Calcul des jeunes modules, applications, exemples, exercices

Il Jeune module o Le module d'élasticité est la constante qui relie l'effort de traction ou de compression à l'augmentation respective ou à la diminution de la longueur que l'objet soumis à ces forces a.

Les forces externes appliquées aux objets peuvent non seulement modifier leur statut de mouvement, mais ils sont également capables de changer leur forme ou même de les casser ou de les fracturer.

Figure 1. Les mouvements du chat sont pleins d'élasticité et de grâce. Source: Pixabay.

Le module de Young sert à étudier les changements produits dans un matériau lorsqu'une traction ou une force de compression est appliquée à un niveau extérieur. Il est très utile dans des questions telles que l'ingénierie ou l'architecture.

Le modèle doit son nom au scientifique britannique Thomas Young (1773-1829), qui est celui qui a effectué des études de matériaux proposant une mesure de la rigidité des différents matériaux.

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Quel est le modèle de Young?

Le modèle de Young est une mesure de rigidité. Dans les matériaux à faible rigidité (rouge), il y a plus de déformation face à une extension ou à une charge de compréhension. Tigraan / cc by-sa (https: // CreativeCommons.Org / licences / by-sa / 4.0)

Combien un objet peut-il se déformer? C'est quelque chose que les ingénieurs veulent souvent savoir. La réponse dépendra des propriétés du matériau et des dimensions que vous avez.

Par exemple, deux barres en aluminium peuvent être comparées à différentes dimensions. Chacun a une zone transversale et longueur différente, et les deux sont soumis à la même force de traction.

Le comportement attendu sera le suivant:

- Une épaisseur plus grande (section transversale) de la barre, moins d'étirement.

- Une plus grande longueur initiale, plus grand tronçon final.

Cela a du sens, car après tout, l'expérience indique qu'il n'est pas la même chose d'essayer de déformer une ligue en caoutchouc que d'essayer de le faire avec une canne en acier.

Un paramètre appelé le module d'élasticité du matériau est un indicatif de sa réponse élastique.

Comment est-il calculé?

En tant que médecin, Young voulait connaître le rôle de l'élasticité des artères dans la bonne performance de la circulation sanguine. D'après ses expériences, il a conclu la relation empirique suivante:

L'effort est proportionnel à la déformation, tant que la limite élastique du matériau n'est pas dépassée.

Il est possible de représenter graphiquement le comportement d'un matériau avant l'application d'un effort, comme on peut le voir dans la figure suivante.

Figure 2. Graphique de contrainte en fonction de la déformation pour un matériau. Source: auto-faite.

De l'origine au point

Dans la première section, qui va de l'origine au point A, le graphique est une ligne droite. Il y a une loi de Hooke valide:

F = kx

Où F C'est l'ampleur de la force qui revient au matériau à son état d'origine, X C'est la déformation vécue par cela et k C'est une constante qui dépend de l'objet en termes d'effort.

Les déformations considérées ici sont petites et le comportement est parfaitement élastique.

De A à B

De A à B, le matériau se comporte également élastique, mais la relation entre l'effort et la déformation n'est plus linéaire.

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De B ​​à C

Parmi les points B et C, le matériel subit une déformation permanente, incapable de revenir à son état d'origine.

De c

Si le matériau continue de s'étirer du point C, il subit enfin une pause.

Mathématiquement, les observations de Young peuvent être résumées comme suit:

Effort ∝ déformation

Où la constante de proportionnalité est précisément le module d'élasticité du matériau:

Effort = module d'élasticité x déformation

Il existe de nombreuses façons de déformer les matériaux. Les trois types d'efforts les plus courants pour soumettre un objet sont:

- Tension ou étirement.

- Compression.

- Couper ou cisaillement.

Un effort à quels matériaux sont couramment soumis, par exemple dans la construction civile ou les pièces automobiles, est la traction.

