Fonction de croissance comment l'identifier, des exemples, des exercices

Tu en as un fonction de croissance Lorsque la valeur de y augmente si le X augmente également, par opposition aux fonctions décroissantes, dans lesquelles la valeur et diminue lorsque le X augmente.

La figure suivante montre une fonction de croissance, et il est clairement observé que lors du passage de gauche à droite sur l'axe x, la valeur de la coordonnée respective et, équivalent à f (x), augmente progressivement. On dit que si pour tout x₂ > x₁, Ensuite, il existe et₂ > et₁.

Figure 1. Une fonction croissante. Source: F. Zapata.

Les points P₁ Et P₂ Ils sont montrés, ils ont respectivement des coordonnées (x₁, et₁) et (x₂,et₂). Ils sont définis:

Δy = y₂ -et₁

Δx = x₂ -X₁

Dans cette fonction, Δy et Δx ont un signe positif, ce qui signifie que et₂ > et₁ et x₂ > x₁, respectivement. C'est un signe clair que la fonction augmente efficacement.

Un bon exemple de fonction toujours en croissance (augmentation monotone) est le logarithme népérienne d'un nombre réel. Plus le nombre est élevé, plus son logarithme est élevé.

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Comment identifier une fonction de croissance?

Dans une fonction simple et continue comme le montre la figure 1, il est facile de déterminer si la fonction augmente ou diminue, à condition que le graphique soit disponible.

Cependant, les fonctions plus complexes peuvent croître à certains intervalles et diminuer dans d'autres. C'est pourquoi nous parlons de Intervalles de croissance et diminuer d'une fonction.

Dans le réseau, il existe des graphiques en ligne gratuits, comme Geogebra, qui permettent de graphiquement toutes sortes de fonctions. Ayant le graphique, il est facile de déterminer si la fonction augmente toujours, comme f (x) = log x ou s'il a des intervalles dans lesquels il grandit et d'autres dans lesquels il diminue et ce qui est.

Critère du premier dérivé

Compte tenu d'un certain intervalle numérique I, si le quotient entre les quantités Δy et Δx est positif, la fonction augmente. Et au contraire, s'il est négatif, la fonction diminue.

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Vous devez:

Δy / Δx> 0 → Fonction de croissance

Le fait que Δy / Δx> 0 et la fonction augmentent dans un certain intervalle, suggère que le premier dérivé de la fonction, ou plutôt son signe, peut être utilisé comme critère pour déterminer si en effet, la fonction se développe dans un particulier intervalle ou même à un certain point de votre domaine.

En effet, le premier dérivé est défini comme la pente de la courbe à chaque point:

Ce qui signifie que Δx peut être fait aussi petit que vous le souhaitez. Si f '(x)> 0 pour une certaine valeur de x, par exemple x = a, la pente de la courbe à ce point f' (a) est positive et la fonction y augmentera.

Le théorème suivant offre un critère pour savoir quand une fonction augmente dans l'intervalle (A, B):

Théorème

Soit f (x) une fonction dérivable en (a, b). Si f '(x)> 0, pour toute valeur de x appartenant audit intervalle, il est dit que f (x) se développe (a, b).

Le théorème est appliqué pour découvrir dans quel intervalles la fonction augmente, en suivant ces étapes:

Étape 1

Trouver les points auxquels f '(x) = 0, ainsi que ceux dans lesquels F' (x) n'existe pas. Ceux-ci, appelés points critiques, Ce sont des points où f '(x) peut changer de signe et donc f (x) a la possibilité de passer de la croissance à la diminution ou vice versa.

Étape 2

Trouvez le signe de f '(x) pour une valeur arbitraire dans chacun des intervalles déterminés par les points trouvés à l'étape 1.

Étape 3

Utilisez le théorème pour savoir si la fonction augmente ou non dans chaque intervalle.

Exemples de fonctions de croissance

Il existe des fonctions qui ont des intervalles de croissance et d'autres de diminution, mais ceux ci-dessous sont toujours en croissance.

Poids basé sur l'âge

Le poids de la personne depuis sa naissance, jusqu'à une fin d'adolescence, est presque toujours une fonction croissante de l'âge. Les bébés et les enfants grandissent et se développent au fil des ans, puis, lorsqu'ils atteignent l'âge adulte, le reste de leur vie devrait maintenir un poids stable, bien que les hauts et les bas soient très fréquents.

