Explication inverse multiplicative, exemples, exercices résolus

Il est compris par Multiplicatif inverse d'un nombre, un autre nombre qui s'est multiplié par le premier se traduit par l'élément neutre du produit, c'est-à-dire que l'unité. Si vous avez un vrai nombre pour alors son inverse multiplicatif est indiqué par pour^-1, Et il est accompli que:

A A^-1 = A^-1 A = 1

Habituellement le nombre pour Il appartient à l'ensemble des nombres réels.

Figure 1. Et il est multiplicatif inverse de x et x est une inverse multiplicative de y.

Si par exemple nous prenons A = 2, Alors votre inverse multiplicatif est 2^-1 = ½ Puisque ce qui suit est vérifié:

2 ⋅ 2^-1 = 2^-1⋅ 2 = 1

2⋅ ½ = ½ ⋅ 2 = 1

Au Multiplicatif inverse d'un nombre est également appelé le réciproque, Parce que l'inverse multiplicatif est obtenu en échangeant le numérateur et le dénominateur, par exemple l'inverse multiplicatif de 3/4 est 4/3.

En règle générale, on peut dire que pour un nombre rationnel (P / Q) Votre inverse multiplicatif (P / Q)^-1 C'est réciproque (Q / P) Comme peut être vérifié ci-dessous:

(p / q) ⋅ (p / q)^-1 = (p / q) ⋅ (q / p) = (p⋅ q) / (q⋅ p) = (p⋅ q) / (p⋅ q) = 1

L'inverse multiplicatif n'existe pas dans l'ensemble numérique des entiers, Par exemple, si l'ensemble du numéro 2 est pris, son inverse multiplicatif selon ce qui a été vu ci-dessus serait de ½, mais un ½ n'est pas un entier.

Il y a aussi l'inverse multiplicatif de l'élément nulle de la multiplication. En d'autres termes, le nombre zéro (0), qui est l'élément nul de l'opération de multiplication, n'a pas d'inverse multiplicatif, car il n'y a pas de nombre qui s'est multiplié par zéro de l'unité.

L'inverse multiplicatif existe en nombre rationnel, en nombres réels et en nombres complexes.

Exemples inverses multiplicatifs

Exemple 1

Trouvez l'inverse multiplicatif 3/2 et vérifiez qu'il répond à la propriété des entiers multiplicatifs.

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Selon la règle ci-dessus, l'inverse multiplicatif de (3/2) est (2/3) est échangé de cette manière. Pour vérifier la multiplication des deux nombres est effectué:

(3/2) ⋅ (2/3) = (3 ⋅ 2) / (2 ⋅ 3) ​​= 6/6 = 1.

Pour multiplier deux nombres fractionnaires, multipliez simplement le numérateur du premier par le deuxième numérateur pour obtenir le numérateur de résultat.

Pour obtenir le dénominateur d'un produit de nombres fractionnaires, procédez d'une manière similaire, c'est-à-dire que les dénominateurs sont multipliés les uns avec les autres et le résultat est le dénominateur du produit. Dans notre exemple, il est vérifié que le numérateur du produit du nombre et de son réciproque est 6 et que le dénominateur est 6, laissant la fraction 6/6 qui est 1.

Exemple 2

L'inverse multiplicatif de -5 ne doit pas être confondu avec son symétrique (+5) qui est parfois appelé inverse arithmétique. L'inverse multiplicatif sera obtenu comme suit:

(-5) ⋅ x = 1  

Où x est l'inverse multiplicatif à obtenir. Une procédure possible consiste à nettoyer l'inconnu. As (-5) multiplie le X inconnu dans le membre de gauche, puis il se produit en divisant le membre droit:

X = 1 / (-5)

Comme on le sait + entre - c'est - alors enfin x est obtenu:

X = - ⅕ .

En conclusion - ⅕ est l'inverse multiplicatif de -5.

Exemple 3

Obtenez l'inverse multiplicatif de -√2. Supposons que l'inverse multiplicatif soit x, alors -√2 multiplié par x doit être l'unité, une condition que nous imposons ci-dessous:

-√2 ⋅ x = 1

Les deux membres sont divisés par -√2 pour obtenir:

(-√2 ⋅ x) / (--√2) = 1 / (--√2) 

Le premier membre est simplifié - "Reste:

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X = 1 / (--√2)

Cette expression peut être rationalisée, c'est-à-dire en éliminant la racine du dénominateur, en multipliant dans le numérateur par (-√2) et dans le dénominateur pour la même quantité pour que le résultat ne soit pas modifié:

X = (--√2) / [(-√2) (--√2)] = - (√2 / 2)

En conclusion - (√2 / 2) est l'inverse multiplicatif (-√2).

