La notation factorielle Il est utilisé pour calculer le produit du premier n les nombres naturels, c'est-à-dire les entiers positifs, à partir de 1 à la valeur de n. Il est indiqué par un signe d'admiration et est appelé n factorielle:

n! = 1⋅2⋅3… . (N-1) ⋅n

Le calcul de la factorielle d'un nombre est simple, par exemple, le produit des six premiers nombres naturels est exprimé par:

6! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6 = 720

Figure 1. La notation factorielle peut être écrite compacte par le symbole du produit de k = 1 à n. Source: F. Zapata.

Les facteurs apparaissent sur des questions telles que la théorie binomiale et combinatoire de Newton qui est fréquemment utilisée dans le calcul des probabilités. Dans ces derniers, les appels apparaissent souvent Numéros combinatoires qui peut être exprimé comme factoriel.

La notation n! C'est la création du médecin français et du mathématique. Indépendamment, les factoriels ont également été découverts par un autre mathématicien français: Louis Arbogast (1759-1803), Kramp Contemporary.

Comme pour les sommations, il existe un moyen d'exprimer le produit des n nombres naturels des premiers n de manière sommaire:

 Le symbole similaire à une lettre majuscule "Pi" qui apparaît dans l'expression, est appelée "production" ou "multiplicatoire".

Propriétés de notation factorielle

Soit m et n deux entiers positifs, il est accompli que:

1. Par commodité, il a été accepté de définir 0! Comme égal à 1, c'est-à-dire: 0! = 1.
2. La valeur de 1! = 1
3. Oui! = b!, Cela signifie que a = b, à condition que a⋅b ≠ 0. L'exception est les valeurs 0 et 1, puisque 1! = 1 = 0!, Comme indiqué, mais il est clair que 1 ≠ 0.
4. Oui m < n, entonces m! < n! et pourtant m! Il est contenu dans n!:
   n! = 1⋅2⋅ 3⋅ 4… (m -1) ⋅m… n
5. Pour n supérieur ou égal à 2, vous devez:
   n! = N⋅ (n-1)!
   Depuis selon la définition:
   n! = [1⋅2⋅3⋅ 4⋅5… . (N-1)] ⋅n
   L'expression contenue dans les crochets est précisément (n-1)!
6. N⋅n! = (n + 1)! - n!
   En effet, augmenter les opérations du côté droit de l'égalité:
   (N + 1)! - n! = [1 ⋅ 2⋅ 3⋅ 4⋅ 5… n ⋅ (n + 1)] - [1 ⋅2⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5… . n] =
   = [1⋅2⋅3⋅ 4 ⋅ 5… . N] ⋅ [(n + 1) - 1] = [1 ⋅2⋅3 4 ⋅5… . n] ⋅ n = n! ⋅ n

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Cofactorielle, semi-données ou quasi-phacutoraux d'un nombre

Le semi-actionné d'un nombre naturel dépend de savoir s'il est uniforme ou étrange. Dans la notation, le double signe d'admiration ou de double factorielle est utilisé et défini par la règle suivante:

-Si n est uniforme:

n!! = 2⋅4⋅6⋅8… n

-Si n est étrange:

n!! = 1⋅3⋅5⋅7… n

Formules pour les semi-factoriels

Les formules suivantes aident à calculer plus facilement les semi-factoriels, surtout en ce qui concerne les grands nombres.

Ce qui suit est observé dans le cas que N est uniforme:

n!! = (2⋅11) ⋅ (2⋅2) ⋅ (2⋅3) ⋅ (2⋅4)… 2f.…) ⋅ [1⋅2⋅3⋅4… (n / 2)] =

= 2^{(N / 2)} . (N / 2)!

Et si n est étrange, alors:

n!! = 1⋅3⋅5⋅7… n

Multiplier et diviser en même temps par [2 . 4 . 6… (n - 1)], l'expression reste:

n!! = [1mero

Mais le montant entre les clés est:

1⋅2 négation . (N -1) ⋅n

Et c'est n!, Comme vu ci-dessus, alors, lors du remplacement:

n!! = n! ÷ [2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)]

Ce qui est à Square est réécrit comme ceci:

[2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)] = 2^{[(N-1) / 2]} ⋅ [(n-1) / 2)]!

Donc:

n!! = n! ÷ [2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)] = n! ÷ 2^{[(N-1) / 2]} ⋅ [(n-1) / 2)]!

Exemples

Les propriétés ci-dessus sont appliquées pour simplifier les expressions contenant factorielle, en tenant compte du fait que, en général, les expressions suivantes ne sont pas équivalentes:

1. (m ± n)! ≠ m! ± n!
2. (m x n)! ≠ m! x n!
3. (m ÷ n)! ≠ m! ÷ n!
4. (mⁿ)! ≠ (m!)ⁿ
5. (m!)! ≠ m!!

Exemple 1

Lors du calcul directement de ces factoriels:

à 5!

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b) 8!

c) 4!!

d) 11!!

e) 14!!

f) (2n + 1)!!

Les valeurs sont obtenues:

à 5! = 5 . 4. 3. 2. 1 = 120

b) 8! = 8 . 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 40320

c) 4!! = 2⋅4 = 8

d) 11!! = 11⋅ 9 ⋅7⋅5⋅ 3⋅1 = 10395

e) 14!! = 14⋅12⋅10⋅8ves

f) (2n + 1)!! = 1⋅3⋅5⋅7… (2n-3) ⋅ (2n-1) ⋅ (2n + 1)

Les résultats de a) jusqu'à e) peuvent également être corroborés avec une calculatrice. Les calculatrices scientifiques ont une fonction pour calculer directement la valeur de x!.

