Équation du directeur vectoriel de la ligne, exercices résolus
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- Prof Noah Collet
Il est compris par Directeur Vector celui qui définit la direction d'une ligne, soit dans l'avion, soit dans l'espace. Par conséquent, un vecteur parallèle à la ligne peut être considéré comme un directeur.
Cela est possible grâce à un axiome de la géométrie euclidienne qui dit que deux points définissent une ligne. Ensuite, le segment orienté qui forme ces deux points définit également un directeur vectoriel de cette ligne.
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Donné un point P appartenant à la ligne (L) Et compte tenu d'un réalisateur Vector ou De cette ligne, la ligne est complètement déterminée.
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Équation de la ligne et directeur du directeur
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Donné un point P de coordonnées Q: (Xo, moi) et un vecteur ou Directeur d'une ligne (L), Tout point Q de coordonnées Q: (x, y) doit accomplir que le vecteur Pq être parallèle à u. Cette dernière condition est garantie si Pq Il est proportionnel à ou:
Pq = T⋅ou
Dans l'expression précédente t C'est un paramètre qui appartient à des nombres réels.
Si les composants cartésiens de Pq et de ou L'équation précédente est écrite comme suit:
(X-xo, y-yo) = t⋅ (a, b)
Si les composants de l'égalité vectorielle sont égaux à la paire d'équations suivante:
X - xo = a⋅t et Et - me = b⋅t
Équation paramétrique de la ligne
Les coordonnées X et ET d'un point appartenant à la ligne (L) qui passe par un point de coordonnées (Xo, moi) Et c'est parallèle à Directeur Vector ou= (a, b) Ils sont déterminés en attribuant des valeurs réelles au paramètre variable T:
X = xo + a⋅t; Y = me + b⋅t
Exemple 1
Pour illustrer la signification de l'équation paramétrique de la ligne, nous prenons en tant que directeur du vecteur
Peut vous servir: optique onduléeou = (a, b) = (2, -1)
Et comme point connu de la ligne, le point
P = (xo, me) = (1, 5).
L'équation paramétrique de la ligne est:
X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1⋅t; -∞
Pour illustrer la signification de cette équation, la figure 3 montre où le paramètre T modifie la valeur et le point Q de coordonnées (X, y) Prendre des positions différentes sur la ligne.
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La ligne sous forme vectorielle
Étant donné un point P de la ligne et son directeur directeur ou l'équation de la ligne peut être écrit sous une forme vectorielle:
OQ = Faire un coup de pouce + λ⋅ou
Dans l'équation précédente, c'est tout point mais appartenant à la ligne et λ Un nombre réel.
L'équation vectorielle de la ligne est applicable à n'importe quel nombre de dimensions, même un hyper-eret peut être défini.
Dans le cas de trois dimensions pour un directeur de directeur ou= (a, b, c) Et un point P = (xo, moi, zo), Les coordonnées d'un point générique Q = (x, y, z) Appartenant à la ligne est:
(X Y Z) = (Xo, i, zo) + λ⋅ (a, b, c)
Exemple 2
Considérez à nouveau la ligne qui a en tant que directeur du directeur
ou = (a, b) = (2, -1)
Et comme point connu de la ligne, le point
P = (xo, me) = (1, 5).
L'équation vectorielle de cette ligne est:
(X, y) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1)
Forme continue de la ligne et du vecteur du réalisateur
À partir de la forme paramétrique, effacer et faire correspondre le paramètre λ que vous avez:
(X-xo) / a = (y-yo) / b = (z-zo) / c
Ceci est la forme symétrique de l'équation de ligne. Je sens ça pour, b et c Ce sont les composants du directeur du réalisateur.
Exemple 3
Considérez la ligne qui a en tant que directeur directeur
ou = (a, b) = (2, -1)
Et comme point connu de la ligne, le point
Peut vous servir: quelle est l'électricité? (Avec expérience)P = (xo, me) = (1, 5). Trouvez sa forme symétrique.
