement, indiquant si les événements sont indépendants.

Solution à

Il y a 10 croyant au total, dont 3 sont rouges et 7 ne sont pas. La probabilité P (R^*) Que la première croyance n'est pas rouge est:

P₁(R^*) = 7/10 = 0.7

La croyance est retournée à la boîte et la deuxième extraction est faite, avec le même résultat:

P₂(R^*) = 7/10 = 0.7

Les événements sont donc indépendants, la probabilité que dans cette expérience, aucune croyance n'est rouge n'est:

P₁(R^*) × P₂(R^*) = 0.7 × 0.7 = 0.49

Solution B

La probabilité d'obtenir une croyance qui n'est pas rouge dans la première tentative est la même que dans la section A). Mais dans la deuxième extraction, il y a déjà 9 croyants dans la boîte par conséquent:

P₂(R^*) = 6/9 = 0.666 ..

Et dans ce cas, la probabilité d'extraire une croyance qui n'est pas rouge est:

P₁(R^*) × P₂(R^*) = 0.7 × 0.666… = 7/15 = 0.47

Les événements ne sont pas indépendants.