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La fonction de logarithme

Les fonctions du logarithme variable réel Neperian F (x) = Ln x et le logarithme décimal f (x) = log x se développe toujours.

La fonction racine carrée d'un nombre réel

Une autre fonction qui se développe toujours est la fonction racine carrée d'un nombre réel positif:

y = √x

La fonction associée et la fonction linéaire

La fonction connexe:

f (x) = mx + b

Il grandit chaque fois que la ligne est une pente positive. De même, les fonctions d'identité et linéaires:

f (x) = x et f (x) = hache, avec a> 0

Ils grandissent dans tout leur domaine.

La fonction exponentielle

Une fonction exponentielle telle que f (x) = e^X  Et en général, la fonction de la forme:

f (x) = a^X, Avec un> 1

Ils grandissent dans tout leur domaine.

La fonction d'index d'impar potentiel

Les fonctions potentielles de l'exposant étrange, comme celles-ci:

• f (x) = x³
• g (x) = x⁵

Ils grandissent toujours.

Exercices

Exercice 1

Déterminer dans quels intervalles la fonction représentée dans le graphique suivant augmente:

Figure 2. Fonction avec des intervalles de croissance et de diminution. Source: F. Zapata.

Solution

Comme le graphique est disponible, à partir de son observation minutieuse, il est déterminé que la fonction a le comportement suivant:

-De x → -∞ à x = 0, la fonction augmente, car les valeurs de y deviennent de moins en moins négatives. De petits segments de pente ont été dessinés en violet pour indiquer la pente de la ligne tangente à la courbe à différents points (la pente de la tangente à la courbe est précisément sa première dérivée).

Ces segments ont une pente positive, donc le théorème garantit que la fonction augmente dans cet intervalle.

-Mais à x = 0, la pente de la courbe est annulée, ce qui est indiqué par un petit segment rouge horizontal. C'est un point critique de la fonction.

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De là, la fonction commence à diminuer, devenant plus négatif les valeurs et. Cette situation se poursuit jusqu'à x = 2, ce qui est un autre point critique.

Ensuite, dans l'intervalle de x = 0 à x = 2, la fonction diminue.

-De x = 2, la fonction devient de moins en moins négative, jusqu'à ce qu'à x = 3 traverse l'axe x et continue de devenir plus positif à chaque fois. C'est donc un intervalle de croissance.

Conclusion: les intervalles de croissance sont (-∞, 0) et (2, ∞ +), tandis que l'intervalle de diminution est (0,2).

Exercice 2

Déterminez les intervalles de croissance de la fonction suivante, à travers les critères de la première dérivée:

f (x) = x² - 2x

Solution

Suivant les étapes indiquées ci-dessus, la première dérivée est calculée et équivaut à 0 pour trouver les points critiques:

f '(x) = 2x -2

2x - 2 = 0

x = 1

Cette valeur détermine l'existence des intervalles (-∞, 1) et (1, ∞ +). Deux valeurs arbitraires sont choisies qui appartiennent à chacun:

-Pour x = 0, qui appartient à (-∞, 1), vous devez f '(0) = 2.0 - 2 = -2. Comme le résultat est négatif, la fonction diminue dans cet intervalle.

-Pour x = 3, appartenant à (1, ∞ +), la première dérivée vaut f '(3) = 2.3 - 2 = 4. Puisque le résultat est positif, il est conclu que la fonction se développe dans cet intervalle.

Le lecteur peut représenter graphiquement la fonction d'origine f (x) = x² - 2x sur un graphique en ligne pour corroborer ce résultat.

Les références

1. Ayres, f. 2000. Calcul. 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. 1992. Calcul avec géométrie analytique. Harla, s.POUR.
3. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, s. ET. (2007). Calcul. Mexique: Pearson Education.
4. Matemobile. Fonctions, en croissance, en diminution et constante. Récupéré de: Matemovil.com
5. Requena, b. Fonctions de croissance. Récupéré de: universoformules.com.
6. Stewart, J. 2006. Précaulement: mathématiques pour le calcul. 5e. Édition. Cengage Learning.