La forme symétrique ou continue est de la ligne est:
(X - 1) / 2 = (y - 5) / (- 1)
Forme générale de l'équation de ligne
Il est connu comme la forme générale de la ligne dans le plan XY à l'équation de la structure suivante:
A⋅x + b⋅y = c
L'expression de la forme symétrique peut être réécrite afin qu'elle ait la forme générale:
B⋅x - a⋅y = B⋅Xo - A⋅o
En comparant la forme générale de la ligne reste:
A = b, b = -a et c = B⋅xo - a⋅o
Exemple 3
Trouvez la forme générale de la ligne dont le directeur est u = (2, -1)
Et ce qui passe par le point P = (1, 5).
Pour trouver la forme générale, nous pouvons utiliser les formules données, mais un autre chemin sera choisi.
Nous commençons par trouver le double vecteur w du vecteur U, défini comme le vecteur obtenu en échangeant les composants de u et en multipliant par -1 le second:
W= (-1, -2)
Le double vecteur W correspond à une rotation à 90 ° dans le calendrier du directeur du directeur V.
Nous multiplions l'escalade W avec (X, y) et avec (Xo, moi) Et nous correspondons:
(-1, -2) • (x, y) = (-1, -2) • (1, 5)
-X -2y = -1 -2⋅5 = -11
Enfin restant:
X + 2y = 11
Forme standard de l'équation de ligne
Il est connu sous le nom de forme standard de la ligne dans le plan XY, celui qui a la structure suivante:
Y = m⋅x + d
où m représente la pente et l'interception d avec l'axe et.
Étant donné le réalisateur u = (a, b) vector, la pente m est b / a.
Et D est obtenu en remplaçant X et Y par le point connu XO, moi:
I = (b / a) xo + d.
En bref, m = b / a y d = me - (b / a) xo
Notez que la pente m est le quotient entre le composant et du directeur et du composant X du même.
Peut vous servir: équilibre en rotation: formules et équations, exemples, exercicesExemple 4
Trouvez la forme standard de la ligne dont le directeur est u = (2, -1)
Et ce qui passe par le point P = (1, 5).
M = -½ et d = 5 - (- ½) 1 = 11/2
Y = (-1/2) x + 11/2
Exercices résolus
-Exercice 1
Trouvez un directeur vectoriel de la ligne (L) qui est l'intersection du plan (π): x - y + z = 3 et le plan (ω): 2x + y = 1.
Ensuite, écrivez la forme continue de la ligne de la ligne (L).
Solution
De l'équation plane (ω) Clearance Y: Y = 1 -2X
Ensuite, nous substituons dans l'équation du plan (π):
X - (1 - 2x) + z = 3 ⇒ 3x + z = 4 ⇒ z = 4 - 3x
Ensuite, nous paramétrilons x, nous choisissons la paramétrage x = λ
Cela signifie que la ligne a une équation vectorielle donnée par:
(X, y, z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)
qui peut être réécrit comme:
(X, y, z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)
Avec ce qui est clair que le vecteur ou = (1, -2, -3) est un vecteur de gestion direct (L).
La forme continue de la ligne (l) est:
(X - 0) / 1 = (y - 1) / (- 2) = (z - 4) / (- 3)
-Exercice 2
Étant donné l'avion 5x + pour Y + 4z = 5
et la ligne dont l'équation est x / 1 = (y-2) / 3 = (z -2) / (- 2)
Déterminer la valeur de pour pour que l'avion et la ligne soient parallèles.
Solution 2
Le vecteur n = (5, a, 4) est un vecteur normal du plan.
Le vecteur ou = (1, 3, -2) est un manager droit.
Si la ligne est parallèle à l'avion, alors n • V = 0.
(5, pour, 4)•(1, 3, -2) = 5 +3pour -8 = 0 ⇒ pour= 1.
Les références
- Fleming, w., & Varberg, D. ET. (1989). Mathématiques préalables. Prentice Hall PTR.
- Kolman, B. (2006). Algèbre linéaire. Pearson Education.
- Loyal, J. M., & Viloria, n. g. (2005). Géométrie analytique plate. Mérida - Venezuela: éditorial vénézuélien C. POUR.
- Navarro, Rocio. Les vecteurs. Récupéré de: livres.Google.co.aller.
- Pérez, C. D. (2006). Préqualcule. Pearson Education.
- Prenowitz, w. 2012. Concepts de base de la géométrie. Rowman et Littlefield.
- Sullivan, m. (1997). Préqualcule. Pearson Education.