Démonstration des permutations circulaires, exemples, exercices résolus

Le Permutations circulaires Ce sont différents types de groupes de tous les éléments d'un ensemble, lorsqu'ils doivent être ordonnés en cercles. Dans ce type de permutation, l'ordre importe et les éléments ne sont pas répétés.

Par exemple, supposons que vous souhaitiez connaître le nombre d'arrangements autres que les chiffres de un à quatre, plaçant chaque nombre dans l'un des sommets d'un losange. Ce serait 6 arrangements au total:

Il ne doit pas être confondu que le numéro un est en position supérieure du losange dans tous les cas en position fixe. Les permutations circulaires ne changent pas en raison du tour de la disposition. Voici une ou la même permutation:

[TOC]

Démonstration et formules

Dans l'exemple des différentes dispositions circulaires de 4 chiffres situés dans les sommets d'un losange, le nombre d'arrangements (6) peut être trouvé comme ceci:

1- L'un des quatre chiffres est considéré comme un point de départ dans l'un des sommets et le sommet suivant est avancé. (Il est indifférent s'il est tourné dans la direction de l'horloge ou dans la direction opposée à l'horloge)

2- Il existe 3 options pour sélectionner le deuxième sommet, puis il existe 2 options pour sélectionner le troisième sommet et, bien sûr, il n'y a qu'une seule option de sélection pour le quatrième sommet.

3- Ainsi, le nombre de permutations circulaires, indiqués par (4 - 1) p (4 - 1), est obtenu par le produit des options de sélection dans chaque position:

(4 - 1) p (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 arrangements circulaires autres que 4 chiffres.

En général, le nombre de permutations circulaires qui peuvent être réalisées avec tous les n éléments d'un ensemble est:

(N - 1) p (n - 1) = (n - 1)!  = (N - 1) (n - 2)… (2) (1)

Révisez cela (n -1)!  Il est connu comme factoriel et abréviate le produit de tous les nombres du nombre (n -1) au numéro un, les deux inclus.

Il peut vous servir: Nombres rationnels: propriétés, exemples et opérations

Exemples

Exemple 1

Combien de façons différentes ont 6 personnes pour s'asseoir à une table circulaire?

Vous souhaitez trouver le nombre de façons différentes dont 6 personnes peuvent s'asseoir autour d'une table ronde.

N ° de façons de s'asseoir = (6 - 1) p (6 - 1) = (6 - 1)!

Nombre de façons de s'asseoir = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 façons différentes

Exemple 2

Combien de manières différentes ont 5 personnes à localiser dans les sommets d'un Pentagone?

Le nombre de façons dont 5 personnes peuvent être situées dans chacun des sommets d'un Pentagone est recherchée.

N ° de façons d'être localisés = (5 - 1) p (5 - 1) = (5 - 1)!

N ° de façons d'être localisés = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 formes différentes

Exercices résolus

- Exercice 1

Un bijoutier acquiert 12 pierres précieuses différentes pour les localiser aux points des heures d'une horloge qui se prépare à la maison royale d'un pays européen.

a) De combien de façons différentes devez-vous commander les pierres sur l'horloge?

b) Combien de formes différentes avez-vous si la pierre qui va à 12 est unique?

c) Combien de formes différentes si la pierre du 12 est unique et les pierres des trois autres points cardinaux, 3, 6 et 9; Il y a trois pierres particulières, qui peuvent être échangées, et le reste des heures sont attribuées au reste des pierres?

Solutions

a) le nombre de façons d'ordonner toutes les pierres; c'est-à-dire le nombre d'arrangements circulaires qui impliquent toutes les pierres disponibles.

Nombre d'arrangements dans l'horloge = (12 - 1) p (12 - 1) = (12 - 1)!

