Démonstration des événements indépendants, exemples, exercices

Deux Les événements sont indépendants, Lorsque la probabilité que l'une d'entre elles se produira n'est pas influencée par le fait que l'autre se produit - ou ne se produit pas - considérant que ces événements se produisent au hasard.

Cette circonstance est toujours donnée que le processus généré par le résultat de l'événement 1 ne modifie en aucune façon la probabilité des résultats possibles de l'événement 2. Mais si ce n'est pas le cas, il est dit que les événements dépendent.

Figure 1. Les billes colorées sont fréquemment utilisées pour expliquer la probabilité d'événements indépendants. Source: Pixabay.

Une situation d'événements indépendants est le suivant: Supposons que deux dés de six côtés soient lancés, un bleu et l'autre rose. La probabilité d'un 1 dans les dés bleus est indépendante de la probabilité qu'un 1-ou ne sorte pas - dans les dés roses.

Un autre cas de deux événements indépendants consiste à lancer une pièce deux fois de suite. Le résultat du premier lancement ne dépendra pas du résultat du deuxième et vice versa.

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Démonstration de deux événements indépendants

Pour vérifier que deux événements sont indépendants, nous définirons le concept de probabilité conditionnée d'un événement par rapport à un autre. Pour cela, il est nécessaire de différencier les événements exclusifs et les événements inclusifs:

Deux événements sont exclusifs si possibles des valeurs ou des éléments de l'événement A, n'ont rien de commun avec les valeurs ou les éléments de l'événement B.

Par conséquent, dans deux événements exclusifs, l'ensemble de l'intersection de A avec B est le vide:

Événements exclusifs: a∩b = Ø

Au contraire, si les événements sont inclusifs, il peut arriver que l'on résulte de l'événement que A coïncide également avec celui d'un autre B, étant A et B différents événements. Dans ce cas:

Événements inclusifs: a∩b ≠ Ø

Cela nous amène à définir la probabilité conditionnée de deux événements inclusifs, en d'autres termes, la probabilité d'occurrence de l'événement A, à condition que l'événement B se produise:

P (a¦b) = p (a∩b) / p (b)

Par conséquent, la probabilité conditionnée est la probabilité qui se produit et b divisée par la probabilité qui se produit b. La probabilité basée sur A:

P (b¦a) = p (a∩b) / p (a (a)

Critères pour savoir si deux événements sont indépendants

Ensuite, nous donnerons trois critères pour savoir si deux événements sont indépendants. Il suffit que l'un des trois soit rempli, de sorte que l'indépendance des événements soit démontrée.

1.- Si la probabilité qui se produira tant que B est égale à la probabilité de A, ce sont des événements indépendants:

Il peut vous servir: propriété de verrouillage de l'algèbre: démonstration, exemples

P (a¦b) = p (a) => a est indépendant de b

2.- Si la probabilité qui se produit B est donnée, est égale à la probabilité de B, alors ils ont des événements indépendants:

P (b¦a) = p (b) => b est indépendant de un

3.- Si la probabilité qui se produit et B est égale au produit de la probabilité qui se produit pour la probabilité qui se produit B, alors ce sont des événements indépendants. Le réciproque est également vrai.

P (a∩b) = p (a) p (b) a et b sont des événements indépendants.

Exemples d'événements indépendants

Les semelles en caoutchouc produites par deux fournisseurs différents sont comparés. Les échantillons de chaque fabricant sont soumis à plusieurs essais à partir desquels ils sont conclus, qu'ils soient ou non dans les spécifications. 

Figure 2. Variété de semelles en caoutchouc. Source: Pixabay.

Le résumé du résumé des 252 échantillons est le suivant:

Fabricant 1; 160 répondent aux spécifications; 8 Ne respecte pas les spécifications.

Fabricant 2; 80 répondent aux spécifications; 4 Ne répondez pas aux spécifications.

Événement A: "L'échantillon provient du fabricant 1".

Événement B: "Que l'échantillon répond aux spécifications".

Il est souhaité de savoir si ces événements A et B sont ou non indépendants, pour lesquels nous appliquons l'un des trois critères mentionnés dans la section précédente.

Critères: p (bped) = p (b) => b est indépendant de un

P (b) = 240/252 = 0.9523

P (b¦a) = p (a ⋂ b) / p (a) = (160/252) / (168/252) = 0.9523

Conclusion: les événements A et B sont indépendants.

Supposons un événement C: "Que le spectacle vient du fabricant 2"

Sera-t-il l'événement B indépendant de l'événement C?

Nous appliquons l'un des critères.

Critères: P (b¦c) = p (b) => b est indépendant de C

P (b¦c) = (80/252) / (84/252) = 0.9523 = P (b)

Par conséquent, selon les données disponibles, la probabilité qu'une semelle en caoutchouc choisie au hasard répond aux spécifications, est indépendante du fabricant. 

Transformer un événement indépendant en une personne à charge

Regardons l'exemple suivant pour distinguer les événements personnes à charge e indépendant. 

Nous avons un sac avec deux boules de chocolat blanc et deux boules noires. La probabilité d'obtenir une balle blanche ou noire est la même dans la première tentative.

Supposons que le résultat était une balle blanche. Si la balle extraite est reconstituée dans le sac, la situation d'origine est répétée: deux boules blanches et deux boules noires.

Ainsi, dans un deuxième événement ou une extraction, les possibilités de retirer une balle blanche ou une balle noire sont identiques à celles de la première fois. Ce sont donc des événements indépendants.

Mais si la balle blanche n'est pas reconstituée lors du premier événement parce que nous l'avons mangé, dans la deuxième extraction, il y a de plus grandes possibilités d'obtenir une balle noire. La probabilité que dans une deuxième extraction soit obtenue à nouveau blanche, est différente de celle du premier événement et est conditionnée par le résultat précédent.

