Méthode Euler pour ce qui est l'utilisation de la procédure et des exercices

Il Méthode Euler C'est la plus fondamentale et la plus simple des procédures utilisées pour trouver des solutions numériques approximatives, à une équation différentielle ordinaire du premier ordre, à condition que sa condition initiale soit connue.

Une équation différentielle ordinaire (EDO) est l'équation qui relie une fonction inconnue d'une seule variable indépendante avec ses dérivés.

Approches successives par la méthode d'Euler. Source: Oleg Alexandrov [domaine public]

Si le plus grand dérivé qui apparaît dans l'équation est de degré un, alors c'est une équation différentielle ordinaire du premier degré.

La façon la plus générale d'écrire une équation au premier degré est:

avec la condition initiale:

x = x₀

y = y₀

[TOC]

Quelle est la méthode d'Euler?

L'idée de la méthode Euler est de trouver une solution numérique à l'équation différentielle dans l'intervalle entre x₀ et x_F .

Premièrement, l'intervalle en n + 1 points est en désaccord:

X₀, X₁, X₂, X₃…, X_n

Qui sont obtenus comme ceci:
X_Toi= x₀+Ih

Où H est la largeur ou l'étape des sous-intervalles:

Plus le nombre est grand, le résultat sera plus précis, mais un plus grand nombre de points seront nécessaires pour couvrir l'intervalle où nous recherchons la solution et le temps de calcul augmente.

Avec la condition initiale, il est également possible de connaître le dérivé au début:

et '(x_soit) = f (x_soit, et_soit)

Ce dérivé représente la pente de la ligne tangente à la courbe de fonction y (x) précisément au point:

Ao = (x_soit, et_soit)

Ensuite, une prédiction approximative de la valeur de la fonction y (x) est faite au point suivant:

et (x₁) ≈ et₁

et_1 = et_soit +(X₁- X_soit) f (x_soit, et_soit) = y_{soit +} H f (x_soit, et_soit)

Le point approximatif suivant de la solution qui correspondrait à:

POUR₁ = (x₁, et₁)

La procédure est répétée pour obtenir les points successifs

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POUR₂, POUR₃…, X_n

Dans la figure illustrée au début, la courbe bleue représente la solution exacte de l'équation différentielle, et le rouge représente les points approximatifs successifs obtenus par la procédure Euler.

Exercices résolus

Exercice 1

Toi) Être l'équation différentielle:

Avec la condition initiale x = a = 0; et_pour= 1

En utilisant la méthode Euler, obtenez une solution approximative de et En coordonnée x = b = 0.5, subdivisant l'intervalle [a, b] à n = 5 parties.

Solution

Les résultats numériques sont résumés comme suit:

Où il est conclu que la solution et pour la valeur 0.5 est 1.4851.

Remarque: Pour la réalisation des calculs, il a été utilisé Studio smath, Programme gratuit d'utilisation gratuite.

Exercice 2

Ii) Poursuivant avec l'équation différentielle de l'exercice i), trouvez la solution exacte et comparez-la avec le résultat obtenu par la méthode Euler. Trouvez l'erreur ou la différence entre le résultat exact et l'approximation.

Solution

Avec la condition initiale x = a = 0; et_pour= 1
La solution exacte n'est pas très difficile à trouver. Il est connu que la dérivée de la fonction Sen (x) est la fonction cos (x). Par conséquent, la solution y (x) sera:

et (x) = sin x + c

Pour respecter la condition initiale et (0) = 1, la constante C doit valoir 1. Ensuite, le résultat exact est comparé à l'approximation:

Il est conclu que dans l'intervalle calculé, l'approche a trois chiffres de précision significatifs.

Exercice 3

III) Considérez l'équation différentielle et ses conditions initiales ci-dessous:

et '(x) = - y²

Avec la condition initiale x₀ = 0; et₀ = 1

Utilisez la méthode Euler pour trouver des valeurs approximatives de la solution et (x) Dans l'intervalle x = [0, 1.5]. Utiliser l'étape H = 0.1.

