Fonction de surmende, propriétés, exemples

Ongle fonction de sur-objectif C'est toute relation où chaque élément appartenant au codominium est une image d'au moins un élément de domaine. Également connu sous le nom de fonction sur, Ils font partie de la classification des fonctions concernant la manière dont leurs éléments sont liés.

Par exemple une fonction FA → B Défini par F (x) = 2x

Qui est lu "F qui va de POUR jusqu'à B Défini par F (x) = 2x "

Touche Définissez les ensembles de démarrage et d'arrivée A et B.

A: 1, 2, 3, 4, 5 Maintenant, les valeurs ou les images dans lesquelles chacun de ces éléments sera publié lorsqu'il est évalué dans F, Ils seront les éléments de la codominium.

F (1) = 2

F (2) = 4

F (3) = 6

F (4) = 8

F (5) = 10

Formant ainsi l'ensemble B: 2, 4, 6, 8, 10

On peut conclure alors que:

F: 1, 2, 3, 4, 5  → 2, 4, 6, 8, 10 Défini par F (x) = 2x est une fonction surcédent

Chaque élément du codominium doit être au moins une opération de la variable indépendante à travers la fonction en question. Il n'y a pas d'image limitant, un élément de codominium peut être une image de plus d'un élément du domaine et continuer à traiter avec un fonction de sur-objectif.

L'image montre 2 exemples avec fonctions onjectives.

Source: auteur

Dans le premier, il est observé que les images peuvent être référées au même élément, sans compromettre le Sur-objectivité de la fonction.

Dans la seconde, nous voyons une distribution équitable entre le domaine et les images. Cela donne naissance à Fonction bijective, où les critères de Fonction d'injectif et fonction de surmende.

Une autre méthode pour identifier fonctions onjectives, est de vérifier si le codominium est égal au rang de la fonction. Cela signifie que si l'ensemble d'arrivée est égal aux images fournies par la fonction lors de l'évaluation de la variable indépendante, La fonction est sur place.

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Propriétés

À envisager Surcourir Les éléments suivants doivent être remplis à une fonction:

Être F: D_F → C_F

∀ b ℮ C_F  ET à ℮  D_F   / F (a) = b

C'est la façon algébrique d'établir que Pour tous "b" qui appartiennent à c_F Il y a un "A" qui appartient à d_F  de telle sorte que la fonction F évaluée dans "A" est égale à "B". 

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La surjectivité est une particularité des fonctions, où le codominium et le rang sont similaires. Ainsi, les éléments évalués dans la fonction constituent l'ensemble d'arrivée.

Conditionnement des fonctions

Parfois une fonction qui n'est pas Surcourir, peut subir un certain conditionnement. Ces nouvelles conditions peuvent le transformer en un fonction de sur-objectif.

Tous les types de modifications du domaine et de la codominium de la fonction sont valides, où l'objectif est de répondre aux propriétés de surjection dans la relation correspondante.

Exemples: exercices résolus

Remplir les conditions de Sur-objectivité Différentes techniques de conditionnement doivent être appliquées, ce qui s'assure que chaque élément du codominium se situe dans l'ensemble des images de la fonction.

Exercice 1

• Être la fonction F: R → R défini par la ligne F (x) = 8 - x

A: [Tous les nombres réels]

Source: auteur

Dans ce cas, la fonction décrit une ligne continue, qui couvre tous les nombres réels à la fois dans leur domaine et dans leur gamme. Parce que le rang de la fonction R_F C'est égal à la codominium R On peut conclure que:

F: R → R défini par la ligne F (x) = 8 - x c'est une fonction de sur-objectif.

Cela s'applique à toutes les fonctions linéaires (fonctions dont le plus grand degré de variable est un).

Exercice 2

• Étudier la fonction F: R → R Défini par F (x) = x² : Définir si c'est un fonction de sur-objectif. Dans le cas où ce n'est pas le cas, montrez le conditionnement nécessaire pour le faire sur place.

Source: auteur

La première chose à considérer est le codominium de F, qui se compose de nombres réels R. Il n'y a aucun moyen pour la fonction de lancer une valeur négative, qui exclut les vraies négatives parmi les images possibles.

Conditionnement de la codominium intervalle [0 , ∞ ]]. Il est évité de laisser des éléments du co -alomio sans se rapporter à travers F.

Les images sont répétées pour des paires d'éléments de la variable indépendante, comme x = 1 et x = - 1.  Mais cela n'affecte que le Injectivité  de la fonction, n'étant pas un problème pour cette étude.

