Somme de l'histoire, des formules et des propriétés de Riemann, des exercices

La Riemann Sum C'est le nom qui reçoit le calcul approximatif d'une intégrale définie, au moyen d'une somme discrète avec un numéro de termes finis. Une application commune est l'approche du domaine des fonctions dans un graphique.

C'est le mathématicien allemand Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) qui a offert pour la première fois une définition rigoureuse de l'intégrale d'une fonction dans un intervalle donné. Il l'a annoncé dans un article publié en 1854. 

Figure 1. La somme de Riemann est définie sur une fonction F et une partition dans l'intervalle [x0, x1]. Source: Fanny Zapata.

La somme de Riemann est définie sur une fonction y = f (x), avec x appartenant à l'intervalle fermé [a, b]. Sur cet intervalle, une partition P de n éléments est réalisée:

P = x₀= a, x₁, X₂,…, X_n= b

Cela signifie que l'intervalle est divisé comme suit:

 Ici t_k est entre x_K-1 et x_k:

X_K-1 ≤ t_k ≤ x_k

La figure 1 montre la somme de Riemann de la fonction F dans l'intervalle [x₀, X₄] Sur une partition de quatre sous-intervalles, les rectangles gris.

La somme représente la surface totale des rectangles et le résultat de cette somme est des approches numériquement de la zone sous la courbe f, parmi les abscisses x = x₀ y x = x₄.

Bien sûr, l'approche de la zone sous la courbe s'améliore considérablement dans la mesure où le nombre n des partitions est plus grande.  De cette façon, la somme converge vers la zone sous la courbe, lorsque le nombre n les partitions ont tendance à l'infini.

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Formules et propriétés

La somme de Riemann de la fonction f (x) sur la partition:

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P = x₀= a, x₁, X₂,…, X_n= b

Défini sur l'intervalle [a, b], il est donné par:

S (p, f) = ∑_{K = 1}ⁿ f (t_k) (X_k - X_K-1) 

Où t_k C'est une valeur dans l'intervalle [x_k, X_K-1]]. Dans la somme de Riemann, des intervalles réguliers de largeurs sont généralement utilisés Δx = (b - a) / n, où a et b sont les valeurs minimales et maximales de l'abscisse, tandis que n est le nombre de subdivisions.

Dans ce cas, le La bonne somme de Riemann est:

Sd (f, n) = [f (a + Δx) + f (a + 2Δx) +… + f (a + (n-1) Δx) + f (b)] * Δx

Figure 2. La bonne somme de Riemann. Source: Wikimedia Commons. 09Glasgow09 [CC BY-SA (https: // CreativeCommons.Org / licences / by-sa / 3.0)].

Tandis que le La somme gauche de Riemann Il est exprimé comme:

Oui (f, n) = [f (a) + f (a + Δx) +… + f (a + (n-1) Δx)] * Δx

figure 3. Somme de Riemann est parti. Source: Wikimedia Commons. 09Glasgow09 [CC BY-SA (https: // CreativeCommons.Org / licences / by-sa / 3.0)]

Finalement, le Somme centrale de Riemann est:

Sc (f, n) = [f (a + Δx / 2) + f (a + 3Δx / 2) +… + f (b- Δx / 2)] * Δx

Figure 4. Somme intermédiaire de Riemann. Source: Wikimedia Commons. 09Glasgow09 [CC BY-SA (https: // CreativeCommons.Org / licences / by-sa / 3.0)]

Selon l'endroit où se trouve le point T_k Dans l'intervalle [x_k, X_K-1] La somme de Riemann peut surestimer ou sous-estimer la valeur exacte de la zone sous la courbe de fonction y = f (x) (x). C'est-à-dire que les rectangles peuvent exceller à partir de la courbe ou être un peu en dessous.

La zone sous la courbe

La principale propriété de la somme de Riemann et dont son importance devient, est que si le nombre de subdivisions tend à l'infini, le résultat de la somme converge vers l'intégrale définie de la fonction:

L'expression précédente correspond à la définition de l'intégrale de Riemann et s'applique à condition que la fonction F soit continue et douce. Pour des fonctions plus particulières, il existe d'autres définitions de l'intégrale (intégrale de sieldjes et intégrale de Lebesgue).

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Exercices résolus

- Exercice 1

Calculez la valeur de l'intégrale définie entre a = -2 à b = +2 de la fonction:

f (x) = x²

Utilisez une somme de Riemann. Pour ce faire, trouvez la somme pour les partitions régulières de l'intervalle [A, B], puis prenez la limite mathématique pour le cas où le nombre de partitions se trouvent à Infinity. 

