Mouvement pendulaire

Qu'est-ce que le mouvement pendulaire?

Il mouvement pendulaire C'est un mouvement oscillant fabriqué par un objet plus ou moins lourd, appelé pendule, suspendu par une corde ou une tige légère, fixé à son autre extrémité.

Le pendule est conféré une impulsion initiale et est autorisé à osciller, de cette manière l'objet décrit les arches aller-retour. Ceci est le principe du fonctionnement des montres pendule, des balançoires, des chaises à bascule et Métronomies de pendule, utilisé pour marquer les temps de la musique.

Pendule oscillant, montrant la vitesse et l'accélération (Wikipedia.org)

On dit qu'en 1581, Galileo Galilei a observé l'emprise d'une lampe dans la cathédrale de Pise, observant que, bien que l'amplitude de l'oscillation des chandeliers diminuait en raison de la friction avec l'air, et non la durée de la durée de la durée de la durée de la durée du cycle.

Cela a attiré l'attention de Galileo, qui a décidé de poursuivre l'étude et a déterminé que la période de pendule ne dépend pas de la pâte, mais de la racine carrée de la longueur de la corde, comme on le verra plus tard.

Caractéristiques du mouvement pendulaire

Un pendule est très facile à construire, car il suffit avec une plombe à un fil de coton et tient à l'autre extrémité avec vos doigts ou en le liant à un support comme un ongle.

Après la petite impulsion initiale, le poids est responsable du maintien du pendule oscillant, bien que la friction diminue l'amplitude du mouvement, jusqu'à ce qu'elle cesse enfin.

La principale caractéristique du mouvement pendulaire est d'être répétitive, car c'est un mouvement de balancement. Maintenant, pour faciliter votre étude, il est pratique de faire des simplifications pour se concentrer sur un modèle plus simple, appelé le pendule simple.

Le pendule simple

L'enfant dans le swing peut être modélisé comme un simple pendule

C'est un système idéal qui se compose d'une plombe, considérée comme une masse ponctuelle m, soumis à une corde de longueur légère et non etxtensible L. Les caractéristiques de ce système sont:

• Avoir un mouvement répétitif et périodique, consistant à faire des allers-retours un arc de circonférence de rayon égal à L.
• Ne prend pas en compte la friction.
• L'amplitude du mouvement est petite (< 5º).
• La période est indépendante de la masse m, Et cela dépend uniquement de la longueur L du pendule.

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Formules et équations

Ce qui suit est un simple diagramme de pendule, sur lequel deux forces agissent: le poids P de magnitude mg, qui est dirigée verticalement vers le bas et la tension T Sur la corde. Ils ne sont pas considérés comme frottements.

Diagramme corporel libre du pendule simple. Source: Wikimedia Commons.

L'axe de référence est l'axe vertical et coïncide avec la position θ = 0, à partir de là, le déplacement angulaire θ est mesuré, soit dans un sens ou un autre. Le signe + peut être affecté à droite sur la figure.

Pour étudier le mouvement du pendule, un système de coordonnées est choisi avec l'origine dans le pendule lui-même. Ce système a une coordonnée tangentielle à l'arc de circonférence A'CA décrit par le pendule, ainsi qu'une coordonnée radiale, dirigée vers le centre de la trajectoire.

Pour le moment illustré sur la figure, le pendule se déplace vers la droite, mais la composante tangentielle de la gravité, appelée f_t, est responsable de le rendre retour. Il est averti de la figure que ce composant a un sens contraire au mouvement.

Quant à la tension sur la corde, il est équilibré avec la composante du poids mgcosθ.

La force nette est donc celle appelée f_t Et par la deuxième loi de Newton, il est égal au produit Masse × accélération, Et cela à son tour est le deuxième dérivé du déplacement linéaire s, Quel est l'arc parcouru par le pendule. Ensuite:

Déplacement angulaire 

L'équation doit être exprimée en termes de variable unique, en se rappelant que le déplacement angulaire θ et l'arc parcourus sont liés par l'équation:

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S = L.θ

La masse est annulée des deux côtés et si l'amplitude est petite, l'angle θ également, d'une manière l'approche suivante est valide:

sin θ ≈ θ

Avec cela, l'équation différentielle suivante pour la variable θ (t) est obtenue:

Cette équation est très facile à résoudre, car sa solution est une fonction dont la deuxième dérivée est la fonction elle-même. Il existe trois alternatives: un cosinus, un sein ou un exponentiel. La fonction cosinus est choisie pour le déplacement angulaire θ (t), car il est bien connu et facile à manipuler.

Le lecteur peut vérifier, dériver deux fois, que la fonction suivante satisfait l'équation différentielle:

θ (t) = θ_m cos (ωt + φ)

Où θ_m C'est un angle maximal que le pendule se déplace par rapport à la fréquence verticale et angulaire ω est:

La constante φ est ajoutée pour donner une généralité à la solution et s'adapte conformément aux conditions initiales.

Équation de période

La période t du mouvement est le temps nécessaire pour exécuter un cycle et est définie comme:

Remplacement ω:

Comme précédemment établi, la période ne dépend pas de la masse du pendule, mais seulement de sa longueur.

Exemples de mouvement pendulaire

Mesure cardiaque

Galileo a eu la mesure de la mesure du rythme cardiaque des gens, ajustant la durée du pendule jusqu'à la période avec les pulsations du cœur d'une personne coïncide.

L'horloge pendule

C'est sans aucun doute l'un des exemples de mouvement pendulaire les plus familiers. La fabrication de montres pendule a à la fois la science et l'art. Le physicien néerlandais Christian Huygens (1629-1695) a développé la première montre Pendulum en 1656, sur la base de l'étude réalisée il y a des années par Galileo.

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Pendule de Foucault

Pendule Foucault. Source: Wikimedia Commons.

C'est un pendule quelque peu différent de celui décrit ci-dessus, car il est capable de tourner dans n'importe quel plan vertical. Il a été créé par le physicien français Léon Foucault (1819-1868) et est utilisé pour visualiser la rotation de la Terre.

Exercice résolu

Un pendule simple passe tous les 0.5 s pour la position d'équilibre. Quelle est la longueur du fil?

Solution

Comme la période est le temps nécessaire pour faire un cycle complet, dans lequel il passe deux fois par la position d'équilibre: l'un et l'autre arrière, puis:

T = 2 × 0.5 s = 1 s

De:

La longueur L du fil est effacée:

Le thread mesure 0.25 m ou 25 cm de long.

Les références

1. Figueroa, D. (2005). Série: Physique pour la science et l'ingénierie. 2ieme volume. Dynamique. Édité par Douglas Figueroa (USB).
2. Giambattista, un. 2010. La physique. 2e. Élégant. McGraw Hill.
3. Giancoli, D.  2006. Physique: principes avec applications. 6e. Ed Prentice Hall.
4. Katz, D. 2013. Physique pour les scientifiques et les ingénieurs. Fondations et connexions. Cengage Learning.
5. Chevalier, r.  2017. Physique pour les scientifiques et l'ingénierie: une approche stratégique.  Pearson.