Propriétés de la fonction exponentielle, exemples, exercices

La fonction exponentielle C'est une fonction mathématique d'une grande importance pour les nombreuses applications qu'il dispose. Il est défini comme suit:

f (x) = b^X, Avec b> 0 et b ≠ 1

Où b est une véritable constante toujours positive et différente de 1, qui est connue sous le nom base. Notez que la variable réelle X il se trouve dans le exposant, De cette façon, F (x) est toujours un nombre réel.

Figure 1. Fonctions exponentielles avec les bases 2 et 1/2

Des exemples de fonctions exponentives sont les suivants:

-f (x) = 2^X

-g (x) = 5⋅e^-3x

-H (x) = 4⋅ (10^2x)

Ce sont des fonctions qui se développent - ou diminuent, selon le signe de l'exposant - très rapidement, donc il est question de la «croissance exponentielle» lorsque une certaine magnitude augmente très rapidement. C'est pourquoi ils sont appropriés pour modéliser la croissance des êtres vivants, comme les bactéries.

Une autre application très intéressante est celle de l'intérêt composé. Plus vous avez d'argent dans un compte, plus.

Avec l'aide de la fonction logarithmique, qui est la fonction inverse de l'exponentielle, il peut être connu après combien de temps un certain capital augmente à une certaine valeur.

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Propriétés de la fonction exponentielle

Figure 2. Exemples de fonctions exponentielles. Source: F. Zapata.

Voici les propriétés générales de toute fonction exponentielle:

-Le graphique de toute fonction exponentielle coupe toujours l'axe vertical au point (0,1), comme on peut le voir sur la figure 2. C'est parce que b⁰ = 1 pour toute valeur b.

-La fonction exponentielle ne se coupe pas sur l'axe x, en fait cet axe est une asymptote horizontale pour la fonction.

-Depuis B¹ = b, point (1, b) appartient toujours aux graphiques de fonction.

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-Le domaine de la fonction exponentielle est l'ensemble des nombres réels et f (x) = b^X Il est continu dans tout son domaine.

-La plage de fonction exponentielle est tous les nombres réels supérieurs à 0, ce qui est également remarqué avec les graphiques.

-La fonction exponentielle est une par une, c'est-à-dire chaque valeur X appartenant au domaine de la fonction, a une image unique dans l'ensemble d'arrivée.

-L'inverse de l'exponentiel est la fonction logarithmique.

Propriétés particulières de la fonction exponentielle

Comme nous l'avons déjà dit, la fonction exponentielle peut augmenter ou diminuer.

Si le graphique de la figure 2 est soigneusement étudié, il est à noter que si B> 1, la fonction augmente, par exemple y = 3^X, Mais dans le cas de y = (1/3)^X, avec B < 1, la función decrece.

Nous avons deux types de fonctions exponentives avec les propriétés particulières suivantes:

Pour b> 1

-La fonction se développe toujours.

-Lorsque la valeur de B augmente, la fonction augmente plus vite, par exemple y = 10^X se développe plus vite que y = 2^X.

-Lorsque la variable est supérieure à 0, la fonction acquiert des valeurs supérieures à 1, c'est-à-dire:

Pour x> 0: y> 1

-Et si x<0, entonces f(x) < 1.

Pour b < 1

-La fonction diminue toujours.

-En diminuant la valeur de B, la fonction diminue encore plus rapidement. Par exemple y = (1/5)^X diminue plus rapidement que y = (1/3)^X.

-Pour les valeurs de x inférieures à 0, la fonction prend des valeurs supérieures à 1, c'est-à-dire:

Pour x 1

-Enfin, quand x> 0, puis et < 1.

Exemples de fonctions exponentielles

La fonction exponentielle est très utile pour modéliser les phénomènes en science et économie, comme nous le verrons ci-dessous:

Fonction exponentielle naturelle

Figure 3: graphique de fonction exponentielle naturelle

C'est la fonction dont la base est le numéro E ou Euler, un nombre irrationnel dont la valeur est:

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E = 2.718181828…

Cette base, même si ce n'est pas un numéro rond, fonctionne très bien pour de nombreuses applications. Par conséquent, il est considéré comme la base la plus importante de toutes les fonctions exponentielles. La fonction exponentielle naturelle s'exprime de manière mathématique comme:

f (x) = e^X

La fonction exponentielle apparaît souvent dans la probabilité et les statistiques, car diverses distributions de probabilité, telles que la distribution normale, Poisson et autres, peuvent être exprimées par des fonctions exponentielles.

