Permutations sans formules de répétition, démonstration, exercices, exemples

Ongle permutation sans répétition de n éléments sont les différents groupes d'éléments différents qui peuvent être obtenus en ne répétant aucun élément, ne variant que l'ordre de placement des éléments.

Pour former une permutation sans répétition de n éléments, des groupes de n éléments doivent être construits sans être répétés. Par exemple: Supposons que vous souhaitez connaître le nombre de permutations ou de nombres de quatre chiffres différents qui peuvent être formés avec le nombre 2468 chiffres.

Pour découvrir le nombre de permutations sans répétition, la formule suivante est utilisée: 

Pn = n! 

Qui élargi serait pn = n!  = N (n - 1) (n - 2)… (2) (1).

Ainsi, dans l'exemple pratique précédent, il s'appliquerait comme suit:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 nombres différents de 4 chiffres.

Ce sont les 24 dispositions au total: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8426, 8426 8462, 8624, 8642.

Comme on peut le voir, il n'y a en aucun cas de répétition, étant 24 nombres différents.

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Démonstration et formules

24 arrangements de 4 chiffres différents

Nous analyserons plus spécifiquement l'exemple des 24 dispositions différentes de 4 chiffres qui peuvent être formées avec le nombre 2468 chiffres. Le montant des arrangements (24) peut être connu comme suit:

Vous avez 4 options pour sélectionner le premier chiffre, qui laisse 3 options pour sélectionner le second. Deux chiffres ont déjà été définis et 2 options sont laissées pour sélectionner le troisième chiffre. Le dernier chiffre n'a qu'une option de sélection.

Par conséquent, le nombre de permutations, désignés par P4, est obtenu par le produit des options de sélection dans chaque position:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 nombres différents de 4 chiffres

En général, le nombre de permutations ou arrangements différentes qui peuvent être pris avec tous les n éléments d'un ensemble donné est:

Pn = n!  = N (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

L'expression n!  Il est connu comme factoriel et signifie le produit de tous les nombres naturels entre le nombre N et le numéro un, y compris les deux.

12 arrangements de 2 chiffres différents

Supposons maintenant que vous souhaitiez connaître le nombre de permutations ou de nombres de deux chiffres différents qui peuvent être formés avec le nombre 2468 chiffres.

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Ce serait 12 arrangements au total: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

Vous avez 4 options pour sélectionner le premier chiffre, qui laisse 3 chiffres pour sélectionner le second. Par conséquent, le nombre de permutations des 4 chiffres prélevés sur deux par deux, désignés par 4p2, est obtenu par le produit des options de sélection dans chaque position:

4p2 = 4 * 3 = 12 nombres différents de 2 chiffres

En général, le nombre de permutations ou arrangements différentes qui peuvent être pris avec des éléments R du N au total dans un ensemble donné est:

Npr = n (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1)]

L'expression précédente est tronquée avant de reproduire n!.  Pour terminer n!  De là, nous devons écrire:

n!  = N (n -1) (n -2)… [n - (r -1) (n -r)… (2) (1)

Les facteurs que nous ajoutons, à leur tour, représentent un factoriel:

(n -r)… (2) (1) = (n -r)!

Donc,

n!  = N (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1) (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… [n - (( R -1)] (n -r)!

D'ici

n!/ (N -r)!  = N (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1)] = npr

Exemples

Exemple 1

Combien de combinaisons de lettres autres que 5 lettres peuvent être construites avec les lettres du mot-clé?

Vous souhaitez trouver le nombre de combinaisons de lettres autres que 5 lettres qui peuvent être construites avec les 5 lettres du mot-clé; c'est-à-dire le nombre d'arrangements de 5 lettres qui impliquent toutes les lettres disponibles dans le mot-clé.

N ° 5 lettres de lettres = p5 = 5!  = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 combinaisons de lettres différentes de 5 lettres.

Ce serait: Key, Velac, LCAEV, VLEAC, ECVLAC ... jusqu'à 120 combinaisons de différentes lettres au total.

Exemple 2

Vous avez 15 balles numérotées et vous voulez savoir combien d'autres groupes de 3 balles peuvent être construits avec les 15 balles numérotées?

Vous souhaitez trouver le nombre de groupes de 3 balles qui peuvent être fabriquées avec les 15 balles numérotées.

Nombre de groupes de 3 balles = 15p3 = 15!/ (15 - 3)!

N ° de groupes de 3 balles = 15 * 14 * 13 = 2730 groupes de 3 balles

Exercices résolus

Exercice 1

Un magasin de fruits a un stand d'exposition qui se compose d'une rangée de compartiments situés dans le hall d'entrée dans les lieux. En une journée, la boutique de fruits acquiert à vendre: oranges, bananes, ananas, poires et pommes.