Comme on peut le voir, les résultats des factoriels, sauf avec de petits nombres, sont des valeurs qui augmentent très rapidement.

Exemple 2

Les expressions fractionnaires suivantes peuvent être simplifiées lors de l'utilisation des propriétés:

Exercices résolus

Exercice résolu 1

Vérifiez, en utilisant la formule de cofacture, ces résultats ont précédemment obtenu:

a) 11!! = 10395

b) 14!! = 645120

Solution à

Puisque 11 est impair, les valeurs sont soigneusement remplacées dans la formule appropriée:

n!! = n! ÷ 2^{[(N-1) / 2]} . [(N-1) / 2)]!

Puis le résultat est simplifié par les propriétés des factorielles:

onze!! = 11! ÷ 2^{[(11-1) / 2]} . [(11-1) / 2)]! = 11! ÷ 2^{[(10) / 2]} . [(10) / 2)]! = 11! ÷ 2⁵ . 5! = (11 . dix. 9. 8. 7. 6. 5!) ÷ [(32). 5!] = (11⋅10⋅9 ⋅ 8⋅7⋅6) ÷ 32 = 10395

Comme prévu, le même résultat a été obtenu comme en calculant 11!! directement, cependant, l'utilisation de la formule est avantageuse pour une grande valeur N, car elle permet d'exprimer le double factoriel en tant que produit de deux facteurs.

Solution B

En appliquant la formule semi-factorielle pour N TAR et en remplaçant les valeurs, ce qui suit est obtenu:

14!!= 2^(14/2) ⋅ (14/2)! = 2⁷ ⋅ 7! = 128 × 5040 = 645120

Exercice résolu 2

Écrivez les opérations suivantes comme quotients factoriels:

a) 7⋅6⋅5⋅4⋅3

b) n⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ (n-3)

c) (n-1) ⋅ (n-2) .. .(N-9)

Solution à

7⋅6⋅5⋅4⋅3 = 7! / 2!

Solution B

N⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ (n-3) = n! / (N - 4)!

Solution C

(N-1) ⋅ (n-2) .. .(N-9) = (n-1)! / (N-10)!

Exercice résolu 3

Il y a 4 carrés de couleurs: bleu, orange, violet et vert, et vous voulez vous localiser après l'autre sur une table. Combien de façons les carrés peuvent être placés?

Peut vous servir: fonction constante: caractéristiques, exemples, exercices Figure 2. Combien de combinaisons peuvent être fabriquées en alignant quatre carrés de couleurs?. Le résultat peut être exprimé comme un numéro factoriel Source: F. Zapata.

Solution

Il existe plusieurs façons d'éliminer les carrés, par exemple la fixation d'abord de la couleur. Voici quelques options:

-Bleu, orange, violet et vert

-Bleu, vert, orange et violet

-Bleu, violet, vert et orange

Et ainsi de suite. Le lecteur peut vérifier qu'il y a 6 combinaisons de carrés qui commencent par le bleu.

Notez que lorsque vous définissez une couleur comme première option, vous pouvez réparer les 3 autres couleurs. Une fois la seconde fixée, il y en a 2 à choisir, et une fois cette couleur sélectionnée, il ne reste qu'une couleur.

Cela peut être exprimé par le produit: 4⋅3⋅2⋅1, qui est le factoriel de 4!:

4! = 4ves

Il est conclu qu'au total, il y a 24 combinaisons possibles.

De cette manière d'organiser, il s'appelle permutation, dans lequel l'ordre dans lequel les éléments sont placés.

Exercice résolu 4

Résolvez les équations suivantes:

a) (x² + X)! = 720

Solution à

Au début, on a vu que 6! = 720, donc:

(X² + X)! = 6!

Ensuite, le montant entre les parenthèses doit être de 6:

X² + x = 6

Il s'agit d'une équation du deuxième degré en x:

X² + x - 6 = 0

Cette équation peut être résolue en utilisant la formule générale ou par factorisation trinomiale.

En utilisant cette dernière méthode, le trinôme est factorisé comme suit:

X² + x - 6 = (x + 3) ⋅ (x -2) = 0

Les solutions d'équation sont x₁ = -3 et x₂ = 2

Solution B

Le numérateur et le dénominateur sont tous deux facteurs, en vue de simplifier le plus que l'expression peut être. Pour commencer, dans le dénominateur, vous pouvez être facteur (x + 7)!

Avec cela, il est possible d'annuler le terme (x + 7)!, rester:

Comme (x + 9)! = (x + 9) ⋅ (x + 8)! Le dénominateur peut être annulé et reste:

(x + 8)! = 14!

La propriété 3 est une équation simple:

x + 8 = 14

x = 6

Les références

1. Hoffman, J.g. Sélection de problèmes de mathématiques. Élégant. Spphinx.
2. Lipschutz, s. 2007. Mathématiques discrètes. Série Schaum. 3e. Édition. McGraw Hill.
3. Les mathématiques sont amusantes. Fonction factorielle. Récupéré de: Mathisfun.com.
4. Smarttick. Factorielle pour quoi les utilisons-nous pour?. Récupéré de: Smartick.est.
5. Stewart, J. 2006. Précaulement: mathématiques pour le calcul. 5e. Édition. Cengage Learning.