Intérêt composé continu

Figure 4: Comparaison de l'intérêt simple et composé

Il s'appelle aussi Capitalisation continue. Pour connaître le montant d'argent POUR Tu as après t ans, l'expression exponentielle est utilisée:

A (t) = p ⋅ e^Rt

Où p est le montant d'argent à l'origine, R est le taux d'intérêt par an et enfin t est le nombre d'années.

Croissance des bactéries

Figure 5: courbe de croissance bactérienne où les phases de latence, exponentielle, stationnaire et de mort sont observées

Les bactéries se développent de façon exponentielle, de sorte que la croissance peut être modélisée par:

N (t) = n_soit ⋅ e ^Kt

Où n (t) est la population existante après le temps t (presque toujours en heures), n_soit C'est la population initiale et k est une constante qui dépend du type bactérien et des conditions dans lesquelles les nutriments disponibles.

Désintégration radioactive

Certains noyaux de nature sont instables, ils refusent donc de se transformer en plus stables, un processus qui peut être très bref ou prendre des milliers d'années, selon l'isotope. Pendant les particules de décroissance radioactives sont émises et parfois aussi des photons.

Certains isotopes radioactifs ont des applications médicales, par exemple l'iode radioactif I-131, que les médecins utilisent dans le diagnostic et le traitement de certaines conditions thyroïdiennes.

La désintégration radioactive est modélisée par une fonction exponentielle.

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Exercices résolus

Les équations dans lesquelles l'inconnu apparaît comme l'exposant est appelé équation exponentielle. Pour effacer la valeur des différentes manipulations algébriques inconnues est utilisée et l'utilisation de la fonction de logarithme, qui est la fonction inverse de l'exponentiel.

Regardons quelques exercices résolus qui illustrent le point.

- Exercice 1

Résolvez les équations exponentielles suivantes:

à 5^X = 625

b) 5^X = 2^X-1

Solution à

Le nombre 625 est un multiple de 5, en fait, lors du décomposition, nous constatons que:

625 = 5⁴

Par conséquent, nous pouvons écrire:

5^X = 5⁴

Étant donné que les bases sont égales à gauche et à droite, nous pouvons faire correspondre les exposants et obtenir:

x = 4

Solution B

Pour cet exercice, nous ne pouvons pas recourir à la technique précédemment utilisée, car les bases ne sont pas les mêmes. Mais nous pouvons appliquer le logarithme des deux côtés de l'égalité, de cette manière:

5^X = 2^X-1

Journal (5^X) = log (2^X-1)

Maintenant, la propriété suivante des logarithmes est appliquée:

Bûcheⁿ = n⋅log m

Et reste:

x⋅log 5 = (x-1) ⋅log 2

x⋅ (log 5 - log 2) = -log 2

x = - log 2 ÷ (log 5 - log 2)

- Exercice 2

Indiquez à quelle fonction chacun des graphiques illustrés ci-dessous correspond:

Figure 6. Graphiques parast les fonctions exponentielles de l'exercice résolu 2. Source: Stewart. J. Précalation.

Solution à

Comme il s'agit d'un graphique croissant, B est supérieur à 1 et nous savons que le point (2.9) appartient donc au graphique:

y = b^X → 9 = b²

Nous savons que 3² = 9, donc b = 3 et la fonction est y = 3^X

Solution B

Encore une fois, nous remplaçons le point donné (-1, 1/5) à y = b^X pour obtenir:

1/5 = b^-1 = 1 / b

Alors b = 5 et la fonction recherchée est:

y = 5^X

Les références

1. Figuera, J. 2000. Mathématiques 1er. Diversifié. Éditions co-bo.
2. Gid Hoffmann, J. Sélection de problèmes de mathématiques pour le 4e. Année. Élégant. Spphinx.
3. Jiménez, R. 2008. Algèbre. Prentice Hall.
4. Larson, R. 2010. Calcul d'une variable. 9na. Édition. McGraw Hill.
5. Stewart, J. 2006. Précaulement: mathématiques pour le calcul. 5e. Édition. Cengage Learning.