Formule d'espoir mathématique, propriétés, exemples, exercice

La Hope mathématique ou la valeur attendue du Variable aléatoire X, il est indiqué comme e (x) et est défini comme la somme du produit entre la probabilité d'un événement aléatoire et la valeur dudit événement.

Sous forme mathématique, il est exprimé comme suit:

μ = e (x) = ∑ x_Toi. P (x_Toi) = x₁.P (x₁) + x₂.P (x₂) + x₃.P (x₃) + ..

Figure 1. L'espoir mathématique est largement utilisé dans le marché boursier et le domaine de l'assurance. Source: Pixabay.

Où x_Toi C'est la valeur de l'événement et p (x_Toi) sa probabilité d'occurrence. La sommation s'étend à toutes les valeurs admises x. Et si ceux-ci sont finis, le résumé indiqué converge vers la valeur e (x), mais si la somme ne converge pas, alors la variable manque de valeur attendue.

Quand il s'agit d'une variable continue X, La variable peut avoir des valeurs infinies et les intégrales remplacent les résumés:

Ici f (x) représente le fonction de densité de probabilité.

En général, l'espoir mathématique (qui est une moyenne pondérée) n'est pas égal à la moyenne arithmétique ou moyenne, sauf si ce sont des distributions discrètes dans lesquelles chaque événement est également probable. Donc, et seulement alors:

μ = e (x) = (1 / n) ∑ x_Toi

Où n est le nombre de valeurs possibles.

Le concept est très utile sur les marchés financiers et les compagnies d'assurance, dans lesquelles les certitudes font souvent défaut, mais elles sont probables.

[TOC]

Propriétés de l'espoir mathématique

Parmi les propriétés les plus importantes de l'espoir mathématique figurent les suivantes:

- Signe: Si x est positif, alors e (x) sera également.

- Valeur attendue d'une constante: La valeur attendue d'une véritable constante k C'est la constante.

E (k) = k

- Linéarité dans la somme: L'espoir d'une variable aléatoire qui est à son tour la somme de deux variables x y y est la somme des espoirs.

Peut vous servir: paire ordonnée

E (x + y) = e (x) + e (y)

- Multiplication par une constante: Si la variable aléatoire est la forme kx, où k C'est une constante (un nombre réel), il sort de la valeur attendue.

E (kx) = k e (x)

- Valeur attendue du produit et indépendance entre les variables: Si une variable aléatoire est le produit des variables aléatoires x y y, qui sont indépendantes, alors la valeur attendue du produit est le produit des valeurs attendues.

EX.Y) = e (x).HÉ)

- Variable aléatoire Y = ax + b: Les propriétés précédentes sont appliquées.

E (ax + b) = ae (x) + e (b) = ae (x) + b

En général, oui Y = g (x):

E (y) = e [g (x)] = ∑ g (x_Toi). P [g (x_Toi)]

- Commande dans la valeur attendue: Oui x ≤ y, alors:

E (x) ≤ e (y)

Puisqu'il y a les valeurs attendues de chacun d'eux.

Hope mathématique dans les paris

Lorsque le célèbre astronome Christian Huygens (1629-1695) n'observait pas les cieux, il était dédié à l'étude, entre autres disciplines, la probabilité de jeu. C'est lui qui a présenté le concept d'espoir mathématique dans son travail de 1656 intitulé: Raisonnement sur le jeu.

Figure 2. Christiaan Huygens (1629-1625) était un scientifique brillant et polyvalent, à qui nous devons le concept de valeur attendue.

Huygens a constaté que les paris pouvaient être classés de trois manières, selon la valeur attendue:

-Jeux avec avantage: e (x)> 0

-Paris équitables: e (x) = 0

-Jeu de désavantage: e (x) < 0

Le problème est que dans un jeu de hasard, l'espoir mathématique n'est pas toujours facile à calculer. Et quand vous pouvez le résultat, c'est parfois décevant pour ceux qui demandent si.

Faisons une tentative avec un simple pari: visage ou croix et celui qui perd paie un café de 1 $. Quelle est la valeur attendue de ce pari?

Peut vous servir: quelle est la directive? (Géométrie)

Eh bien, la probabilité d'être coûteuse est ½, tout comme une croix sort. La variable aléatoire consiste à gagner 1 $ ou à perdre 1 $, le gain est indiqué avec Sign + et la perte avec signe -.

