Physique

Équation du directeur vectoriel de la ligne, exercices résolus

Équation du directeur vectoriel de la ligne, exercices résolus

Il est compris par Directeur Vector celui qui définit la direction d'une ligne, soit dans l'avion, soit dans l'espace. Par conséquent, un vecteur parallèle à la ligne peut être considéré comme un directeur.

Cela est possible grâce à un axiome de la géométrie euclidienne qui dit que deux points définissent une ligne. Ensuite, le segment orienté qui forme ces deux points définit également un directeur vectoriel de cette ligne.

Figure 1. Directeur vectoriel d'une ligne. (Élaboration propre)

Donné un point P appartenant à la ligne (L) Et compte tenu d'un réalisateur Vector ou De cette ligne, la ligne est complètement déterminée.

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Équation de la ligne et directeur du directeur

Figure 2. Équation de la ligne et directeur du directeur. (Élaboration propre)

Donné un point P de coordonnées Q: (Xo, moi) et un vecteur ou Directeur d'une ligne (L), Tout point Q de coordonnées Q: (x, y) doit accomplir que le vecteur Pq être parallèle à u. Cette dernière condition est garantie si Pq Il est proportionnel à ou:

Pq = T⋅ou

Dans l'expression précédente t C'est un paramètre qui appartient à des nombres réels.

Si les composants cartésiens de Pq et de ou L'équation précédente est écrite comme suit:

(X-xo, y-yo) = t⋅ (a, b)

Si les composants de l'égalité vectorielle sont égaux à la paire d'équations suivante:

X - xo = a⋅t      et   Et - me = b⋅t 

Équation paramétrique de la ligne

Les coordonnées X et ET d'un point appartenant à la ligne (L) qui passe par un point de coordonnées (Xo, moi) Et c'est parallèle à Directeur Vector ou= (a, b) Ils sont déterminés en attribuant des valeurs réelles au paramètre variable T:

X = xo + a⋅t; Y = me + b⋅t

Exemple 1

Pour illustrer la signification de l'équation paramétrique de la ligne, nous prenons en tant que directeur du vecteur

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ou = (a, b) = (2, -1) 

Et comme point connu de la ligne, le point 

P = (xo, me) = (1, 5). 

L'équation paramétrique de la ligne est:

X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1⋅t; -∞

Pour illustrer la signification de cette équation, la figure 3 montre où le paramètre T modifie la valeur et le point Q  de coordonnées (X, y) Prendre des positions différentes sur la ligne.

figure 3. Pq = t u. (Élaboration propre)

La ligne sous forme vectorielle

Étant donné un point P de la ligne et son directeur directeur ou l'équation de la ligne peut être écrit sous une forme vectorielle:

OQ = Faire un coup de pouce + λ⋅ou 

Dans l'équation précédente, c'est tout point mais appartenant à la ligne et λ Un nombre réel.

L'équation vectorielle de la ligne est applicable à n'importe quel nombre de dimensions, même un hyper-eret peut être défini.

Dans le cas de trois dimensions pour un directeur de directeur ou= (a, b, c) Et un point P = (xo, moi, zo), Les coordonnées d'un point générique Q = (x, y, z) Appartenant à la ligne est:

(X Y Z) = (Xo, i, zo) + λ⋅ (a, b, c)

Exemple 2

Considérez à nouveau la ligne qui a en tant que directeur du directeur  

ou = (a, b) = (2, -1) 

Et comme point connu de la ligne, le point 

P = (xo, me) = (1, 5). 

L'équation vectorielle de cette ligne est:

(X, y) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1) 

Forme continue de la ligne et du vecteur du réalisateur

À partir de la forme paramétrique, effacer et faire correspondre le paramètre λ que vous avez:

(X-xo) / a = (y-yo) / b = (z-zo) / c

Ceci est la forme symétrique de l'équation de ligne. Je sens ça pour, b et c Ce sont les composants du directeur du réalisateur.

Exemple 3

Considérez la ligne qui a en tant que directeur directeur  

ou = (a, b) = (2, -1) 

Et comme point connu de la ligne, le point 

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P = (xo, me) = (1, 5). Trouvez sa forme symétrique.

