Caractéristiques des nombres composés, des exemples, des exercices

Les Nombres composés Ce sont ceux qui ont plus de deux diviseurs. Si nous avons l'air bien, tous les chiffres sont au moins divisibles exactement les uns avec les autres et entre 1. Ceux qui n'ont que ces deux diviseurs sont appelés cousins, et ceux qui ont plus sont des composés.

Regardons le numéro 2, qui ne peut être divisé entre 1 et 2. Le numéro 3 a également deux diviseurs: 1 et 3. Par conséquent, les deux sont des cousins. Voyons maintenant le numéro 12, auquel nous pouvons diviser exactement par 2, 3, 4, 6 et 12. Ayant 5 diviseurs, 12 est un numéro composé.

Figure 1. Les nombres primo en bleu ne peuvent être représentés que par une seule rangée de points, mais pas les nombres composés en rouge. Source: Wikimedia Commons.

Et qu'arrive-t-il au numéro 1, ce qui divise tout le monde? Ce n'est pas cousin, car il n'a pas deux diviseurs, et il n'est pas composé, donc le 1 ne fait partie de ces deux catégories. Mais il y a beaucoup plus de nombres qui font.

Les nombres composites peuvent être exprimés comme le produit de nombres premiers, et ce produit, à l'exception de l'ordre des facteurs, est unique pour chaque numéro. Ceci est assuré par le théorème fondamental de l'arithmétique démontré par les mathématiciens grecs euclides (325-365 ac).

Revenons au numéro 12, que nous pouvons exprimer de plusieurs manières. Essayons certains:

12 = 4 x 3 = 2 x 6 = 12 x 1 = 2² x 3 = 3 x 2² = 3 x 2 x 2 = 2 x 2 x 3 = 2 x 3 x 2

Les formes qui sont mises en évidence en gras sont les produits de nombres premiers et la seule chose qui change est l'ordre des facteurs, dont nous savons ne modifie pas le produit. Les autres formes, bien que valides d'exprimer 12, ne sont pas seulement constituées de cousins.

Exemples de nombres de composés

Si nous voulons décomposer un nombre composé dans ses facteurs premiers, nous devons le diviser entre les nombres premiers afin que la division soit exacte, c'est-à-dire que le résidu est 0.

Cette procédure est appelée Décomposition dans les facteurs premiers ou décomposition canonique. Les facteurs primo peuvent être élevés à des exposants positifs.

Nous allons décomposer le nombre 570, remarquant qu'il est même et donc divisible entre 2, ce qui est un nombre premier.

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Nous utiliserons une barre pour séparer le numéro de gauche des diviseurs vers la droite. Les quotients respectifs sont placés en dessous du nombre à mesure qu'ils sont obtenus. La décomposition est terminée lorsque le dernier chiffre de la colonne de gauche est 1:

570 │2
285 │

En divisant par 2, le quotient est 285 qui est divisible par 5, un autre nombre premier, pour se terminer par 5.

570 │2
285 │5
57 │

Le 57 est divisible entre 3, également cousin, car la somme de ses chiffres 5 +7 = 12 est un multiple de 3.

570 │2
285 │5
57 │3
19 │

Enfin, nous obtenons 19, ce qui est un nombre privilégié, dont les diviseurs sont 19 et 1:

570 │2
285 │5
57 │3
19 │19
1 │

Lors de l'obtention du 1, nous pouvons exprimer 570 de cette manière:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

Et nous voyons qu'en effet, c'est le produit de 4 nombres premiers.

Dans cet exemple, nous avons commencé par diviser par 2, mais les mêmes facteurs (dans un autre ordre) auraient été obtenus s'il commençait à se diviser par 5 par exemple.

Figure 2. Le numéro de composé 42 peut également être décomposé par un diagramme en forme d'arbre. Source: Wikimedia Commons.

Critères de divisibilité

Pour décomposer un nombre composé dans ses facteurs premiers, il est nécessaire de le diviser exactement. Les critères de divisibilité entre les nombres premiers sont des règles qui vous permettent de savoir quand un nombre est divisible entre un autre exactement, sans avoir à fourrer ou prouver.

-Divisibilité entre 2

Tout le numéro de couple, ceux qui se terminent à 0 ou un chiffre de couple sont divisibles entre 2.

-Divisibilité entre 3

Si la somme des chiffres d'un nombre est un multiple de 3, alors le nombre également et donc divisible entre 3.

-Divisibilité entre 5

Les nombres se terminant à 0 ou 5 sont divisibles entre 5.

-Divisibilité entre 7

Un nombre est divisible entre 7 si lors de la séparation du dernier chiffre, multipliez-le par 2 et soustrayez le nombre qui reste, la valeur résultante est un multiple de 7.

Cette règle semble un peu plus compliquée que les précédentes, mais en réalité, ce n'est pas tant, nous voyons donc un exemple: sera-t-il 98 divisible entre 7?