Peut vous servir: échantillonnage de quota: méthode, avantages, inconvénients, exemples

Nombre d'arrangements dans l'horloge = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° des arrangements dans l'horloge = 39976800 différentes formes

b) Wonders combien de façons de commande différentes existent en sachant que la pierre de la poignée des 12 est unique et fixe; c'est-à-dire le nombre d'arrangements circulaires impliquant les 11 pierres restantes.

N ° des dispositions dans l'horloge = (11 - 1) p (11 - 1) = (11 - 1)!

Nombre d'arrangements dans l'horloge = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° des arrangements dans l'horloge = 3628800 Formes différentes

c) Enfin, le nombre de façons d'ordonner toutes les pierres est recherchée, sauf la pierre des 12 fixées, les pierres des 3, 6 et 9 qui ont 3 pierres à attribuer entre elles; c'est-à-dire 3! possibilités d'arrangement et nombre d'arrangements circulaires impliquant les 8 pierres restantes.

N ° des arrangements dans l'horloge = 3!* [(8-1) p (8-1)] = 3!* (8-1)!

Nombre d'arrangements dans l'horloge = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

N ° des arrangements dans l'horloge = 241920 formes différentes

- Exercice 2

Le comité directeur d'une entreprise se compose de 8 membres et se réunit sur une table ovale.

a) Combien de formes différentes de planification autour de la table le comité a-t-il?

B) Supposons que le président se trouve à la tête de la table dans tout arrangement du comité, combien de formes de planification différentes le reste du comité ont-ils?

c) Supposons que le vice-président et le secrétaire ressentent dans tout arrangement du comité, combien de formes de planification différentes le reste du comité?

Solutions

a) Vous souhaitez trouver le nombre de façons différentes de commander les 12 membres du comité autour de la table ovale.

Arrangements de comité n ° (12 - 1) p (12 - 1) = (12 - 1)!

Peut vous servir: 5 caractéristiques du plan cartésien

Numéro d'arrangements du comité = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Numéro d'arrangements du comité = 39976800 Différents formulaires

b) Étant donné que le président du comité est situé dans une position fixe, le nombre de façons d'ordonner les autres membres du comité autour de la table ovale est recherché.

Arrangements de comité n ° (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Numéro d'arrangements du comité = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Arrangements du comité n ° 3628800 Différents formulaires

c) Le président est situé dans une position fixe et sur les côtés se trouvent le vice-président et le secrétaire avec deux possibilités d'arrangement: vice-président à droite et secrétaire à gauche ou vice-président à gauche et secrétaire à droite. Vous souhaitez alors trouver le nombre de façons différentes de commander les 9 membres restants du comité autour de la table ovale et de multiplier par les 2 formes d'arrangements que le vice-président et le secrétaire ont.

Arrangements du comité n ° 2 * [(9-1) p (9-1)] = 2 * [(9-1)!]]

Arrangements du comité n ° 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Numéro d'arrangements du comité = 80640 Formulaires différentes

Les références

1. Boada, un. (2017). Utilisation de la permutation avec répétition comme expériences d'enseignement. Magazine Vivat Academy. Récupéré de Researchgate.filet.
2. Canavos, g. (1988). Probabilité et statistique. Applications et méthodes. McGraw-Hill / Inter-American du Mexique. POUR. de c. V.
3. Verre, g.; Stanley, J. (mille neuf cent quatre vingt seize). Méthodes statistiques non appliquées aux sciences sociales. Salle hispano-américaine S Hall S. POUR.
4. Spiegel, m.; Stephens, L. (2008). Statistiques. Quatrième Ed. McGraw-Hill / Inter-American du Mexique. POUR.
5. Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S.; Ye, ka. (2007). Probabilité et statistiques pour les ingénieurs et les scientifiques. Huitième ed. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, un. (2000). Statistiques appliquées aux entreprises et à l'économie. Troisième Ed. McGraw-Hill / Inter-American S. POUR.
7. Wikipédia. (2019). Permutation. Récupéré de.Wikipédia.org.