Exemples de méthode de parallélogramme, exercices résolus

Il Méthode de parallélogramme C'est une méthode graphique pour ajouter deux vecteurs dans le plan. Il est fréquemment utilisé pour trouver le résultat de deux forces appliquées à un corps ou deux vitesses, comme dans le cas d'un nageur qui a l'intention de traverser une rivière perpendiculairement et est détourné par le courant.

Pour construire le parallélogramme, les origines des vecteurs à ajouter, dessinées à l'échelle, doivent coïncider à un point.

Figure 1. La méthode du parallélogramme pour ajouter deux vecteurs. Source: Wikimedia Commons.

Ensuite, les lignes auxiliaires sont tracées parallèles à chaque vecteur, qui atteignent l'extrémité de l'autre, comme indiqué dans la figure supérieure.

L'ajout ou le vecteur résultant, également appelé force nette, est le vecteur F_filet, qui est obtenu en dessinant le vecteur qui va de l'origine commune de F₁ et F₂, au point où les lignes parallèles auxiliaires se croisent. Dans le diagramme de la figure, ceux-ci sont représentés par des lignes pointillées.

La méthode reçoit son nom de la figure formée avec les toxicomanes et les lignes auxiliaires, qui est précisément un parallélogramme. La diagonale principale du parallélogramme est le vecteur de somme.

Il est très important de souligner que l'ordre dans lequel les vecteurs supplémentaires sont placés ne modifient pas la somme, car cette opération entre les vecteurs est commutative.

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Exemple de la méthode du parallélogramme étape par étape

L'image suivante montre les vecteurs V et ou En unités arbitraires. Le vecteur V Mesures 3.61 unités et forme un angle de 56.3e avec l'horizontal, tandis que ou Mesures 6.32 unités et angle de 18.4º concernant cette ligne de référence.

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Trouver votre vecteur ajoute par la méthode du parallélogramme.

Figure 2. Deux vecteurs dans le plan, dont nous voulons trouver le vecteur résultant. Source: F. Zapata

Il est nécessaire de choisir une échelle appropriée, comme celle montrée dans la figure suivante, dans laquelle l'avion a été divisé par une grille. La largeur du carré représente une (1) unité.

Comme les vecteurs ne modifient pas lorsqu'ils sont transférés, ils sont placés de telle manière que leurs origines coïncident avec l'origine du système de coordonnées (image de la gauche).

figure 3. Somme de vecteurs à travers la méthode du parallélogramme. Source: F. Zapata.

Suivons maintenant ces étapes:

1. Vector la fin du vecteur V Une ligne segmentée parallèle au vecteur ou.
2. Répétez la procédure mais cette fois avec la fin du vecteur ou.
3. Dessinez la diagonale principale qui s'étend de l'origine commune au point d'intersection des lignes segmentées.

Le résultat peut être vu dans la bonne image, dans laquelle le vecteur résultant apparaît R.

Si nous voulons connaître l'ampleur de R, Nous pouvons mesurer sa longueur et le comparer à l'échelle que nous avons. Et quant à leur direction, l'axe horizontal ou l'axe vertical peut être utilisé comme références, par exemple.

En utilisant l'axe horizontal ou l'axe x, l'angle qui R la forme avec cet axe est mesurée avec le convoyeur et de cette manière nous connaissons l'adresse de R.

Aussi, l'ampleur et la direction de R Ils peuvent être calculés par les théorèmes du cosinus et du sein, car le parallélogramme formé peut être divisé en deux triangles congruents, dont les côtés sont les modules des vecteurs ou, V et R. Voir l'exemple résolu 1.

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Cas spécial: somme de vecteurs perpendiculaires

Lorsque les vecteurs sont perpendiculaires les uns aux autres, la figure formée est un rectangle. Le module vectoriel résultant correspond à la longueur de la diagonale, qui peut être facilement calculée par le théorème de Pythagore.

Figure 4. Somme de deux vecteurs perpendiculaires en utilisant la méthode de parallélogramme. Source: F. Zapata.

