Exemples et exercices de factorisation communs

La Factorisation commune d'une expression algébrique consiste à déterminer deux ou plusieurs facteurs dont le produit est égal à l'expression proposée. De cette façon, à la recherche du facteur commun, le processus de factorisation commence toujours.

Pour cela, il est observé s'il y a une présence d'un terme commun, qui peut être à la fois des lettres et des nombres. Dans le cas des lettres, les littéraux communs sont considérés comme un facteur commun à tous les termes qui ont le moindre exposant, et pour les nombres, le diviseur commun maximum (MCD) de tous les coefficients est calculé.

Figure 1. En factorisation commune, les littéraux et les coefficients communs à chaque terme sont recherchés. Source: Pixabay / F. Zapata.

Le produit des deux facteurs communs, à condition qu'il soit différent de 1, sera le facteur commun de l'expression. Une fois trouvé, par division de chaque terme entre ledit facteur, la facteur final est établi.

Voici un exemple de la façon de le faire, en tenant compte de ce trinôme:

4x⁵-12X³+8x²

On voit que tous les termes contiennent le "x" littéral, dont la moindre puissance est x². Quant aux coefficients numériques: 4, -12 et 8 sont tous des multiples de 4. Par conséquent, le facteur commun est 4x².

Une fois le facteur trouvé, chaque terme de l'expression d'origine est divisé entre celui-ci:

• 4x⁵ / 4x² = x³
• -12X³ / 4x² = -3x
• 8x²/ 4x² = 2

Enfin, l'expression est réécrite comme le produit du facteur commun et la somme des résultats des opérations précédentes, comme ceci:

4x⁵-12X³+8x² = 4x² (X³ - 3x +2)

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Comment prendre en compte quand il n'y a pas de facteur commun

Si le facteur commun n'est pas évident comme dans l'exemple précédent, il est toujours possible de prendre en compte l'observation attentivement l'expression, pour voir s'il est possible de mettre en œuvre l'une des méthodes suivantes:

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Différence de deux carrés parfaits

C'est une expression binomiale de forme:

pour² - b²

Cela peut être facteur grâce à l'application du produit notable:

pour² - b² = (a + b) ⋅ (a-b)

La procédure est la suivante:

-Extraire d'abord la racine carrée de chacun des carrés parfaits.

-Formez ensuite le produit entre la somme de ces racines et sa différence, comme indiqué.

Trinôme carré parfait

Les trinomiaux de la forme:

X² ± 2a⋅x + a²

Ils ont du fait de prendre en compte le produit notable:

(x + a)² = x² ± 2a⋅x + a²

Pour appliquer cette factorisation, il doit être corroboré que le trinôme a en fait deux carrés parfaits, et que le terme restant est le double produit des racines carrées de ces valeurs.

Trinôme de la forme x² + mx + n

Si le trinôme à facteur n'a pas deux carrés parfaits, il est essayé de l'écrire comme produit de deux termes:

X² + mx + n = x² + (a + b) x + ab = (x + a) (x + b)

Où doit-il être rempli chaque fois:

N = a⋅b

M = A + B

Factorisation en regroupant les termes

Parfois, l'expression à être facteur n'a pas de facteur commun, et il ne correspond à aucun des cas décrits ci-dessus. Mais si le nombre de ses termes est uniforme, cette procédure peut être essayée:

-Groupes de groupe qui ont un facteur commun.

-Facting à chaque couple par facteur commun, afin que les termes entre parenthèses soient égaux, c'est-à-dire que, à son tour, la parenthèse est un facteur commun. Si avec le groupe choisi ce n'est pas, vous devez essayer avec une autre combinaison pour le trouver.

-La factorisation recherchée est le produit des termes entre la parenthèse pour les facteurs communs de chaque couple.

Les exemples qui aideront à clarifier les cas discutés.

Exemples

Facteur des expressions algébriques suivantes:

a) 6ab² - 18²b³

Ceci est un exemple de facteur commun. À partir de la partie littérale, les lettres A et B sont présentes dans les deux termes. Pour la variable "A", l'exposant mineur est 1 et se trouve en terme 6AB², tandis que pour la lettre "B", l'exposant mineur est b².

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Ensuite, ab² C'est un facteur commun dans l'expression originale.

