Été télescopique Comment il est résolu et résolu des exercices

La addition Télescopique C'est une branche d'opérations avec des séries numériques. Aborde les résumés des éléments d'une valeur initiale à «n» des expressions dont l'argument est dû à l'un des modèles suivants:

(F_X - F_{x + 1}); F_{x + 1}  - F_X)

Où son expression sommaire est définie comme suit:

Comme aussi:

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Ils représentent une somme d'éléments qui, lors du développement, sont soumis à des annulations de termes opposés. Provoquant l'égalité suivante pour les sommations télescopiques:

Son nom vient de la relation avec l'apparition d'un télescope classique, qui pourrait être plié et déployé, modifiant considérablement sa dimension. De même, des sommations télescopiques, qui, dans leur nature, sont infinies, peuvent être résumées dans une expression simplifiée:

F₁ - F_{N + 1}

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Manifestation

Lors du développement de la somme des termes, l'élimination des facteurs est assez évidente. Où pour chacun des cas, des éléments opposés apparaîtront dans l'itération suivante.

Le premier cas sera pris comme exemple, (F_X - F_{x + 1}), puisque le processus fonctionne homologue à (f_{x + 1}-F_X).

Développement des 3 premières valeurs 1, 2, 3 La tendance de simplification est observée

X₁     (F₁ - F_{1 + 1}) = F₁ - F₂

X₂     (F₂ - F_{2 + 1}) = F₂ - F₃

X₃     (F₃ - F_{3 + 1}) = F₃ - F₄

Où en exprimant la somme des éléments décrits:

X₁ + X₂ + X₃ = F₁ - F₂ + F₂ - F₃ + F₃ - F₄

Il est observé que les termes f₂ et f₃ Ils sont décrits avec leurs opposés, ce qui rend leur simplification inévitable. De la même manière, il est observé que les termes f₁ et f₄ se maintiennent.

Si la somme était faite de x = 1 à x = 3, cela signifie que l'élément f₄ correspond au terme générique f_{N + 1.}

Démontant ainsi l'égalité:

Comment est-il résolu?

Le but des sommations télescopiques est de faciliter le travail, afin qu'il ne soit pas nécessaire de développer une quantité infinie de termes, ou de simplifier une chaîne trop longue.

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Pour la résolution, il ne sera que nécessaire d'évaluer les termes f₁ et f_{N + 1}. Ces substitutions simples constituent le résultat final de la somme.

La totalité des termes ne sera pas exprimée, devenant nécessaire pour la démonstration du résultat, mais pas pour le processus de calcul normal.

L'important est de remarquer la convergence de la série numérique. Parfois, l'argument de la somme ne sera pas exprimé de manière télescopique. Dans ces cas, la mise en œuvre de méthodes de factorisation alternatives est très courante.

La méthode de factorisation caractéristique dans les résumés télescopiques est celui des fractions simples. Cela se produit lorsqu'une fraction d'origine se décompose en une somme de plusieurs fractions, où le modèle télescopique peut être observé (F_X - F_{x + 1}) ou (f_{x + 1}  - F_X).

Décomposition en fractions simples

Pour vérifier la convergence des séries numériques, il est très courant de transformer les expressions rationnelles avec la méthode des fractions simples. Le but est de modéliser l'argument jusqu'à la forme d'une sommation télescopique.

Par exemple, l'égalité suivante représente une décomposition des fractions simples:

Lors du développement de la série numérique et de l'application des propriétés correspondantes, l'expression prend comme suit:

Où la forme télescopique peut être vue (f_X - F_{x + 1}).

La procédure est assez intuitive et consiste à trouver les valeurs du numérateur qui, sans casser l'égalité, permettent de séparer les produits qui sont dans le dénominateur. Les équations qui surviennent dans la détermination de ces valeurs sont soulevées en fonction des comparaisons entre les deux côtés de l'égalité.

Cette procédure est observée étape par étape dans le développement de l'exercice 2.

