Propriétés de transformée de Fourier, applications, exemples

La Transformée de Fourier Il s'agit d'une méthode d'adéquation analytique orientée vers des fonctions intégrables qui appartiennent à la famille de Tcomplet ransformé. Il se compose d'une redéfinition des fonctions F (t) en termes de cos (t) et de sen (t).

Les identités trigonométriques de ces fonctions, ainsi que leurs caractéristiques de dérivation et d'antidérivation, servent à définir la transformation de Fourier par la fonction complexe suivante:

Qui est rempli alors que l'expression a du sens, c'est-à-dire lorsque l'intégrale inappropriée est convergente. Algébriquement, il est dit que la transformation de Fourier est un homéomorphisme linéaire.

Toute fonction qui peut être travaillée avec Fourier Transform doit présenter une nullité en dehors d'un paramètre défini.

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Propriétés

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La transformée de Fourier répond aux propriétés suivantes:

Existence

Pour vérifier l'existence de la transformée de Fourier en une fonction f (t) définie dans les Royals R, Les 2 axiomes suivants doivent être atteints:

1. f (t) est continu en pièces pour tout R
2. f (t) est intégrable dans R

Linéarité de transformation de Fourier

Soit m (t) et n (t) deux deux fonctions avec une Fourier définie transformée, avec les constantes a et b tout.

F [a m (t) + b n (t)] (z) = a F [M (t)] (z) + b F [N (t)] (z)

Qui repose également sur la linéarité de l'intégrale du même nom.

Fourier transformé d'un dérivé

Vous avez une fonction F  qui est continu et intégrable dans tous les reais, où:

Et le dérivé de F (f ') Il est continu et défini en pièces dans tout R

La transformée de Fourier d'un dérivé est définie par l'intégration par des parties, par l'expression suivante:

F [f '(t)] (z) = izF [f (t)] (z)

Dans les dérivations d'ordre supérieur, il sera appliqué de manière homologue, où pour tout n 1 vous devez:

F [F ⁿ'(t)] (z) = (iz)ⁿF [f (t)] (z)

Différenciation de la transformée de Fourier

Vous avez une fonction F  qui est continu et intégrable dans tous les reais, où:

I (d / dz)F [f (t)] (z) = F  [t .  f (t)] (z)

Fourier transformé d'une traduction

Pour tout θ qui appartient à un ensemble et T qui appartient à l'ensemble S ', vous devez:

F [ τ_pour θ] =  et^-Iay F [ θ]                                 F [ τ_pourT ] =  et^-Iax  F [ T]   

Avec  τ_pour  travaillant comme opérateur de traduction sur le vecteur pour.

Traduction de la transformée de Fourier

Pour tout θ qui appartient à un ensemble et T qui appartient à l'ensemble S ', vous devez:

τ_pour F [θ] =  F [et^-Iax.θ]                                τ_pour F [t ] =  F [et^-Iay . T]

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Pour tout pour qui appartient à R

Transformée de Fourier d'un groupe à l'échelle

Pour tout θ qui appartient à un ensemble s. T qui appartient à l'ensemble s '

λ appartenant à R - 0  il faut que:

F [θ (λx)] = (1 / | λ |) F [θ] (et/λ)                 

F [T (λx)] = (1 / | λ |) F [T] (et / λ)

Ouais F C'est une fonction continue et purement intégrable, où A> 0. Ensuite:

F [f (at)] (z) =   (1 / a) F [f (t)] (z / a) 

Pour démontrer ce résultat, nous pouvons procéder au changement de variable.

Lorsque t → + puis s = à → + ∞

Lorsque t → - puis s = à → - ∞

Symétrie

Pour étudier la symétrie de la transforma de Fourier.

Vous avez θ et δ qui appartiennent à S. De là, il peut être déduit que:

Obtention

1 / (2π)^d  F [θ ], F [Δ]] Identité de parseval

1 / (2π)^{D / 2}  || F [θ ]] ||_L²_R^d     Formule Plancherel

Fourier s'est transformé d'un produit en convolution

Chassant des objectifs similaires que dans la transformée de Laplace, la convolution des fonctions fait référence au produit parmi ses transformations de Fourier.

Il a F et G comme 2 fonctions limité, définie et complètement intégrable:

F (f * g) = f (f) . F (g)

Ensuite, lors du changement de variable

t + s = x; La double intégrée à double intégration est continue

F (f) . F (g) = f (f . g)

Continuité et chute dans l'infini

Pour tout θ qui appartient à R, f [ θ] obéit aux critères de la fonction continue limitée dans r^d.

Aussi F [ θ] (y) → 0 en c si | y | → ∞

Histoire

Ce concept mathématique a été présenté par Joseph B. Fourier en 1811 tout en développant un traité concernant le Se propager. Il a été rapidement adopté par diverses branches de la science et de l'ingénierie.

Il a été établi comme le principal outil de travail dans l'étude des équations avec des dérivés partiels, comparant même avec la relation de travail entre le Laplace transformée et équations différentielles ordinaires.

Quelle est la transformation de Fourier pour?

Il sert principalement à des équations importantes, tout en transformant des expressions dérivées en éléments de puissance, qui désignent les expressions différentielles sous forme de polynômes intégrables.

Dans l'optimisation, la modulation et la modélisation des résultats, il agit comme une expression standardisée, étant une ressource fréquente pour l'ingénierie après plusieurs générations.