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Suivons les instructions: nous séparons la dernière figure qui est 8, nous la multiplions par 2 qui donne 16. Le nombre laissé en séparant 8 est 9. Soustruons 16 - 9 = 7. Et comme 7 est un multiple de lui-même, 98 est divisible entre 7.

-Divisibilité entre 11

Si la somme des figures en couple (2, 4, 6 ...), la somme des figures de position impair (1, 3, 5, 7 ...) est soustraite et 0 ou un multiple de 11 est obtenu, le Le numéro est divisible par 11.

Les premiers multiples de 11 sont facilement identifiés: il y a 11, 22, 33, 44 ... 99. Mais l'attention, 111 n'est pas, cependant 110 oui.

Par exemple, voyons si 143 est un multiple de 11.

Ce nombre a 3 chiffres, la seule figure de couple est 4 (la seconde), les deux chiffres impairs sont 1 et 3 (premier et troisième), et sa somme est 4.

Les deux sommes sont soustraites: 4 - 4 = 0 et comment 0 est obtenue, il s'avère que 143 est un multiple de 11.

-Divisibilité entre 13

Le nombre sans chiffre des unités de 9 fois doit être soustrait. Si le compte donne 0 ou un multiple de 13, le nombre est un multiple de 13.

Par exemple, nous vérifierons que 156 est un multiple de 13. Le chiffre des unités est de 6 et le nombre qui reste sans lui est de 15. Nous multiplions 6 x 9 = 54 et soustrayons maintenant 54 - 15 = 39.

Mais 39 est 3 x 13, donc 56 est un multiple de 13.

Nombres primo les uns avec les autres

Que deux ou plusieurs numéros de premier ordre ou de composé peuvent être cousins ​​l'un avec l'autre ou le cuivre. Cela signifie que le seul diviseur commun qu'ils ont est 1.

Il y a deux propriétés importantes à retenir quant au cuivre:

-Deux, trois nombres consécutifs sont toujours des cousins ​​les uns avec les autres.

-La même chose peut être dite de deux, trois ou plusieurs nombres impairs consécutifs.

Par exemple 15, 16 et 17 sont des nombres premiers les uns avec les autres et sont donc 15, 17 et 19.

Comment savoir combien de diviseurs un numéro composé a

Un nombre premier a deux diviseurs, le même nombre et 1. Et combien de diviseurs un numéro composé a-t-il? Ceux-ci peuvent être des cousins ​​ou des composés.

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Soit n un nombre composé exprimé en termes de décomposition canonique comme suit:

N = aⁿ . b^m. c^p… R^k

Où a, b, c ... r sont les facteurs premiers et n, m, p ... k les représentants respectifs. Eh bien, la quantité de diviseurs C qui a n est donnée par:

C = (n +1) (m +1) (p +1) ... (k +1)

Avec c = diviseurs privilèges + diviseurs composés + 1

Par exemple 570, qui est exprimé comme suit:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

Tous les facteurs premiers sont élevés à 1, donc 570 a:

C = (1 + 1) (1 + 1) (1+ 1) (1 +1) = 16 diviseurs

De ces 10 diviseurs, nous connaissons déjà: 1, 2, 3, 5, 19 et 570. 10 autres diviseurs sont manquants, qui sont des numéros de composés: 6, 10, 15, 30, 38, 57, 95, 114, 190 et 285. Ils observent la décomposition des facteurs premiers et multiplient également les combinaisons de ces facteurs.

Exercices résolus

- Exercice 1

Décomposer dans les facteurs premiers Les chiffres suivants:

a) 98

b) 143

c) 540

d) 3705

Solution à

98 │2
49 │7
7 │7
1 │

98 = 2 x 7 x 7

Solution B

143 │11
13 │13
1 │

143 = 11 x 13

Solution C

540 │5
108 │2
54 │2
27 │3
9 │3
3 │3
1 │

540 = 5 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 5 x 2² x 3³

Solution d

3705 │5
741 │3
247 │13
19 │19
1 │

3705 = 5 x 3 x 13 x 19

- Exercice 2

Découvrez si les numéros suivants sont des cousins ​​les uns avec les autres:

6, 14, 9

Solution

-Les diviseurs de 6 sont: 1, 2, 3, 6

-Quant à 14, il est divisible par: 1, 2, 7, 14

-Enfin 9 a comme diviseurs: 1, 3, 9

Le seul diviseur qu'ils ont en commun est 1, donc ils sont des cousins ​​les uns avec les autres.

Les références

1. Baldor, un. 1986. Arithmétique. Éditions et distributions Codex.
2. Byju's. Nombres Prime et composite. Récupéré de: byjus.com.
3. Primo et numéros de composé. Récupéré de: Profeyennyvivas la présentation.Des dossiers.Wordpress.com
4. Smarttick. Critères de divisibilité. Récupéré de: Smartick.est.
5. Wikipédia. Nombres composés. Récupéré de: dans.Wikipédia.org.