Quant aux nombres, il y en a 6 et -18, ce dernier est un multiple de 6, puisque -18 = - (6 × 3). Par conséquent, le 6 est un coefficient numérique du facteur commun, qui s'est multiplié avec la partie littérale est:

6AB²

Maintenant, chaque terme d'origine est divisé par ce facteur commun:

• 6AB² ÷ 6AB² = 1
• (-18²b³) ÷ 6ab² = -3ab

Enfin, l'expression originale est réécrite comme un produit entre le facteur commun et la somme algébrique des termes trouvés à l'étape précédente:

6AB² - 18²b³ = 6AB² ⋅ (1-3AB)

b) 16x² - 9

Cette expression est une différence entre les carrés parfaits, donc, en extrayant les racines carrées aux deux termes, respectivement, est obtenu:

√ (16x²) = 4x

√9 = 3

L'expression originale est écrite comme le produit de la somme de ces racines carrées par sa différence:

16x² - 9 = (4x + 3) (4x-3)

c) z² + 6Z + 8

C'est un trinôme de la forme x² + MX + N, puisque 8 n'est pas un carré parfait d'un autre nombre entier, vous devez donc trouver deux nombres A et B de telle sorte qu'ils se conforment simultanément:

• pour.B = 8
• A + b = 6

Par Tanteo, c'est-à-dire les tests, les chiffres recherchés sont 4 et 2, puisque:

4 × 2 = 8 et 4 + 2 = 6

Ensuite:

z² + 6Z + 8 = (z + 4) ⋅ (z + 2)

Le lecteur peut vérifier, en appliquant une propriété distributive sur le côté droit de l'égalité, que les deux expressions sont équivalentes.

d) 2x² - 3xy - 4x + 6y

Cette expression est un candidat pour la factorisation en regroupant les termes, car il n'y a pas de facteur commun évident à l'œil nu et a également quelques termes.

Il est regroupé comme suit, sachant que l'ordre des ajouts ne modifie pas la somme:

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2x² - 3xy + 4x - 6y = (2x² -3xy) + (4x-6y)

Chaque parenthèse a son propre facteur commun:

(2x²  - 3xy) + (4x-6y) = x (2x-3y) + 2 (2x-3y)

Le facteur commun définitif a déjà été révélé: c'est la parenthèse qui est répétée dans les deux termes (2x -3y).

Maintenant, cela peut être à nouveau facteur:

• x (2x-3y) ÷ (2x-3y) = x
• 2 (2x-3y) ÷ (2x-3y) = 2

Donc:

2x² - 3xy + 4x - 6y = (2x -3y) (x + 2)

Encore une fois, le lecteur peut appliquer la propriété distributive au droit de l'égalité, pour corroborer l'égalité.

Exercices résolus

Factoriser:

a) et² - 10y + 25

b) 4x² + 12xy + 9y²

c) x² + 5x - 14

d) 3e⁴ + pour³ + 15A + 5

Solution à

C'est un trinôme carré parfait, il commence par trouver la racine carrée des termes carrés parfaits:

√ (et²) = y

√ 25 = 5

Il est vérifié que le terme du centre est le double produit de ces deux:

10y = 2. 5. et

Et la factorisation recherchée est:

et² - 10y + 25 = (Y-5)²

Solution B

L'expression est également un trinôme carré parfait:

√ (4x²) = 2x

√ (9Y²) = 3y

Le terme central est vérifié:

12xy = 2⋅2x⋅3y

Finalement:

4x² + 12xy + 9y² = (2x + 3y)²

Solution C

Le problème est un trinôme de type x² + Mx + n:

n = a⋅b = -14 = 7 x (- 2)

m = a + b = 5 = 7 + (- 2) = 5

Les chiffres appropriés sont 7 et -2:

X² + 5x - 14 = (x +7) (x - 2)

Solution d

3e⁴ + pour³ + 15a + 5 = (3a⁴ + pour³) + (15a + 5)

Le facteur commun de (3e⁴ + pour³) ce³ et celui de (15a + 5) est 5, étant regroupé comme suit:

(3e⁴ + pour³) + (15a + 5) = A³ (3a + 1) +5 (3a + 1) = (3a + 1) (A³ + 5)

Figure 2. Exercices de factorisation pour pratiquer. Source: F. Zapata.

Les références

1. Baldor, un. 2005. Algèbre. Groupe de patrie culturelle.
2. Larson, R. 2012. Précalation. 8e. Édition. Cengage Learning.
3. Mathworld. Factorisation. Récupéré de: Mathworld.Wolfram.com.
4. Mathworld. Factorisation polynomiale. Récupéré de: Mathworld.Wolfram.com.
5. Stewart, J. 2007. Précaulement: mathématiques pour le calcul. 5e. Édition. Cengage Learning.
6. Zill, D. 1984. Algèbre et trigonométrie. McGraw Hill.