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Histoire

Il est tout à fait incertain de pouvoir définir le moment historique dans lequel les sommations télescopiques ont été présentées. Cependant, sa mise en œuvre commence à être vue au XVIIe siècle, dans des études de séries numériques réalisées par Leibniz et Huygens.

Les deux mathématiciens, lors de l'exploration des résumés des nombres triangulaires, commencent à remarquer les tendances de la convergence de certaines séries d'éléments successifs. Mais encore plus intéressant est le début de la modélisation de ces expressions, dans des éléments qui ne se produisent pas nécessairement.

En fait, l'expression précédemment utilisée pour se référer à des fractions simples:

Il a été présenté par Huygens et a immédiatement appelé l'attention de Leibniz. Qui au fil du temps pourrait observer la convergence en valeur 2. Sans le savoir, il a mis en œuvre la sommation télescopique.

Exercices

Exercice 1

Définissez quel terme la somme suivante converge:

Lorsque la somme est développée manuellement, le modèle suivant est observé:

(2³ - 2⁴) + (2⁴ - 2⁵) + (2⁵ - 2⁶)… (2^dix - 2^onze)

Où les facteurs de 2⁴ jusqu'à 2^dix Ils présentent des pièces positives et négatives, rendant leur annulation évidente. Alors les seuls facteurs qui ne seront pas simplifiés seront le premier «2³"Et le dernier" 2^onze".

De cette façon, dans la mise en œuvre des critères de résumé télescopiques, il est obtenu:

Exercice 2

Transformez l'argument en une somme de type télescopique et définissez la convergence de la série:

Comme indiqué dans la déclaration, la première chose sera de se décomposer en fractions simples, afin de repenser l'argument et de l'exprimer sous une forme télescopique.

2 fractions dont les dénominateurs sont respectivement «n» et «n + 1» doivent être trouvés, où la méthode utilisée ci-dessous doit atteindre les valeurs du numérateur qui respectent l'égalité.

Les valeurs de A et B sont définies. La première somme de fractions est faite.

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Ensuite, les dénominateurs sont simplifiés et une équation linéaire est établie.

À l'étape suivante, l'expression de la droite est opérée, jusqu'à un modèle comparable avec le «3» à gauche.

Pour définir les équations à utiliser, les résultats des deux côtés de l'égalité doivent être comparés. Autrement dit, aucune valeur n variable n'est observée sur le côté gauche, de cette façon, A + B devra être égal à zéro.

A + b = 0; A = -b

D'un autre côté, la valeur constante devra être égale à la valeur constante 3.

A = 3

Donc.

A = 3 et b = -3

Déjà défini les valeurs du numérateur pour les fractions simples, la somme repense.

Où la forme générique de sommation télescopique a déjà été réalisée. La série télescopique est développée.

Où en divisant par un très grand nombre, le résultat se rapproche de plus en plus, observant la convergence de la série à la valeur 3.

Ce type de série n'a pas pu être résolu en d'autres termes, en raison de la quantité infinie d'itérations qui définissent le problème. Cependant, cette méthode, avec beaucoup d'autres, encadrent la branche de l'étude de la série numérique, dont l'objectif est de déterminer les valeurs de convergence ou de définir la divergence de ces séries.

Les références

1. Leçons de calcul infinitésimal. Manuel Franco, Manuel Franco Nicolás, Francisco Martínez González, Roque Molina Legaz. Editum, 1994.
2. Calcul complet: successions et séries de fonctions. Antonio Rivera Figueroa. Groupe de rédaction de Patria, 21 octobre. 2014.
3. Un cours de calcul et d'analyse réelle. Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. Springer Science & Business Media, 5 juin. 2006.
4. Série infinie. Fort de Tomlinson. The Clarendon Press, 1930.
5. Éléments de la théorie des processions infinies. Lloyd leRoy Smail. McGraw-Hill Book Company, Interpan, 1923.