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a) De combien de façons différentes devez-vous commander le stand de l'exposition?

b) Combien de formulaires différents doit-il commander le stand si en plus des fruits susmentionnés (5), il a reçu ce jour-là: mangues, pêches, fraises et raisins (4)?

a) Vous souhaitez trouver le nombre de façons différentes de commander tous les fruits de la ligne d'exposition; c'est-à-dire le nombre d'arrangements de 5 articles de fruits qui impliquent tous les fruits disponibles à la vente ce jour-là.

Numéro d'arrangements de support = P5 = 5!  = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Numéro d'arrangements du support = 120 façons de présenter le stand

b) Vous souhaitez trouver le nombre de façons différentes de commander tous les fruits de la ligne d'exposition si 4 éléments supplémentaires étaient ajoutés; C'est-à-dire le nombre d'arrangements de 9 articles de fruits qui impliquent tous les fruits disponibles à la vente ce jour-là.

Arrangements de support n °! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Arrangements de stand n ° 362.880 façons de présenter le stand

Exercice 2

Un petit lieu de vente alimentaire a beaucoup de terrain avec suffisamment d'espace pour garer 6 véhicules.

a) Combien de formes différentes de véhicules sur le terrain de terrain peuvent être sélectionnées?

B) Supposons qu'un lot foncier adjacent est acquis dont les dimensions permettent de stationner 10 véhicules, combien de formes différentes de commande de véhicules peuvent désormais être sélectionnées?

a) Vous souhaitez trouver le nombre de façons de commande différentes dans le terrain de terrain les 6 véhicules qui peuvent être hébergés.

N ° des dispositions des 6 véhicules = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° des dispositions des 6 véhicules = 720 façons de commander les 6 véhicules dans le terrain de terrain.

b) Vous souhaitez trouver le nombre de façons de commander différentes dans le terrain de terrain les 10 véhicules qui peuvent être hébergés après l'expansion du terrain de terrain.

N ° des dispositions des 10 véhicules = P10 = 10!

Numéro de disposition du véhicule = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° des dispositions des 10 véhicules = 3.628.800 façons de commander les 10 véhicules dans le terrain de terrain.

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Exercice 3

Un fleuriste a des fleurs de 6 couleurs différentes pour faire des drapeaux floraux des nations qui n'ont que 3 couleurs. Si on sait que l'ordre des couleurs est important dans les drapeaux,

a) Combien de drapeaux différents de 3 couleurs peuvent être fabriqués avec les 6 couleurs disponibles?

b) Le vendeur acquiert des fleurs de 2 couleurs supplémentaires aux 6 qui avaient déjà, maintenant combien de drapeaux autres que 3 couleurs peuvent être fabriqués?

c) Puisqu'il a 8 couleurs décide d'étendre son offre de drapeaux, combien de drapeaux différents de 4 couleurs peuvent se préparer?

d) Combien de 2 couleurs?

a) Vous souhaitez trouver la quantité de drapeaux autres que 3 couleurs qui peuvent être faites en sélectionnant les 6 couleurs disponibles.

N ° de 3 drapeaux de coloro = 6p3 = 6!/ (6 - 3)!

N ° de 3 drapeaux de colorne = 6 * 5 * 4 = 120 drapeaux

b) Vous souhaitez trouver la quantité de drapeaux autres que 3 couleurs qui peuvent être faites en sélectionnant les 8 couleurs disponibles.

N ° de 3 drapeaux de collaboration = 8p3 = 8!/ (8 - 3)!

N ° de 3 drapeaux Colord = 8 * 7 * 6 = 336 drapeaux

c) La quantité de drapeaux autres que 4 couleurs qui peuvent être préparées en sélectionnant les 8 couleurs disponibles doivent être calculées.

N ° de drapeaux à 4 coloras = 8p4 = 8!/ (8 - 4)!

4 -colored Flags Number = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 drapeaux

d) Il est souhaité déterminer la quantité de drapeaux autres que 2 couleurs qui peuvent être préparées en sélectionnant les 8 couleurs disponibles.

2 Numéro de drapeaux colorés = 8p2 = 8!/ (8 - 2)!

2 -colorés Numéro de drapeaux = 8 * 7 = 56 drapeaux

Les références

1. Boada, un. (2017). Utilisation de la permutation avec répétition comme expériences d'enseignement. Magazine Vivat Academy. Récupéré de Researchgate.filet.
2. Canavos, g. (1988). Probabilité et statistique. Applications et méthodes. McGraw-Hill / Inter-American du Mexique. POUR. de c. V.
3. Verre, g.; Stanley, J. (mille neuf cent quatre vingt seize). Méthodes statistiques non appliquées aux sciences sociales. Salle hispano-américaine S Hall S. POUR.
4. Spiegel, m.; Stephens, L. (2008). Statistiques. Quatrième Ed. McGraw-Hill / Inter-American du Mexique. POUR.
5. Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S.; Ye, ka. (2007). Probabilité et statistiques pour les ingénieurs et les scientifiques. Huitième ed. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, un. (2000). Statistiques appliquées aux entreprises et à l'économie. Troisième Ed. McGraw-Hill / Inter-American S. POUR.
7. (2019). Permutation. Récupéré de.Wikipédia.org.