Formules et équations antidérivatives, exemples, exercices

Ongle antidérivatif F (x) d'une fonction F(x) est également appelé primitif ou simplement l'intégrale indéfinie de ladite fonction, si dans un intervalle donné Toi, C'est vrai que F '(x) = f (x)

Par exemple, prenons la fonction suivante:

f (x) = 4x³

Un antidérivatif de cette fonction est f (x) = x⁴, Depuis en dérivant f (x) par la règle de dérivation pour les pouvoirs:

Il est obtenu précisément f (x) = 4x³.

Cependant, ce n'est qu'un des nombreux antidérivatifs de f (x), puisque cette autre fonction: g (x) = x⁴ + 2 C'est aussi, car en dérivant g (x) par rapport à x, il est le même est obtenu en arrière f (x).

Vérifions-le:

N'oubliez pas que celui dérivé d'une constante est 0. Par conséquent, au terme x⁴ Vous pouvez ajouter n'importe quelle constante et sa dérivée continuera d'être 4x³.

Il est conclu que toute fonction de la forme générale f (x) = x⁴ + C, où c est une véritable constante, sert d'antidérivatif de f (x).

L'exemple illustratif précédent peut être exprimé comme suit:

df (x) = 4x³ Dx

L'antidérivatif ou intégral non défini est exprimé avec le symbole ∫ ∫ ∫: par conséquent:

F (x) = ∫4x³ dx = x⁴ + C

Où la fonction f (x) = 4x³  est appelé en intégrant, et c est le Constante d'intégration.

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Exemples d'antidérivatifs

Figure 1. L'anti-hotley n'est rien de plus qu'une intégrale indéfinie. Source: Pixabay.

Trouver un antidérivatif d'une fonction est simple dans certains cas où les dérivés sont bien connus. Par exemple, être la fonction f (x) = sen x, un unidérivated pour elle est une autre fonction f (x), de sorte que lorsqu'elle est dérivée, il est obtenu f (x).

Cette fonction peut être:

F (x) = - cos x

Vérifions que c'est vrai:

F '(x) = (- cos x)' = - (-sen x) = sin x

Par conséquent, nous pouvons écrire:

∫sen x dx = -cos x + c

En plus de connaître les dérivés, il existe des règles d'intégration de base et simples pour trouver un antidérivatif indéfini ou intégral.

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Être une véritable constante, alors:

1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + c

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

Si une fonction H (x) peut être exprimée comme la somme ou la soustraction de deux fonctions, alors son intégrale indéfinie est:

3.- ∫H (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

Ceci est la propriété de la linéarité.

La Règle du pouvoir Pour les intégrales, il peut être établi de cette manière:

Cette règle a une restriction évidente: depuis le dénominateur N +1 Il ne peut pas être fait 0, donc n ≠ -1.

Dans le cas de n = -1, la règle suivante est utilisée:

5.- ∫X ^-1 Dx = ln x + c

Il est facile de démontrer que le dérivé de LN X c'est précisément X ^-1.

Équations différentielles

Une équation différentielle est celle dans laquelle l'inconnu est comme un dérivé.

Maintenant, à partir de l'analyse précédente, il est facile de réaliser que le fonctionnement inverse vers le dérivé est l'antidérivatif ou intégral non défini.

Soit f (x) = y '(x), c'est-à-dire dérivé d'une certaine fonction. Nous pouvons utiliser la notation suivante pour indiquer ce dérivé:

Il s'ensuit immédiatement:

dy = f (x) dx

L'inconnu de l'équation différentielle est la fonction y (x), celle dont la dérivée est f (x). Pour l'effacer, l'expression précédente est intégrée des deux côtés, ce qui équivaut à l'application de l'antidérivatif:

∫dy = ∫f (x) dx

L'intégrale gauche est résolue par la règle d'intégration 1, avec k = 1 et donc le -waite recherché est effacé:

et (x) = ∫f (x) dx = f (x) + c

Et comme C est une véritable constante, pour savoir ce qui convient dans chaque cas, l'instruction doit contenir des informations supplémentaires suffisantes pour calculer la valeur de C. C'est appelé Condition initiale.

Nous verrons des exemples d'application de tout cela dans la section suivante.