Exercices résolus

- Exercice 1

Vous avez le vecteur V, qui mesure 3.61 unités et forme un angle de 56.3e avec l'horizontal et le vecteur ou, dont la mesure est 6.32 unités et forme un angle de 18.4e (figure 2). Déterminer le module vectoriel résultant R = ou + V et la direction qui forme ledit vecteur avec l'axe horizontal.

Solution

La méthode parallélogramme est appliquée en fonction des étapes décrites ci-dessus, pour obtenir le vecteur R. Comme indiqué précédemment, si les vecteurs sont soigneusement dessinés après l'échelle et l'utilisation de la règle et du transporteur, l'ampleur et la direction de R Ils sont mesurés directement sur le dessin.

Figure 5.- Calcul de l'ampleur et de la direction du vecteur résultant. Source: F. Zapata.

Ils peuvent également être calculés directement, à l'aide de la trigonométrie et des propriétés des angles. Lorsque le triangle formé n'est pas un rectangle, comme dans ce cas, le théorème du cosinus est appliqué pour trouver le côté manquant.

Dans le triangle droit, les côtés mesurent U, V et R. Pour appliquer le théorème du cosinus, il est nécessaire de connaître l'angle entre V et ou, que nous pouvons trouver à l'aide de la grille, positionnant correctement les angles fournis par la déclaration.

Cet angle est α et est composé de:

α = (90-56.3e) + 90º +18.4e = 142.1er

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Selon le théorème de Coseno:

R² = V² + ou² - 2u⋅v⋅cos α = 3.61² + 6.32² - 23.61 × 6.32 × cos 142.1er = 88.98

R = 9.43 unités.

Enfin, l'angle entre R Et l'axe horizontal est θ = 18.4 º + γ. L'angle γ peut être trouvé par le théorème du sein:

sin α / r = sen γ / u

Donc:

sin γ = v (sin α / r) = 3.61 x (Sen 142.1er / 9.43)

γ = 13.6e

θ = 18.4 º + 13.6 º = 32º

- Exercice 2

Un nageur se prépare à traverser une rivière nageant perpendiculairement au courant avec une vitesse constante de 2.0 m / s. Le nageur part de A, mais il se termine par B, un point en aval, en raison du courant qui l'a détourné.

Si la vitesse du courant est 0.8 m / s et toutes les vitesses sont censées trouver la vitesse du nageur vu par un observateur debout sur le rivage.

Solution

Figure 6. Somme de vitesses par la méthode parallélogramme. Source: F. Zapata.

Un observateur debout sur le rivage verrait comment le nageur est détourné en fonction de la vitesse résultante V_R. Pour trouver la réponse, nous avons besoin pour ajouter la vitesse du nageur et la vitesse du courant, que nous appelons V _rivière:

V _R = V _nageur + V _rivière

Dans la figure, qui n'est pas à l'échelle, les vecteurs ont été ajoutés pour obtenir V _R. Dans ce cas, le théorème de Pythagore peut être appliqué pour obtenir sa magnitude:

V_R² = 2.0² + 0.8² = 4.64

V_R = 2.15 m / s

L'adresse dans laquelle le nageur de direction perpendiculaire est facilement calculée, remarquant que:

θ = arctg (2/0.8) = 68.2e

Ensuite, le nageur déviation de 90º - 68.2e = 27.2e de votre adresse d'origine.

Les références

1. Bauer, w. 2011. Physique pour l'ingénierie et les sciences. Volume 1. Mc Graw Hill.
2. Bedford, 2000. POUR. Mécanique pour l'ingénierie: statique. Addison Wesley.
3. Figueroa, D. (2005). Série: Physique pour la science et l'ingénierie. Volume 1. Cinématique. Édité par Douglas Figueroa (USB).
4. Giambattista, un. 2010. La physique. 2e. Élégant. McGraw Hill.
5. Sears, Zemansky. 2016. Physique universitaire avec physique moderne. 14e. Élégant. Volume 1.