Propriétés de nombres imaginaires, applications, exemples

Les Nombres imaginaires Ce sont ceux qui donnent une solution à l'équation dans laquelle l'inconnu, le carré élevé, est égal à un réel nombre négatif. L'unité imaginaire est I = √ (-1).

Dans l'équation: z²= - A, z C'est un nombre imaginaire qui est exprimé comme suit:

 Z = √ (-a) = i√ (a)

Être pour Un nombre réel positif. Ouais A = 1, ensuite z = i, où Toi est l'unité imaginaire.

Figure 1. Plan complexe montrant des nombres réels, des nombres imaginaires et des nombres complexes. Source: F. Zapata.

En général, un nombre imaginaire Z est toujours exprimé sous forme: 

z = y⋅i

Où et C'est un nombre réel et Toi est l'unité imaginaire.

Ainsi que des nombres réels sont représentés sur une ligne, appelée Vraie droite, Analogue les nombres imaginaires sont représentés sur le Straitement imaginaire.

La Straitement imaginaire Il est toujours orthogonal (forme à 90 °) Vraie droite et les deux lignes définissent un plan cartésien appelé le Plan complexe.

La figure 1 montre le plan complexe et certains nombres réels, certains nombres imaginaires et aussi certains nombres complexes y sont représentés:

X₁, X₂, X₃ Ce sont de vrais nombres

ET₁, ET₂, ET₃ Ce sont des nombres imaginaires

Z₂ et Z₃ Ce sont des nombres complexes

Le nombre ou est le véritable zéro et est également le zéro imaginaire, de sorte que l'origine ou est le complexe zéro exprimé par:

0 + 0i 

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Propriétés

L'ensemble des nombres imaginaires est indiqué par:

I = …, -3i,…, -2i,… .,-Yo,… .,0i, .. .,Yo,… .,2i, .. .,3i,…

Et certaines opérations sur cet ensemble numérique peuvent être définies. Un nombre imaginaire n'est pas toujours obtenu à partir de ces opérations, nous les verrons donc avec un peu plus de détails:

Somme et soustraction de l'imaginaire

Les nombres imaginaires peuvent ajouter et se soustraire les uns des autres et, par conséquent, il y aura un nouveau numéro imaginaire. Par exemple:

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 3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

Produit imaginaire

Lorsque le produit d'un numéro imaginaire avec un autre est fait, le résultat est un nombre réel. Faisons l'opération suivante pour vérifier:

2i x 3i = 6 x i² = 6 x (√ (-1))² = 6 x (-1) = -6.

Et comme nous le voyons, le -6 est un nombre réel, bien qu'il ait été obtenu en multipliant deux nombres imaginaires purs.

Produit d'un nombre réel pour un autre imaginaire

Si un nombre réel est multiplié par I, le résultat sera un nombre imaginaire, ce qui correspond à une rotation à 90 degrés.

Et c'est que je² correspond à deux rotations consécutives de 90 degrés, ce qui équivaut à la multiplication par -1, c'est-à-dire i² = -1. Il peut être vu dans le diagramme suivant:

Figure 2. La multiplication par l'unité imaginaire et correspond à des rotations à 90 °. Source: Wikimedia Commons.

Par exemple:

-3 x 5i = -15i

-3 x i = -3i.

Potentialisation d'un imaginaire

La potentialisation d'un nombre imaginaire à un exposant entier peut être définie:

Toi¹ = i

Toi² = i x i = √ (-1) x √ (-1) = -1

Toi³ = i x i² = -I

Toi⁴ = i² x i² = -1 x -1 = 1

Toi⁵ = i x i⁴ = i

En général, vous devez Toiⁿ = i ^ (n mod 4), où Mod C'est le résidu de la division entre n et 4.

La potentialisation des entiers négatives peut également être fabriquée:

Toi^-1 = 1 / i¹ = i / (i x i¹) = I / (i²) = I / (-1) = -i

Toi-² = 1 / i² = 1 / (-1) = -1

Toi-³= 1 / i³ = 1 / (-i) = (-1) / i = -1 x i^-1 = (-1) x (-i) = i

En général, le nombre imaginaire B⋅i élevé au pouvoir n est:

(B⋅i) iⁿ = bⁿ Toiⁿ = bⁿ i ^ (n mod 4)

Quelques exemples sont les suivants:

(5 i)¹² = 5¹² Toi¹² = 5¹² Toi⁰ = 5¹² x 1 = 244140625

(5 i)^onze = 5^onze Toi^onze = 5^onze Toi³ = 5^onze x (-i) = -48828125 I

(-2 i)^dix = -2^dix Toi^dix = 2^dix Toi² = 1024 x (-1) = -1024

Somme d'un nombre réel et d'un imaginaire

Lorsqu'un nombre réel est ajouté avec imaginaire, le résultat n'est ni réel ni imaginaire, c'est un nouveau type de numéro appelé Nombre complexe.