Peut vous servir: triangle scaleno

Exercices

- Exercice 1

Dans une boîte, nous avons mis les 10 billes de la figure 1, dont 2 sont vertes, 4 bleus et 4 blancs. Ils vont choisir deux billes aléatoires, une première et une après. Il est demandé de trouver le
Probabilité qu'aucun d'entre eux ne soit bleu, dans les conditions suivantes:

a) avec le remplacement, c'est-à-dire en retournant à la boîte le premier marbre avant la deuxième sélection. Indiquer s'il s'agit d'événements indépendants ou dépendants.

b) sans remplacement, de sorte que le premier marbre extrait, est hors de la boîte au moment de la deuxième sélection. De même, soulignez s'ils sont des événements dépendants ou indépendants.

Solution à

Nous calculons la probabilité que le premier marbre extrait n'est pas bleu, ce qui est 1 moins la probabilité qu'il soit bleu P (a), ou directement qu'il n'est pas bleu, car il est sorti vert ou blanc:

P (a) = 4/10 = 2/5

P (pas de bleu) = 1 - (2/5) = 3/5

Ou bien:

P (vert ou blanc) = 6/10 = 3/5.

Si le marbre est retourné, tout est à nouveau comme avant. Dans cette deuxième extraction, il y a aussi 3/5 de probabilité que le marbre extrait n'est pas bleu.

P (pas de bleu, pas de bleu) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Les événements sont indépendants, car le marbre extrait est retourné à la boîte et le premier événement n'influence pas la probabilité d'occurrence du second.

Solution B

Pour la première extraction, il en va de même dans la section précédente. La probabilité qu'il ne soit pas bleu est 3/5.

Pour la deuxième extraction, nous avons 9 billes dans le sac, car le premier n'est pas revenu, mais il n'était pas bleu, donc 9 billes et 5 non-bleus sont laissés dans le sac:

P (vert ou blanc) = 5/9.

P (aucun être bleu) = p (d'abord pas de bleu). P (deuxième non-blue / premier n'était pas bleu) = (3/5) . (5/9) = 1/3

Dans ce cas, il ne s'agit pas d'événements indépendants, car le premier événement conditionne le second.

- Exercice 2

Un magasin a 15 chemises en trois tailles: 3 petits, 6 moyens et 6 grands. 2 chemises sont sélectionnées au hasard.

a) Quelle probabilité les deux chemises sélectionnées sont petites, si l'on est enlevé et sans remplacer le lot un autre?

b) Ce qui est probable, les deux chemises sélectionnées sont petites, si l'on est enlevé, le second est remplacé et le second est supprimé?

Il peut vous servir: vraie fonction variable réelle et sa représentation graphique

Solution à

Voici deux événements:

Événement A: La première chemise sélectionnée est petite

Événement B: La deuxième chemise sélectionnée est petite

La probabilité de l'événement A est: P (a) = 3/15

La probabilité qui provient de l'événement B est: p (b) = 2/14, car une chemise avait déjà été extraite (14), mais il est également voulu rencontrer l'événement de la première chemise extraite doit être petite et par là 2 petit.

En d'autres termes, la probabilité de A et B sera le produit de probabilités est:

P (a et b) = p (bped) p (a) = (2/14) (3/15) = 0.029

Par conséquent, la probabilité d'être des événements A et B est égale au produit que l'événement est, en raison de la probabilité de l'événement B si l'événement a été donné.

Il convient de noter que:

P (b¦a) = 2/14

La probabilité qui est de l'événement B, que l'événement soit donné ou non:

P (b) = (2/14) Si le premier était petit, ou p (b) = 3/14 si le premier n'était pas petit.

En général, les éléments suivants peuvent être conclus:

P (bped) n'est pas égal à p (b) => b n'est pas indépendant de un

Solution B

Il y a à nouveau deux événements:

Événement A: La première chemise sélectionnée est petite

Événement B: La deuxième chemise sélectionnée est petite

P (a) = 3/15

Rappelez-vous quel est le résultat, la chemise est remplacée du lot et retire à nouveau une chemise au hasard. La probabilité qui était de l'événement B, si l'événement A était donné:

P (b¦a) = 3/15

La probabilité que les événements seront donnés A et B seront:

P (a et b) = p (bped) p (a) = (3/15) (3/15) = 0.04

Noter que: 

P (b¦a) est égal à p (b) => b est indépendant d'un.

- Exercice 3

Considérez deux événements indépendants A et B. Il est connu que la probabilité que l'événement se produise est de 0,2 et la probabilité que l'événement B se produise est de 0,3. Quelle sera la probabilité que les deux événements se produisent?

Solution 2

Sachant que les événements sont indépendants, il est connu que la probabilité que les deux événements se produisent est le produit de probabilités individuelles. C'est-à-dire,

P (a∩b) = p (a) p (b) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Notez que c'est une probabilité beaucoup plus faible que la probabilité que chaque événement se produit quel que soit le résultat de l'autre. Ou en d'autres termes, beaucoup moins que les probabilités individuelles.

Les références

1. Berenson, M. 1985. Statistiques pour l'administration et l'économie. Inter-américain s.POUR. 126-127.
2. Institut Monterrey. Probabilité d'événements indépendants. Récupéré de: monterreyinstitute.org
3. Professeur de tapis. Événements indépendants. Récupéré de: youtube.com
4. Superprof. Types d'événements, événements dépendants. Récupéré de: superprof.est
5. Tutteur. Probabilité. Récupéré de: Vitutor.filet
6. Wikipédia. Indépendance (probabilité). Récupéré de: Wikipedia.com