Formules

Lorsqu'un objet de longueur L est étiré ou tendu, il subit une traction qui provoque une variation de sa longueur. Un schéma de cette situation est représenté dans la figure 3.

Cela nécessite qu'une force de magnitude F par unité de surface soit appliquée à ses extrémités, pour provoquer des étirements, de sorte que sa nouvelle longueur devient l + dl.

L'effort fait pour déformer l'objet sera précisément cette force par unité de surface, tandis que le Déformation unitaire expérimenté est ΔL / L.

figure 3. Un objet subissant une traction ou des étirements, éprouve un allongement. Source: auto-faite.

Indiquer le module de Young comme ET, Et selon ce qui a été dit ci-dessus:

 Pourquoi la déformation unitaire est-elle spécifiquement choisie et pas simplement la déformation pour sécher?

La réponse est dans le fait que la déformation unitaire indique la déformation relative par rapport à la longueur d'origine. Il n'est pas la même.

Pour le bon fonctionnement des pièces et des structures, il y a une tolérance en termes de déformations relatives autorisées.

Équation pour calculer la déformation

Si l'équation précédente est analysée comme suit:

Il est facile de vous convaincre que pour une certaine force F, il répond aux observations que Young a fait et qu'ils ont été décrits ci-dessus:

- Une plus grande zone de section transversale, déformation inférieure.

- Une plus grande longueur, une plus grande déformation.

- Un module jeune plus élevé, déformation inférieure.

Les unités d'effort correspondent à Newton / Metter carré (N / M²). Ce sont aussi les unités de pression qui, dans le système international, sont nommées Pascal. La déformation unitaire ΔL / L est à la place sans dimension car c'est le quotient entre deux longueurs.

Les unités du système anglais sont LB / PLG² Et ils sont également utilisés très fréquemment. Le facteur de conversion pour passer de l'un à l'autre est: 14.7 lb / plg² = 1.01325 x 10⁵ Pennsylvanie

Cela conduit au jeune module a également des unités de pression. Enfin, l'équation précédente peut être exprimée pour claire ET:

Applications

Dans la science des matériaux, la réponse élastique de celles-ci face à divers efforts est importante pour sélectionner la plus appropriée dans chaque application, que ce soit pour fabriquer l'aile d'un avion ou d'un roulement automobile. Les caractéristiques du matériau à utiliser sont décisives dans la réponse attendue de celle-ci.

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Pour choisir le meilleur matériel, il est nécessaire de connaître les efforts auxquels une certaine pièce sera soumise; et par conséquent sélectionner le matériau qui a les propriétés les plus cohérentes avec la conception.

Par exemple, l'aile d'un avion doit être résistante, légère et capable de flexion. Les matériaux utilisés dans la construction des bâtiments doivent résister aux mouvements sismiques dans une large mesure, mais ils doivent également avoir une certaine flexibilité.

Les ingénieurs qui conçoivent les ailes des avions et aussi ceux qui choisissent les matériaux de construction doivent utiliser des graphiques de déformation d'effort tels que celui illustré à la figure 2.

Il est possible d'effectuer les mesures pour déterminer les propriétés élastiques les plus pertinentes d'un matériau dans des laboratoires spécialisés. Ainsi, il existe des preuves standardisées auxquelles les échantillons sont soumis, auxquels divers efforts sont appliqués, puis à mesurer les déformations résultantes.

Exemples

Comme mentionné ci-dessus, ET Il ne dépend pas de la taille ou de la forme de l'objet, mais des caractéristiques du matériau.

Une autre note très importante: afin que l'équation donnée ci-dessus soit applicable, le matériel doit être isotrope, c'est-à-dire que ses propriétés doivent rester invariables dans toute son extension.

Tous les matériaux ne sont pas des isotropes: il y a dont la réponse élastique dépend de certains paramètres directionnels.

La déformation analysée dans les segments précédents n'est que l'une des nombreuses auxquelles un matériel peut être soumis. Par exemple, en termes d'effort de compression, c'est l'opposé de l'effort de tension.