Solution

La méthode d'Euler est très indiquée pour être utilisée avec une feuille de calcul. Dans ce cas, nous utiliserons la feuille de calcul de Géogebra, Un programme d'utilisation gratuite et gratuit.

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Trois colonnes (A, B, C) sont représentées dans la feuille de calcul de la figure X , La deuxième colonne représente la variable et, et la troisième colonne le dérivé et'.

La ligne 2 contient les valeurs initiales de X, ET, ET' .

La valeur de la valeur 0.1 Il a été placé dans la cellule de position absolue ($ d 4 $).

La valeur Y0 initiale est dans la cellule B2 et Y1 dans la cellule B3. Pour calculer et₁ La formule est utilisée:

et_1 = et_soit +(X₁- X_soit) f (x_soit, et_soit) = y_{soit +} H f (x_soit, et_soit)

Cette formule de feuille de calcul serait le numéro B3: = B2 + $ d 4 $ * C3.

De même, Y2 serait dans la cellule B4 et sa formule est représentée dans la figure suivante:

La figure montre également le graphique de la solution exacte, et points A, B, ..., P de la solution approximative au moyen de la méthode Euler.

Newton Dynamics et la méthode d'Euler

La dynamique classique a été développée par Isaac Newton (1643 - 1727). La motivation originale de Leonard Euler (1707 - 1783) pour développer sa méthode était précisément pour résoudre l'équation de la deuxième loi de Newton dans diverses situations physiques.

La deuxième loi de Newton est souvent exprimée comme une équation différentielle secondaire:

Où X représente la position d'un objet pour le moment t. Cet objet a une masse m et est soumis à une force F. La fonction F Il est lié à la force et à la masse comme suit:

 Bien que la méthode Euler en principe ait été conçue pour résoudre les équations différentielles de première degrés, elle est facilement extensible au cas du deuxième degré, car il équivaut à un système de deux équations de première degré.

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Pour appliquer la méthode Euler, les valeurs de temps initiales sont requises t, vitesse V et positionner X.

Le tableau suivant explique comment partir des valeurs initiales T1, V1, X1 Une approximation de la vitesse V2 et la position x2 peut être obtenue, pour le moment T2 = T1 + ΔT, où ΔT représente une petite augmentation et correspond à l'étape Dans la méthode d'Euler.

Exercice 4

Iv) L'un des problèmes fondamentaux de la mécanique est celui d'un bloc de masse lié à un ressort (ou ressort) de constante élastique k.

La deuxième loi de Newton pour ce problème serait comme ceci:

Dans cet exemple, pour simplifier, il sera pris m = 1 et k = 1. Trouvez des solutions approximatives à la position X Et la vitesse V Par la méthode d'Euler dans l'intervalle de temps [0, π / 2] subdivisant l'intervalle en 12 parties.

Prendre 0 comme moment initial, vitesse initiale 0 et position initiale 1.

Solution

Les résultats numériques sont présentés dans le tableau suivant:

Les graphismes de la position et la vitesse entre les instants 0 et 1 sont également affichés.44.

Exercices proposés pour la maison

Exercice 1

Utilisez une feuille de calcul pour déterminer une solution approximative en utilisant la méthode Euler pour l'équation différentielle:

et '= -exp (-y) avec les conditions initiales x = 0, y = -1 dans l'intervalle x = [0, 1]

Commencez par une étape de 0,1. Représenter le résultat graphiquement.

Exercice 2

En utilisant une feuille de calcul, trouvez des solutions numériques à l'équation du deuxième degré suivante, où et c'est une fonction de la variable indépendante t.

et "= - 1 / y² avec la condition initiale t = 0; y (0) = 0,5; et '(0) = 0

Trouvez la solution dans l'intervalle [0,5; 1.0] en utilisant une étape de 0,05.

Graphiquez le résultat: et vs t; et 'vs t

Les références

1. Méthode d'Eurler.Pris de wikipedia.org
2. Solveur Euler. Pris à partir de.Smath.com