Formules Orthoedro, zone, volume, diagonale, exemples

Il Orthoedro Il s'agit d'une figure géométrique volumétrique ou à trois dimensions qui se caractérise par six faces rectangulaires, de sorte que les faces opposées sont dans des plans parallèles et sont des rectangles identiques ou congruents. D'un autre côté, les visages adjacents à une face donnée sont dans des plans perpendiculaires à celui de la face initiale.

Il peut également être pris en considération lorsque Orthoedro comme un prisme de base rectangulaire orthogonal, dans lequel Angles de dièdres Formés par les plans à deux faces adjacents à un bord commun, ils mesurent 90º. L'angle dièdre entre deux faces est mesuré à l'intersection des faces avec un plan perpendiculaire et commun.

Figure 1. Orthoedro. Source: F. Zapata avec Geogebra.

De même, l'Orthoedro est un rectangle parallélépipé, car cela est défini au parallélépipé comme le chiffre volumétrique de six faces, qui sont parallèles de deux à deux.

Dans tout parallélépipé, les faces sont des parallélogrammes, mais dans le rectangle parallélépipé, les visages doivent être rectangulaires.

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Parties de l'orthoedro

Les parties d'un polyèdre, comme l'orthoedro, ils sont:

-Bords

-Sommets 

-Visages

L'angle entre deux bords d'une face de l'orthoedro coïncide avec l'angle dièdre formé par ses deux autres faces adjacentes à chacun des bords, formant l'angle droit. L'image suivante clarifie chaque concept:

Figure 2. Parties d'un orthoedro. Source: F. Zapata avec Geogebra.

-Au total, un Orthoedro a 6 faces, 12 bords et 8 sommets.

-L'angle entre deux bords est un angle droit.

-L'angle dièdre entre deux côtés est également droit.

-Dans chaque visage, il y a quatre sommets et dans chaque sommet, trois faces mutuellement orthogonales assistent.

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Formules orthoedro

Zone

La surface ou la zone d'un Orthoedro C'est la somme des zones de leurs visages.

Si les trois bords qui sont d'accord dans un sommet ont des mesures A, B et C, comme le montre la figure 3, alors la face avant a une zone C⋅b Et la face de fond a également une zone C⋅B.

Ensuite, les deux visages latéraux ont une zone A⋅b chacune. Et enfin, les visages du sol et du toit ont une zone A⋅c chacune.

figure 3. Orthoedro de dimensions a, b, c. Diagonale interne d et diagonale externe d.

L'ajout de la zone de tous les faces est obtenu:

A = 2⋅c⋅b + 2⋅a⋅b + 2⋅a

Dessin de facteur commun et commande les termes:

A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a)

Volume

Si Orthoedro est considéré comme un prisme, alors son volume est calculé comme suit:

Volume = zone de base du prisme x La hauteur du prisme

Dans ce cas, le plancher des dimensions est considéré comme un rectangulaire c et pour, Donc la zone de base est C⋅a.

La hauteur est donnée par la longueur b Des bords orthogonaux sur les côtés pour et c.

Multiplier la zone de base (A⋅c) à la hauteur b Vous avez le volume V De l'Orthoedro:

V = a⋅b⋅c

Diagonale interne

Dans un Orthoedro, il existe deux types de diagonales: les diagonales externes et les diagonales internes.

Les diagonales externes sont sur des visages rectangulaires, tandis que les diagonales internes sont les segments qui rejoignent deux sommets opposés, compris par des sommets opposés ceux qui ne partagent aucun bord.

Dans un Orthoedro, il y a quatre diagonales internes, toutes de mesure égale. La longueur des diagonales internes peut être obtenue en appliquant le théorème de Pythagore pour les rectangles.

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La longueur D de la diagonale externe du plancher orthoedro remplit la relation pythagorienne:

d² = A² + c²

De même, la mesure de la mesure intérieure de la relation pythagorienne:

D² = D² + b².

