Formule et équations d'interférence destructrices, exemples, exercice

La interférence destructrice, En physique, il se produit lorsque deux vagues indépendantes qui se combinent dans la même région d'espace sont obsolètes. Ensuite, les crêtes d'une des vagues rencontrent les vallées de l'autre et le résultat est une vague avec une amplitude nul.

Plusieurs vagues passent sans problème à travers le même point dans l'espace, puis chacun suit son chemin sans être affecté, comme les vagues dans l'eau de la figure suivante:

Figure 1. Les gouttes de pluie produisent des ondes à la surface de l'eau. Lorsque les vagues résultantes n'ont aucune ampleur, il est dit que l'ingérence est destructrice. Source: Pixabay.

Supposons deux vagues d'amplitude égale et de fréquence ω, que nous appellera et₁ et et₂, qui peut être décrit mathématiquement par des équations:

et₁= Un sen (kx -ω)

et₂ = A sen (Kx -ωt + φ)

La deuxième vague et₂ Il a un écart φ par rapport au premier. Lorsqu'ils sont combinés, puisque les vagues peuvent être superposées sans problème, elles donnent naissance à une vague résultante appelée et_R:

et_R = Y₁ + et₂ = A sen (kx -ω) + a sin (kx -ωt + φ)

Par l'identité trigonométrique:

sin α + sin β = 2 sin (α + β) / 2 . cos (α - β) / 2

L'équation pour et_R Il se transforme en:

et_R = [2a cos (φ / 2)] sin (kx - ωt + φ / 2)

Maintenant, cette nouvelle vague a une amplitude qui en résulte_R = 2a cos (φ / 2), qui dépend de la différence de phase. Lorsque cette différence de phase acquiert les valeurs + π ou -π, l'amplitude résultante est:

POUR_R = 2a cos (± π / 2) = 0

Depuis cos (± π / 2) = 0. Alors c'est alors quand des interférences destructrices entre les vagues se produisent. En général, si l'argument du cosinus est de la forme ± kπ / 2 avec un k impair, l'amplitude à_R  C'est 0.

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Exemples d'interférence destructeurs

Comme nous l'avons vu, lorsque deux vagues ou plus passent en même temps à travers un point, elles se chevauchent, donnant naissance à une vague qui en résulte dépend de la différence de phase entre les participants.

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L'onde résultante a le même numéro de fréquence et d'onde que les ondes d'origine. Dans l'animation suivante, deux vagues sont superposées dans les couleurs bleues et vertes. La vague résultante est en rouge.

L'amplitude se développe lorsque l'interférence est constructive, mais elle est annulée lorsqu'elle est destructrice.

Figure 2. Les vagues de couleur bleue et verte se chevauchent pour donner naissance à la vague rouge. Source: Wikimedia Commons.

Les ondes qui ont la même amplitude et la même fréquence sont appelées ondes cohérentes, Tant qu'ils restent entre eux la même différence de phase φ. Un exemple d'onde cohérent est la lumière laser.

Condition pour les interférences destructrices

Lorsque les ondes bleues et vertes sont obsolètes en 180 º à un point donné (voir figure 2), cela signifie que pendant qu'ils bougent, ils ont différences de phase φ de π radians, 3π radians, 5π radians et ainsi de suite.

De cette façon, en divisant l'argument de l'amplitude résultante de 2, il en résulte (π / 2) des radians, (3π / 2) radians ... et le cosinus de tels angles est toujours 0. Par conséquent, l'interférence est destructrice et l'amplitude est faite 0.

Interférence des vagues destructrices dans l'eau

Supposons que deux vagues cohérentes commencent l'une avec l'autre. De telles vagues peuvent être celles qui se propagent dans l'eau grâce à deux barres qui vibrent. Si les deux vagues se déplacent vers le même point P, en tournée différentes, la différence de phase est proportionnelle à la différence de chemin.

figure 3. Les vagues produites par les deux sources voyagent dans l'eau jusqu'au point P. Source: Giambattista, un. La physique.