Les équations données s'appliquent aux deux cas, et presque toujours les valeurs de ET Ils sont les mêmes (matériaux isotropes).

Une exception remarquable est le béton ou le ciment, qui résiste à une meilleure compression que la traction. Par conséquent, il doit être renforcé lorsque la résistance à l'étirement est requise. L'acier est le matériau indiqué pour cela, car il résiste très bien à l'étirement ou aux tractions.

Comme des exemples de structures sous les efforts sont les colonnes des bâtiments et des arches, des éléments de construction classiques dans de nombreuses civilisations anciennes et modernes.

Figure 4. Pont Julien, une construction romaine de la 3e année à.d.C. Dans le sud de la France.

Exercices résolus

Exercice 1

Un fil en acier à 2.0 m de long sur un instrument de musique a un rayon de 0.03 mm. Lorsque le câble est sous une tension de 90 N: combien sa longueur change-t-elle?Fait: Le jeune module d'acier est de 200 x 10⁹ N / m²

Solution

Il est nécessaire de calculer la section transversale a = πr² = π. (0.03 x 10^-3 m)² = 2.83 x 10^-9 m²

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L'effort est la tension par unité de superficie:

Donc Δl = 0.16 x 2 m = 0.32 m

Comme la corde est sous tension, cela signifie qu'il s'allonge.

La nouvelle longueur est l = l_soit + Dl, où l_soit C'est la longueur initiale:

L = 2.32 m

Exercice 2

Une colonne de marbre, dont la zone de section transversale est 2.0 m² détient une masse de 25.000 kg. Trouver:

a) L'effort dans la colonne.

b) Déformation unitaire.

c) Combien coûte la colonne si sa hauteur est de 12 m?

Fait: Le jeune module de marbre est de 50 x 10⁹ N / m²

Solution

a) L'effort dans la colonne est dû au poids des 25 000 kg:

P = mg = 25000 kg x 9.8 m / s² = 245.000 N

Par conséquent, l'effort est:

b) La déformation unitaire est ΔL / L:

c) Δl est la variation de la longueur, donnée par:

Δl = 2.45 x 10^-6 x 12 m = 2.94 x10^-5 m = 0.0294 mm.

La colonne de marbre ne devrait pas être significative. Notez que bien que le jeune module soit plus bas en marbre que dans l'acier et que la colonne prend également en charge une force beaucoup plus grande, sa longueur varie presque.

D'un autre côté, dans la corde de l'exemple précédent, la variation beaucoup plus appréciable, bien que l'acier ait un jeune module beaucoup plus grand.

Dans la colonne, sa grande zone de section croisée intervient, et c'est pourquoi il est beaucoup moins déformable.

À propos de Thomas Young

1822 Portrait de Thomas Young. Thomas Lawrence / Domaine public

Le module d'élasticité reçoit son nom en l'honneur de Thomas Young (1773-1829), British Scientific Volyle qui a fait de grandes contributions à la science dans de nombreux domaines.

En tant que physicien, jeune a non seulement étudié la nature ondulée de la lumière, révélée avec la célèbre expérience à double fente, mais aussi un médecin, linguiste et a même contribué à déchiffrer une partie des hiéroglyphes égyptiens de la célèbre pierre de Rosetta.

Il était membre de la Royal Society, de la Royal Academy of Sciences of Suède, de l'American Academy of Arts and Sciences ou de l'Académie des sciences de la France, entre autres institutions scientifiques nobles.

Cependant, il convient de noter que le concept du modèle a déjà été développé par Leonhar Euler (1707-1873), et que des scientifiques tels que Giordano Riccati (1709-1790) ont déjà effectué une expérience qui aurait mis en pratique les jeunes modèle.

Les références

1. Bauer, w. 2011. Physique pour l'ingénierie et les sciences. Volume 1. Mac Graw Hill. 422-527.
2. Giancoli, D.  2006. Physique: principes avec applications. Sixième édition. Prentice Hall. 238-249.