La forme symétrique ou continue est de la ligne est:

(X - 1) / 2 = (y - 5) / (- 1)

Forme générale de l'équation de ligne

Il est connu comme la forme générale de la ligne dans le plan XY à l'équation de la structure suivante:

A⋅x + b⋅y = c

L'expression de la forme symétrique peut être réécrite afin qu'elle ait la forme générale:

B⋅x - a⋅y = B⋅Xo - A⋅o

En comparant la forme générale de la ligne reste: 

A = b, b = -a et c = B⋅xo - a⋅o 

Exemple 3

Trouvez la forme générale de la ligne dont le directeur est u = (2, -1)

 Et ce qui passe par le point P = (1, 5).

Pour trouver la forme générale, nous pouvons utiliser les formules données, mais un autre chemin sera choisi.

Nous commençons par trouver le double vecteur w du vecteur U, défini comme le vecteur obtenu en échangeant les composants de u et en multipliant par -1 le second:

W= (-1, -2)

Le double vecteur W correspond à une rotation à 90 ° dans le calendrier du directeur du directeur V.

Nous multiplions l'escalade W avec (X, y) et avec (Xo, moi) Et nous correspondons:

(-1, -2) • (x, y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X -2y = -1 -2⋅5 = -11

Enfin restant:

X + 2y = 11

Forme standard de l'équation de ligne

Il est connu sous le nom de forme standard de la ligne dans le plan XY, celui qui a la structure suivante:

Y = m⋅x + d

où m représente la pente et l'interception d avec l'axe et.

Étant donné le réalisateur u = (a, b) vector, la pente m est b / a.

Et D est obtenu en remplaçant X et Y par le point connu XO, moi:

I = (b / a) xo + d.

En bref, m = b / a y d = me - (b / a) xo

Notez que la pente m est le quotient entre le composant et du directeur et du composant X du même.

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Exemple 4

Trouvez la forme standard de la ligne dont le directeur est u = (2, -1) 

Et ce qui passe par le point P = (1, 5).

M = -½ et d = 5 - (- ½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) x + 11/2

Exercices résolus

-Exercice 1

Trouvez un directeur vectoriel de la ligne (L) qui est l'intersection du plan (π): x - y + z = 3 et le plan (ω): 2x + y = 1.

Ensuite, écrivez la forme continue de la ligne de la ligne (L).

Solution

De l'équation plane (ω) Clearance Y: Y = 1 -2X

Ensuite, nous substituons dans l'équation du plan (π):

X - (1 - 2x) + z = 3 ⇒ 3x + z = 4 ⇒ z = 4 - 3x

Ensuite, nous paramétrilons x, nous choisissons la paramétrage x = λ

Cela signifie que la ligne a une équation vectorielle donnée par:

(X, y, z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

qui peut être réécrit comme:

(X, y, z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)

Avec ce qui est clair que le vecteur ou = (1, -2, -3) est un vecteur de gestion direct (L).

La forme continue de la ligne (l) est:

(X - 0) / 1 = (y - 1) / (- 2) = (z - 4) / (- 3)

-Exercice 2

Étant donné l'avion 5x + pour Y + 4z = 5 

et la ligne dont l'équation est x / 1 = (y-2) / 3 = (z -2) / (- 2)

Déterminer la valeur de pour pour que l'avion et la ligne soient parallèles.

Solution 2

Le vecteur n = (5, a, 4) est un vecteur normal du plan.

Le vecteur ou = (1, 3, -2) est un manager droit.

Si la ligne est parallèle à l'avion, alors n • V = 0.

(5, pour, 4)•(1, 3, -2) = 5 +3pour -8 = 0 ⇒ pour= 1.

Les références

  1. Fleming, w., & Varberg, D. ET. (1989). Mathématiques préalables. Prentice Hall PTR.
  2. Kolman, B. (2006). Algèbre linéaire. Pearson Education.
  3. Loyal, J. M., & Viloria, n. g. (2005). Géométrie analytique plate. Mérida - Venezuela: éditorial vénézuélien C. POUR.
  4. Navarro, Rocio. Les vecteurs. Récupéré de: livres.Google.co.aller.
  5. Pérez, C. D. (2006). Préqualcule. Pearson Education.
  6. Prenowitz, w. 2012. Concepts de base de la géométrie. Rowman et Littlefield.
  7. Sullivan, m. (1997). Préqualcule. Pearson Education.