Combinant les deux expressions précédentes que vous avez:

D² = A² + c² + b².

Enfin, la longueur de l'une des diagonales internes de l'Orthoedro est donnée par la formule suivante:

D = √ (A² + b² + c² ). 

Exemples

- Exemple 1

Un maçon construit un réservoir en forme d'orthoedro dont les dimensions internes sont: 6 m x 4 m de base et 2 m de haut. On demande:

a) Déterminez la surface intérieure du réservoir si elle est complètement ouverte dans sa partie supérieure. 

b) Calculez le volume de l'espace intérieur du réservoir.

c) Trouvez la longueur d'une diagonale intérieure.

d) Quelle est la capacité du réservoir en litres?

Solution à

Nous prendrons les dimensions de la base rectangulaire a = 4 m et c = 6 m et la hauteur comme b = 2 m

La zone d'un Orthoedro avec les dimensions données est donnée par la relation suivante:

A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 2⋅ (4 m⋅2 m + 2 m⋅6 m + 6 m⋅4 m)

C'est-à-dire:

A = 2⋅ (8 m² + 12 m² + 24 m²) = 2⋅ (44 m²) = 88 m²

Le résultat précédent est la zone de l'Orthoedro fermée avec les dimensions données, mais comme il s'agit d'un réservoir complètement découvert dans sa partie supérieure, pour obtenir la surface des murs intérieurs du réservoir, la zone du couvercle manquant c'est-à-dire:

C⋅a = 6 m ⋅ 4 m = 24 m².

Enfin, la surface intérieure du réservoir sera: s = 88 m² - 24 m² = 64 m².

Solution B

Le volume intérieur du réservoir est donné par le volume d'un orthoedro des dimensions intérieures du réservoir:

V = a⋅b⋅c = 4 m ⋅ 2 m ⋅ 6 m = 48 m³.

Solution C

La diagonale intérieure d'un octaèdre avec les dimensions de l'intérieur du réservoir a une longueur donnée par:

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√ (un² + b² + c² ) = √ ((4 m)² + (2 m)² + (6 m)² )

Effectuer les opérations indiquées que nous avons:

D = √ (16 m² + 4 m² + 36 m² ) = √ (56 m²) = 2√ (14) m = 7,48 m.

Solution d

Pour calculer la capacité du réservoir en litres, il est nécessaire de savoir que le volume d'un décimètre cube équivaut à la capacité d'un litre. Il avait déjà été calculé en volume en mètres cubes, mais il doit être transformé en décimètres cubes puis en litres:

V = 48 m³ = 48 (10 dm)³ = 4.800 dm³ = 4.800 L

- Exercice 2

Un aquarium en verre a une forme cubique de 25 cm côté. Déterminer la zone en m², Le volume en litres et la longueur d'une diagonale intérieure en cm.

Figure 4. Aquarium en verre cube.

Solution

La zone est calculée par la même formule Orthoedro, mais en tenant compte que toutes les dimensions sont identiques:

A = 2⋅ (3 a⋅a) = 6⋅ a² = 6⋅ (25 cm)² = 1.250 cm²

Le volume du cube est donné par:

V = a³ = (25 cm)³ = 15.625 cm³ = 15.625 (0,1 dm)³ = 15 625 dm³ = 15 625 L.

La longueur D de la diagonale intérieure est:

D = √ (3e²) = 25√ (3) cm = 43,30 cm.

Les références

1. Arias J. Geogebra: prisme. Récupéré de: youtube.com.
2. Calcul.Dc. Exercices et problèmes résolus dans les zones et les volumes. Récupéré de: calcul.Dc.
3. Salvador R. Pyramide + Orthoedro avec Geogebra (IHM). Récupéré de: youtube.com
4. Weisstein, Eric. "Ortoedro". Mathworld. RECHERCHE WOLFRAM.
5. Wikipédia. Orthoedro. Récupéré de: est.Wikipédia.com