Série de Fourier

Ce sont des séries définies en termes de cosen et de seins; Ils servent à faciliter le travail avec des fonctions périodiques générales. Lorsqu'ils sont appliqués, ils font partie des techniques de résolution des équations différentielles partielles et ordinaires.

Il peut vous servir: vraie fonction variable réelle et sa représentation graphique

Les séries de Fourier sont encore plus générales que la série de Taylor, car ils développent des fonctions de discontinua périodiques qui n'ont aucune représentation dans la série Taylor.

Autres formes de la série Fourier

Pour comprendre analytiquement la transformée de Fourier, c'est important.

-Série de Fourier sur une fonction de période de 2L

Plusieurs fois, il est nécessaire d'adapter la structure d'une série de Fourier, à des fonctions périodiques dont la période est p = 2l> 0 dans l'intervalle [-l, l].

-Série de Fourier dans des fonctions uniques et étranges

L'intervalle [-π, π] est pris en compte qui offre des avantages lors de la mise en profit des caractéristiques symétriques des fonctions.

Si F Is Torque, la série Fourier est établie comme une série de cosenos.

Si F est étrange, la série Fourier est établie comme une série de seins.

-Notation complexe de la série Fourier

Si vous avez une fonction F (t), qui répond à toutes les exigences développées de la série Fourier, il est possible de le désigner dans l'intervalle [-t, t] en utilisant sa notation complexe:

Applications

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Calcul de la solution fondamentale

La transformation de Fourier est un outil puissant dans l'étude des équations différentielles partielles du type linéaire avec des coefficients constants. Appliquer des fonctions avec des domaines qui ne sont pas limités également.

Comme la transformée de Laplace, la transformée de Fourier transforme une fonction des dérivés partiels, en une équation différentielle ordinaire beaucoup plus facile à utiliser.

Le problème de Cauchy pour l'équation thermique présente un champ d'application fréquent de la transformée de Fourier où la fonction est générée Heat de Dirichlet ou noyau central.

En ce qui concerne le calcul de la solution fondamentale, les cas suivants sont présentés là où il est courant de trouver la transformée de Fourier:

-Équation de Laplace

-Équation thermique

-Équation de Schrödinger

-Équation des vagues

Théorie du signal

La raison générale de l'application de la transformée de Fourier dans cette branche est principalement due à la décomposition caractéristique d'un signal en tant que chevauchement infini de signaux plus facilement traitables.

Il peut s'agir d'une onde sonore ou d'une onde électromagnétique, la transformée de Fourier l'exprime dans une simple vague de chevauchement. Cette représentation est assez fréquente en génie électrique.

Peut vous servir: ligne verticale

D'un autre côté, ce sont des exemples d'application de la transformée de Fourier dans le domaine de la théorie du signal:

-Problèmes d'identification du système. Établi F et G

-Problème avec la cohérence du signal de sortie

-Problèmes avec le filtrage du signal

Exemples

Exemple 1

Définissez la transformée de Fourier pour l'expression suivante:

Nous pouvons également le représenter comme suit:

F (t) = Péché (t) [h_{(T + k)} - H_{(T - k)} ]]

L'impulsion rectangulaire est définie:

p (t) = h_{(T + k)} - H_{(T - k)}

La transformée de Fourier est appliquée à l'expression suivante qui ressemble au théorème de modulation.

f (t) = p (t) sin (t)

Où: F [w] = (1/2) i [p (w + 1) - p (w - 1)]

Et la transformée de Fourier est définie par:

F [w] =  (1/2) i [(2 / 2w + 1) Sen (K (W + 1)) - (2 / 2W + 1) Sen (K (W-1))]

Exemple 2

Définissez la transformée de Fourier pour l'expression:

Par définition, nous exprimons la transformation comme suit

Parce que f (h) est une fonction uniforme, on peut affirmer que

Dérivant dans l'intégrale par rapport à Z, l'expression peut être réécrite. Cette étape est importante dans le travail avec des équations différentielles.

L'intégration par pièces est appliquée en sélectionnant les variables et leurs différentiels comme suit

u = sin (zh) du = z cos (zh) dh

dv = h (e^-H)²                       V = (e^-H)² / 2

Le remplacer

Après avoir évalué sous le théorème fondamental du calcul

En appliquant des connaissances antérieures liées aux équations différentielles du premier ordre, l'expression est désignée comme

Pour obtenir K, nous évaluons 

Enfin, la transformation de Fourier est définie comme

Exercices proposés

• Déterminez la transformée de Fourier d'expression
• Résolvez l'intégrale inappropriée suivante en utilisant l'égalité de Pareseval
• Obtenez la transformation de l'expression avec (1 + w²)

Les références

1. Duoandikoetxea Zuazo, J., Analyse de Fourier. Addison- Wesley Iberoamericana, Université autonome de Madrid, 1995.
2. Lions, J. L., Analyse mathématique et méthodes numériques pour la science et la technologie. Springer-Verlag, 1990.
3. Lieb, e. H., Les grains gaussiens n'ont que des maxizers gaussiens. Inventer. Mathématiques. 102, 179-208, 1990.
4. Dym, h., McKean, H. P., Série de Fourier et intégrales. Academic Press, New York, 1972.
5. Schwartz, L., Théorie des distributions. Élégant. Hermann, Paris, 1966.