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Exercices antidérivés

- Exercice 1

Appliquez les règles d'intégration pour obtenir les antidérivatifs ou intégrales non définis suivants des fonctions données, simplifiant autant que possible les résultats. Il est pratique de vérifier le résultat par dérivation.

Figure 2. Exercices antérieurs ou intégrés définis. Source: Pixabay.

Solution à

Nous appliquons d'abord la règle 3, car l'intégration est la somme de deux termes:

∫ (x +7) dx = ∫ xdx + ∫7dx

Pour la première intégrale, la règle des pouvoirs est appliquée:

∫ xdx = (x² / 2) + c₁

Dans la deuxième règle intégrale 1 s'applique, être k = 7:

∫7dx = 7∫dx = 7x + c₂

Et maintenant les résultats sont ajoutés. Les deux constantes sont regroupées en une seule, génériquement C:

∫ (x + 7) dx = (x² / 2) + 7x + c

Solution B

Par linéarité Cette intégrale se décompose en trois intégrales plus simples, auxquelles la règle des pouvoirs sera appliquée:

∫ (x^3/2 + X² + 6) dx = ∫x^3/2 Dx + ∫x² dx + ∫6 dx =

= (2/5) x^5/2 + (1/3) x³ + 6x + c

Notez que pour chaque intégrale, une constante d'intégration apparaît, mais ils se réunissent en un seul appel C.

Solution C

Dans ce cas, il est pratique d'appliquer la propriété distributive de la multiplication pour développer l'intégration. Ensuite, vous utilisez la règle des pouvoirs pour trouver chaque intégrale séparément, comme l'année précédente.

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x²-2x + 3x-2) dx = ∫ (3x² + X - 2) dx

Le lecteur attentif observera que les deux termes centraux sont similaires, ils sont donc réduits avant l'intégration:

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x² dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x³ + (1/2) x² - 2x + c

Solution E

Un moyen de résoudre l'intégrale serait de développer la puissance, comme cela a été fait dans l'exemple D. Cependant, comme l'exposant est plus élevé, il serait nécessaire de modifier variable, afin de ne pas avoir à faire un développement aussi long.

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Le changement variable est le suivant:

U = x + 7

Dérivant des deux côtés cette expression:

du = dx

L'intégrale est transformée en un plus simple avec la nouvelle variable, qui est résolue avec la règle des pouvoirs:

∫ (x + 7)⁵ Dx = ∫ u⁵ du = (1/6) u⁶ + C

Enfin, le changement est retourné pour revenir à la variable d'origine:

∫ (x + 7)⁵ Dx = (1/6) (x + 7)⁶ + C

- Exercice 2

Une particule est initialement au repos et se déplace le long de l'axe x. Son accélération pour t> 0 est donnée par la fonction a (t) = cos t. Il est connu qu'à t = 0, la position est x = 3, toutes en unités du système international. Il est demandé de trouver la vitesse V (t) et la position x (t) de la particule.

Solution

Étant donné que l'accélération est la première dérivée de la vitesse par rapport au temps, vous avez l'équation différentielle suivante:

a (t) = v '(t) = cos t

Il s'ensuit:

v (t) = ∫ cos t dt = sin t + c₁

D'un autre côté, nous savons que la vitesse est à son tour la dérivée de la position, donc nous nous intégrons à nouveau:

x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + c₁) dt = ∫sen t dt + ∫c₁ dt = - cos t + c₁ t + c₂

Les constantes d'intégration sont déterminées à partir des informations fournies dans la déclaration. Tout d'abord, il dit que la particule était initialement au repos, donc V (0) = 0:

V (0) = sin 0 + c₁ = 0

C₁ = 0

Alors vous devez x (0) = 3:

x (0) = - cos 0 + c₁ 0 + c₂ = - 1 + c₂ = 3 → C₂ = 3 + 1 = 4

Les fonctions de vitesse et de position sont vraiment comme ceci:

v (t) = sen t

x (t) = - cos t + 4

Les références

1. Engler, un. 2019. Calcul intégral. Université nationale de la côte.
2. Larson, R. 2010. Calcul d'une variable. 9na. Édition. McGraw Hill.
3. Textes mathématiques gratuites. Antidérivatifs. Récupéré de: mathématiques.Liibretexts.org.
4. Wikipédia. Antidérivatif. Récupéré de: dans.Wikipédia.org.
5. Wikipédia. Intégration indéfinie. Récupéré de: est.Wikipédia.org.