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De cette façon, on peut conclure que:

F: R  →[0, ∞ ) Défini par F (x) = x²    C'est une fonction surjective

Exercice 3

• Définir les conditions de la codominium qu'ils feraient surcourir aux fonctions

F: R  → R Défini par F (x) = sin (x)

F: R  → R Défini par F (x) = cos (x)

Source: auteur Source: auteur.

Le comportement des fonctions trigonométriques est similaire à celui des vagues, étant très commun pour trouver les répétitions de la variable dépendante entre les images. Dans la plupart des cas, la plage de la fonction est limitée à un ou plusieurs secteurs de la ligne réelle.

C'est le cas des fonctions sinus et cosinus. Où leurs valeurs fluctuent dans l'intervalle [-1, 1]. Ledit intervalle doit conditionner le codominium pour atteindre l'enveloppe de la fonction.

F: R  →[ -onze ] Défini par F (x) = sin (x)  C'est une fonction surjective

F: R  →[ -onze ]Défini par F (x) = cos (x) C'est une fonction surjective

Exercice 4

• Étudier la fonction

F: [0, ∞ ) → R Défini par F (x) = ± √x   indique si c'est un fonction de sur-objectif

Source: auteur

La fonction F (x) = ± √x  Il a la particularité qui définit 2 variables dépendantes à chaque valeur de "x" . C'est-à-dire que la gamme reçoit 2 éléments pour chacun qui est effectué dans le domaine. Une valeur positive et négative pour chaque valeur de "x" doit être vérifiée pour chaque valeur de "x".

Lors de l'observation de l'assemblage de départ, il est à noter que le domaine a déjà été restreint, ceci afin d'éviter les indéterminations produites lors de l'évaluation d'un nombre négatif dans une racine de couple.

Lors de la vérification de la plage de la fonction, il montre que chaque valeur de codominium appartient à la plage.

De cette façon, on peut conclure que:

F: [0, ∞ ) → R Défini par F (x) = ± √x  C'est une fonction surjective

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Exercice 4

• Étudier la fonction F (x) = ln x  indique si c'est un fonction de sur-objectif. Conditionner les ensembles d'arrivée et de départ pour adapter la fonction aux critères de sur-mesure.

Source: auteur

Comme indiqué dans le graphique, la fonction F (x) = ln xest défini pour les valeurs de "x" supérieures à zéro. Tandis que les valeurs de "et" ou d'images peuvent prendre n'importe quelle valeur réelle.

De cette façon, nous pouvons restreindre le domaine de F (x) = à l'intervalle (0 , ∞ )

Tandis que le rang de la fonction peut être maintenu comme un ensemble de nombres réels R.

Compte tenu de cela, on peut conclure que:

F: [0, ∞ ) → R Défini par F (x) = ln x  C'est une fonction surjective

Exercice 5

• Étude de la fonction de valeur absolue F (x) = | X | et désignent les ensembles d'arrivée et de départ qui sont recueillis aux critères d'allégivité.

Source: auteur

Le domaine de la fonction est rempli pour tous les nombres réels R. De cette façon, le seul conditionnement doit être effectué dans le codominium, en tenant compte que la fonction de valeur absolue ne prend que des valeurs positives.

Le codominium de la fonction est établi l'égalisation de la plage de la même

[0 , ∞ )

Maintenant, on peut conclure que:

F: [0, ∞ ) → R Défini par F (x) = | X |  C'est une fonction surjective

Exercices proposés

1. Vérifiez si les fonctions suivantes sont sur place:

• F: (0, ∞ ) → R Défini par F (x) = log (x + 1)
• F: R → R Défini par F (x) = x³
• F: R →[1, ∞ )  Défini par F (x) = x²  + 1
• [0, ∞ ) → R Défini par F (x) = log (2x + 3)
• F: R → R Défini par F (x) = sec x
• F: r - 0 → R Défini par F (x) = 1 / x

Les références

1. Introduction à la logique et à la pensée critique. Merrilee H. Saumon. Université de Pittsburgh
2. Problèmes d'analyse mathématique. Piotr Bilar, Alfred Witkowski. Université de Wroclaw. Pôle.
3. Éléments de l'analyse abstraite. Mícheál o'searcoïd doctorat. Département des mathématiques. University College Dublin, Beldfield, Dublind 4
4.  Introduction à la logique et à la méthodologie des sciences déductives. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University Press.
5.  Principes d'analyse mathématique. Enrique Linés Escardó. Reverté éditorial. Jusqu'en 1991. Barcelone Espagne.