Nous organisons les informations dans un tableau:

Nous multiplions les valeurs des colonnes: 1. ½ = ½ ans (-1). ½ = -½ et enfin les résultats sont ajoutés. La somme est 0 et c'est un jeu équitable, dans lequel les participants devraient gagner ou perdre.

La roulette française et la loterie sont des jeux avec un désavantage dans lequel la plupart des tragateurs perdent. Plus tard, il y a un pari légèrement plus complexe dans la section des exercices résolus.

Exemples 

Voici quelques exemples simples où le concept d'espoir mathématique est intuitif et clarifie le concept:

Exemple 1

Nous allons commencer par lancer un dés honnête. Quelle est la valeur de lancement attendue? Eh bien, si les dés sont honnêtes et ont 6 faces, la probabilité que toute valeur (x = 1, 2, 3 ... 6) laisse 1/6, comme ceci:

E (x) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5.(1/6) + 6. (1/6) = 21/6 = 3.5

figure 3. Lors du lancement d'un dés honnête, la valeur attendue n'est pas une valeur possible. Source: Pixabay.

La valeur attendue dans ce cas est égale à la moyenne, car chaque visage a la même probabilité de sortir. Mais e (x) n'est pas une valeur possible, car aucun visage ne vaut 3.5. Cela est parfaitement possible dans certaines distributions, bien que dans ce cas, le résultat n'aide pas beaucoup.

Regardons un autre exemple avec le lancement de deux pièces.

Exemple 2

Deux pièces honnêtes sont jetées dans l'air et définissent la variable aléatoire x comme le nombre de faces obtenues. Les événements qui peuvent survenir sont les suivants:

Peut vous servir: 90 diviseurs: quelles sont et explications

-Aucun visage ne sort: 0 faces qui équivaut à 2 croix.

-1 visage et 1 sceau ou croix sort.

-2 visages sortent.

Soit C un visage et un sceau, l'espace d'échantillonnage qui décrit ces événements est le suivant:

S_m = Scel-iso; SEAL-CARA; Face-oel; Cara-cara = tt, tc, ct, cc

Les chances d'événements se produisent sont:

P (x = 0) = p (t).P (t) = ½ . ½ = ¼

P (x = 1) = p (tc) + p (ct) = p (t).P (C) + P (C).P (t) = ¼ + ¼ = ½

P (x = 2) = p (c).P (c) = ½ . ½ = ¼

Le tableau est construit avec les valeurs obtenues:

Selon la définition donnée au début, l'espoir mathématique est calculé comme suit:

μ = e (x) = ∑ x_Toi. P (x_Toi) = x₁.P (x₁) + x₂.P (x₂) + x₃.P (x₃) + ..

Remplacement des valeurs:

E (x) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Ce résultat est interprété comme suit: Si une personne a suffisamment de temps pour faire un grand nombre d'expériences en lançant les deux pièces, il devrait obtenir un visage dans chaque lancement.

Cependant, nous savons que les versions dans lesquelles 2 timbres sortent sont parfaitement possibles.

Exercice résolu

Dans le lancement de deux devises honnêtes, le pari suivant est fait: si 2 visages sortent, ils gagnent 3 $, si 1 visage est gagné, mais si deux timbres sortent, vous devez payer 5 $. Calculez le gain attendu du pari.

Figure 4. Selon le pari, l'espoir mathématique change en lançant deux pièces honnêtes. Source: Pixabay.

Solution

La variable aléatoire x est les valeurs que l'argent prend dans le pari et les probabilités ont été calculées dans l'exemple précédent, donc le tableau du pari est:

E (x) = 3 . ¼ + 1. ½ + (-5) . ¼ = 0

Comme la valeur attendue est de 0, c'est un jeu juste, donc ici, on s'attend à ce que le parieur ne gagne pas et ne perd pas. Cependant, les montants de paris pourraient être modifiés pour transformer le pari en un jeu avec un avantage ou un jeu avec un inconvénient.

Les références

1. Brase, C. 2009. Statistiques sous-destruables. Hougton Mifflin.
2. Olmedo, F. Introduction au concept de valeur attendue ou d'espoir mathématique d'une variable aléatoire. Récupéré de: personnel.nous.est.
3. Statistics Libretsexts. Valeur attendue des variables aléatoires discrètes. Récupéré de: Statistiques.Bibliothèque.org.
4. Triola, m. 2010. Statistiques élémentaires. 11ème. Élégant. Addison Wesley.
5. Walpole, R. 2007. Probabilité et statistiques pour la science et l'ingénierie. 8e. Édition. Pearson Education.