Solution

Ce sont les étapes à suivre:

-Premièrement, l'intervalle de partition est défini comme: 

Δx = (b - a) / n. 

-Ensuite, la somme de Riemann à droite correspondant à la fonction f (x) est comme ceci:

-Maintenant, ils sont remplacés a = -2 et b = + 2, de sorte que l'intervalle ou l'étape Δx = 4 / n. C'est-à-dire que la somme de Riemann pour la fonction f (x) = x² est:

-Ensuite, le binôme carré est développé: 

[-2 + (4i / n)]² = 4 - (16 i / n) + (4 / n)² Toi²

-Et puis il est soigneusement remplacé par la somme:

-L'étape suivante consiste à séparer les résumés et à supprimer les quantités constantes comme facteur commun de chaque somme. Il faut prendre en compte que l'index est i, donc les nombres et les termes avec n Ils sont considérés comme constants:

-Chaque somme est évaluée, car pour chacun d'eux, il y a des expressions appropriées. Par exemple, le premier des résumés da n:

Le second est:

 Et le troisième est:

 -Remplacement des résultats des résumés dans la somme de Riemann, il est enfin obtenu:

S (f, n) = 16 - 64 (n + 1) / 2n + 64 (n + 1) (2n + 1) / 6n²

-Enfin, vous devez calculer l'intégrale est:

= lim_N➝∞ [16 - 64 (n + 1) / 2n + 64 (n + 1) (2n + 1) / 6n²] =

= 16 - (64/2) + (64/3) = 16/3 = 5,333

Le lecteur peut vérifier qu'il s'agit du résultat exact, qui peut être obtenu en résolvant l'intégrale indéfinie et en évaluant les limites de l'intégration par la règle Barrow.

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- Exercice 2

Déterminez approximativement la zone sous la fonction: 

f (x) = (1 / √ (2π) e^{(-X2/ 2)}

Entre x = -1 et x = + 1, en utilisant une somme centrale de Riemann avec 10 partitions. Comparez avec le résultat exact et estimez la différence en pourcentage.

Solution

L'étape ou l'augmentation entre deux valeurs discrètes successives est:

Δx = (1 - (-1) / 10 = 0,2

De sorte que la partition P sur laquelle les rectangles sont définis est comme ceci:

P = -1,0; -0,8; -0,6; -0,4; -0,2; 0,0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1.0

Mais comme ce que vous voulez, c'est la somme centrale, la fonction F (x) sera évaluée dans les points médians des sous-intervalles, c'est-à-dire dans l'ensemble:

T = -0.9; -0,7; -0,5; -0,3; -0,1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9.

La somme de Riemann (centrale) est comme ceci:

S = f (-0,9) * 0,2 + f (-0,7) * 0,2 + f (-0,5) * 0,2 +… + f (0,7) * 0,2 + f (0,9) * 0,2

Étant donné que la fonction F est symétrique, il est possible de réduire la somme à seulement 5 termes et le résultat est multiplié par deux:

S = 2 * 0,2 * F (0,1) + F (0,3) + F (0,5) + F (0,7) + F (0,9)

S = 2 * 0,2 * 0,397+ 0,381+ 0,352+ 0,312+ 0,266 = 0,683

La fonction donnée dans cet exemple n'est autre que la cloche bien connue (normalisée, avec une moyenne égale à zéro et à l'écart type). Il est connu que la zone sous la courbe dans l'intervalle [-1,1] pour cette fonction est de 0,6827.

Figure 5. Zone sous une cloche approximative au moyen d'une somme de Riemann. Source: F. Zapata.

Cela signifie que la solution approximative avec seulement 10 termes coïncide avec la solution exacte jusqu'à trois décimales. Le pourcentage d'erreur entre l'intégrale approximative et l'exact est de 0,07%.

Les références

1. Casteleiro, J. M., & Gómez-Alvarez, R. P. (2002). Calcul complet (illustré ED.). Madrid: éditorial ESIC.
2. Monnaie. Histoire du concept d'intégrale. Récupéré de: le référentiel.Monnaie.est
3. UIS. Riemann Sums. Récupéré de: mathématiques.UIS.Édu.co
4. Wikipédia. Riemann Sum. Récupéré de: est.Wikipédia.com
5. Wikipédia. Intégration de Riemann. Récupéré de: est.Wikipédia.com