En tant que longueur d'onde, λ équivaut à une différence de radians 2π, il est vrai que:

│d₁ - d₂│ / λ = différence de phase / 2π radians

Différence de phase = 2π x│d₁ - d₂│ / λ

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Si le chemin des routes est un nombre impair de semi-onde d'onde, c'est-à-dire: λ / 2, 3λ / 2, 5λ / 2 et ainsi de suite, alors l'interférence est destructrice.

Mais si la différence de route est un nombre de plus de longueurs d'onde, l'interférence est constructive et les amplitudes sont ajoutées au point P.

Interférence destructrice des vagues lumineuses

Les vagues légères peuvent également interférer les unes avec les autres, comme l'a déclaré Thomas Young en 1801 grâce à leur célèbre expérience à double fente.

Young a donné la lumière à travers une fente faite sur un écran opaque, qui selon le principe Huygens, génère à son tour deux sources de lumière secondaire. Ces sources se sont poursuivies à travers un deuxième écran opaque avec deux fentes et la lumière résultante a été projetée sur un mur.

Le diagramme est observé dans l'image suivante:

Figure 4. Le motif des lignes claires et sombres sur la paroi droite est due à une interférence constructive et destructrice, respectivement. Source: Wikimedia Commons.

Young a observé un schéma distinctif de lignes alternatives et sombres. Lorsque des sources lumineuses interfèrent destructrice, les lignes sont sombres, mais si elles le font de manière constructive, les lignes sont claires.

Un autre exemple d'interférence intéressant est les bulles de savon. Ce sont des films très minces, dans lesquels l'interférence se produit parce que la lumière est réfléchie et réfractée sur les surfaces qui limitent le film de savon, à la fois au-dessus et en dessous.

Figure 5. Sur un film de savon mince, un motif d'interférence se forme. Source: pxfuel.

Comme le film est épais. Le résultat est un motif de couleurs si la lumière incidente est blanche.

C'est parce que la lumière blanche n'est pas monochromatique, mais elle contient toutes les longueurs d'onde (fréquences) du spectre visible. Et chaque longueur d'onde ressemble à une couleur différente.

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Exercice résolu

Deux orateurs identiques exploités par le même oscillateur sont séparés de 3 mètres et un auditeur est à 6 mètres du milieu de la séparation entre les haut-parleurs, au point ou.

Ensuite, passez au point P, à une distance perpendiculaire de 0.350 du point ou, comme indiqué sur la figure. Il arrête d'écouter le son pour la première fois. Quelle est la longueur d'onde dans laquelle l'oscillateur émet?

Figure 6. Diagramme pour l'exercice résolu. Source: Serow, R. Physique pour la science et l'ingénierie.

Solution

L'amplitude de l'onde résultante est 0, donc l'interférence est destructrice. Il faut que:

Différence de phase = 2π x│r₁ - r₂│ / λ

Par le théorème de Pythagore appliqué aux triangles ombrés de la figure:

r₁ = √1.quinze² + 8² M = 8.08 m; r₂ = √1.85² + 8² M = 8.21 m

│r₁ - r₂│ = │8.08- 8.21 │ M = 0.13 m

Les minimums se produisent dans λ / 2, 3λ / 2, 5λ / 2 ... le premier correspond à λ / 2, puis, de la formule pour la différence de phase est:

λ = 2π x│r₁ - r₂│ / différence de phase

Mais la différence de phase entre les ondes doit être π, de sorte que l'amplitude_R = 2a cos (φ / 2) être nul, alors:

λ = 2π x│r₁ - r₂│ / π = 2 x 0.13 m = 0.26 m

Les références

1. Figueroa, D. (2005). Série: Physique pour la science et l'ingénierie. Volume 7. Vagues et physique quantique. Édité par Douglas Figueroa (USB).
2. Fisicab. Interférence des vagues. Récupéré de: Fisicalab.com.
3. Giambattista, un. 2010. La physique. 2e. Élégant. McGraw Hill.
4. SERAY, R. Physique pour la science et l'ingénierie. Volume 1. 7e. Élégant. Cengage Learning.
5. Wikipédia. Interférence de la feuille de sommeil. Source: c'est.Wikipédia.org.