Exemple 4

Supposons n'importe quel nombre x, obtenez votre inverse multiplicatif et représentez-le graphiquement.

Dans ce cas, c'est une fonction f (x) = x, l'obtention de l'inverse multiplicatif est de trouver la fonction g (x) telle que multipliée par la première de l'unité de l'unité. La fonction G est la fonction réciproque de F et ne doit être confuse en aucune façon avec sa fonction inverse.

En d'autres termes, l'inverse multiplicatif de X est A et tel que ce qui suit est rempli:

x ⋅ y = 1

Où effacer et avoir:

y = 1 / x.

Ce qui précède est interprété ainsi étant donné une valeur de x, la formule précédente nous donne son inverse multiplicatif.

Il est possible de faire sa représentation graphique comme indiqué dans la figure suivante:

Figure 2. L'inverse multiplicatif de x est y = 1 / x.

Exercices

Exercice 1

Étant donné x = 2 - √2, obtenez votre inverse multiplicatif et.

Solution:

De sorte que et c'est un x x x x

x ⋅ y = 1

X est remplacé par sa valeur:

(2 - √2) ⋅ y = 1

Ensuite, il s'efface et:

y = 1 / (2 - √2)

Pour rationaliser le résultat multiplie le numérateur et le dénominateur par son binôme conjugué:

y = (2 + √2) / ((2 + √2) (2 - √2))

Dans le dénominateur, un produit notable est reconnu appelé le produit d'une somme pour une différence, qui est la différence des carrés. De cette façon, la racine disparaît dans le dénominateur.

y = (2 + √2) / (2 ^ 2 - (√2) ^ 2)

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Résoudre les pouvoirs:

y = (2 + √2) / (4 - 2)

Simplifier:

y = (2 + √2) / 2

Exercice 2

Obtenir l'inverse multiplicatif (1 / a + 1 / b) où A et B sont des nombres réels différents.

Solution:

Nous appelons et l'inverse multiplicatif de (1 / a + 1 / b), de sorte que l'équation suivante doit être remplie:

Et ⋅ (1 / a + 1 / b) = 1

La variable est effacée et:

Y = 1 / (1 / a + 1 / b)

Le dénominateur est résolu:

Y = 1 / ((b + a) / a b)

Comme on le sait sur les règles de l'algèbre, le dénominateur du dénominateur passe au numérateur:

Y = (a b) / (b + a)

Il est ordonné d'obtenir enfin:

(a b) / (a ​​+ b) qui est l'inverse multiplicatif de (1 / a + 1 / b).

Exercice 3

Obtenir l'inverse multiplicatif (a - b) / (a ​​^ 2 - b ^ 2).

Solution:

Rappelons que l'inverse multiplicatif est également appelé réciproque car il est obtenu simplement échanger un numérateur et un dénominateur.

Alors l'inverse multiplicatif (a - b) / (a ​​^ 2 - b ^ 2) sera:

(A ^ 2 - b ^ 2) / (a ​​- b)

Mais cette expression peut être simplifiée si nous reconnaissons, selon les règles de l'algèbre, que le numérateur est une différence de carrés qui peuvent être factorisés comme le produit d'une somme pour une différence:

((A + b) (a - b)) (a - b)

Comme il y a un facteur commun (a - b) dans le numérateur et dans le dénominateur, nous allons simplifier, enfin l'obtention:

(a + b) qui est l'inverse multiplicatif (a - b) / (a ​​^ 2 - b ^ 2).

Les références

1. Sources, un. (2016). Mathématiques de base. Une introduction au calcul. Lulu.com.
2. Garo, m. (2014). Mathématiques: équations quadratiques: comment résoudre une équation quadratique. Marilù Garo.
3. Haeussler, e. F., & Paul, R. S. (2003). Mathématiques pour l'administration et l'économie. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofríguez, m., & Estrada, R. (2005). Mathématiques 1 sept. Seuil.
5. Précieux, c. T. (2005). Cours de mathématiques 3O. Progreso éditorial.
6. Rock n. M. (2006). Algèbre I est facile! Si facile. Presse de rock team.
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