Par exemple, si x = 3,5 et y = 3,75i, alors le résultat est le nombre complexe:

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Z = x + y = 3,5 + 3,75 i

Notez que les parties réelles et imaginaires ne peuvent pas être regroupées dans la somme, donc un nombre complexe aura toujours une partie réelle et une autre partie imaginaire.

Cette opération étend l'ensemble des nombres réels au plus large des nombres complexes.

Applications

Le nom des nombres imaginaires a été proposé par le mathématicien français René Descartes (1596-1650) en tant que moquerie ou désaccord avec la proposition de leur mathématicien italien du Raffaelle Century Bombelli.

D'autres grands mathématiciens, comme Euler et Leibniz, ont appuyé Descartes dans ce désaccord et appelé nombres imaginaires comme Nombres d'amphibiens, qui ont été débattus entre être et néant.

Le nom des nombres imaginaires est maintenu aujourd'hui, mais son existence et son importance sont très réelles et palpables, car elles apparaissent naturellement dans de nombreux domaines de la physique tels que:

-La théorie de la relativité.

-En électromagnétisme.

-Mécanique quantique.

Exercice avec des nombres imaginaires

- Exercice 1

Trouvez les solutions de l'équation suivante:

z² + 16 = 0

Solution

z² = -16

Prendre une racine carrée dans les deux membres que vous avez:

√ (z² ) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = i x 4 = 4i

En d'autres termes, les solutions de l'équation d'origine sont:

z = + 4i ou z = -4i.

- Exercice 2

Trouvez le résultat de l'augmentation de l'unité imaginaire à la puissance 5 moins soustraction L'unité imaginaire élevée à la puissance -5.

Solution

Toi⁵ - Toi-⁵ = i⁵ - 1 / i⁵ = i - 1 / i = i - (i) / (i x i) = i - i / (- 1) = i + i = 2i

- Exercice 3

Trouvez le résultat de l'opération suivante:

(3i)³ + 9i 

Solution

3³ Toi³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- Exercice 4

Trouvez les solutions de l'équation quadratique suivante:

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(-2x)² + 2 = 0

Solution

L'équation est réorganisée comme suit:

(-2x)² = -2

Puis prendre une racine carrée dans les deux membres

√ ((-2x)²) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i

Ensuite, X est enfin obtenu:

x = ± √2 / 2 i

C'est-à-dire qu'il existe deux solutions possibles:

x = (√2 / 2) i

Ou cet autre:

x = - (√2 / 2) i

- Exercice 5

Trouvez la valeur de z définie par:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

Solution

Nous savons que la racine carrée d'un nombre réel négatif est un nombre imaginaire, par exemple √ (-9) est égal à √ (9) x √ (-1) = 3i.

D'un autre côté, √ (-4) est égal à √ (4) x √ (-1) = 2i.

Afin que l'équation d'origine puisse être remplacée par:

3i x 2i - 7 = 6 I² - 7 = 6 (-1) -7 = -6 -7 = -13

- Exercice 6

Trouvez la valeur de Z résultant de la division suivante de deux nombres complexes:

Z = (9 - i²) / (3 + i)

Solution

Le numérateur d'expression peut prendre en compte la propriété suivante:

Une différence de carrés est le produit de la somme par la différence des binomiaux sans augmenter le carré.

Ensuite:

Z = [(3 - i) (3 + i)] / (3 + i)

L'expression résultante est ensuite simplifiée en restant

Z = (3 - i)

Les références

1. Earl, R. Nombres complexes. Récupéré de: mathématiques.bœuf.CA.ROYAUME-UNI.
2. Figuera, J. 2000. Mathématiques 1er. Diversifié. Éditions co-bo.
3. Hoffmann, J. 2005. Sélection de problèmes de mathématiques. Publications Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Algèbre. Prentice Hall.
5. Wikipédia. Numéro imaginaire. Récupéré de: dans.Wikipédia.org