La distribution uniforme continue les caractéristiques, les exemples, les applications
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- Adrien Remy
Une variable aléatoire a un Distribution uniforme continue Si la probabilité de prendre une valeur, dans un intervalle fini [a, b], est la même pour tout sous-intervalle de longueur égale.
Cette distribution est analogue à la distribution uniforme discrète, qui attribuée à chaque résultat de l'expérience aléatoire de la même probabilité, mais dans ce cas la variable à considérer est continue. Par exemple, l'expérience qui consiste à sélectionner un nombre réel aléatoire, entre les valeurs A et B, suit la distribution uniforme. Ici, vous avez votre graphique:
Figure 1. Graphique de la fonction de densité de la distribution uniforme normalisée continue En notation mathématique, la distribution uniforme continue a une fonction de densité définie comme une fonction en morceaux ou par sections, qui peuvent être écrites comme:
Le graphique de cette fonction, connue sous le nom Courbe ou fonction de densité, C'est un rectangle, donc la distribution uniforme continue est également connue sous le nom distribution rectangulaire Et c'est la plus simple des distributions continues.
La zone sous le graphique d'une distribution de probabilités est égale à 1 et prend toujours des valeurs positives. La distribution uniforme répond à ces critères. Il n'est pas nécessaire de s'intégrer directement pour vérifier que la zone est 1, car la zone du rectangle ombré de la figure 1 peut être calculée à l'aide de la formule:
Zone = base x hauteur = (b - a) x [1 / (b - a)] = 1
Connaître la zone sous la courbe de densité est très important, car il existe une relation entre la zone et la probabilité d'occurrence d'un événement qui, pour cette distribution, est déterminé dans la section suivante.
Caractéristiques de distribution uniformes continues
La distribution uniforme continue est caractérisée par son:
Fonction de densité
Soit x la variable aléatoire continue, qui appartient à l'intervalle [a, b], puis:
Il peut vous servir: transformations linéaires: propriétés, quels sont les types, les types, les exemples=\frac1b-a)
Fonction de distribution
Au moyen de la fonction de distribution, la probabilité que la variable aléatoire x tire une valeur x des valeurs possibles de l'intervalle [a, b] soit calculée. Pour une distribution continue, il est généralement calculé de cette manière:
=\int_a^xf(x)dx)
Dans le cas de la distribution uniforme continue, ladite probabilité f (x) est équivalente à la zone rectangulaire dont la base est (x-a) et sa hauteur est (B-A):
=\int_a^x\left&space;(\frac1b-a&space;\right&space;)dx=\fracx-ab-a)
Mathématiquement, si f (x) = pr (x = x) La fonction suivante est établie par des parties, selon le résultat précédent:
De cette façon, ce qui a été dit auparavant: la probabilité ne dépend que de la valeur de (x-a) et non de son emplacement dans l'intervalle [a, b]. Le graphique de la fonction de distribution est:
Figure 2. Graphique de la fonction de distribution f (x). Source: Wikimedia Commons. Valeur, variance et écart-type attendu
Après avoir fait de nombreuses expériences avec la variable aléatoire continue, sa valeur moyenne est appelée valeur attendue, Il est indiqué comme e (x) et est calculé par l'intégrale suivante:
=\int_a^bxf(x)=\int_a^b\left&space;(\frac1b-a&space;\right&space;)xdx=\left&space;(\frac1b-a&space;\right&space;)\frac(b^2-a^2)2=\fraca+b2)
V (x) = e (x2) - EX)2
Donc:
=\left&space;[\int_a^bx^2f(x)dx&space;\right&space;]-\left&space;(\fraca+b2&space;\right&space;)^2=\left&space;[\int_a^bx^2\left&space;(\fracb-a2&space;\right&space;)&space;dx\right&space;]-\left&space;(\fraca+b2&space;\right&space;)^2)
=\frac(b-a)^212)
D (x) = √ V (x)
=\sqrt\frac(b-a)^212)
Médiane, mode, symétrie et curtose
Il peut être facilement vérifié que la médiane, qui est la valeur centrale de la distribution uniforme, est égale à la moyenne, et comme il n'y a pas de valeur qui se répète plus que les autres, car tous sont également probables dans l'intervalle [a, b ], la mode n'existe pas.
Quant à la symétrie, la distribution uniforme est symétrique et la curtose, qui est la mesure dans laquelle les valeurs autour du centre sont concentrées est -6/5.
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Diverses situations peuvent être modélisées par distribution continue et prédire ainsi leur comportement. Voici quelques exemples:
Exemple 1
Une entreprise qui fournit un service électrique fournit des niveaux de tension uniformément distribués, entre 123.0 V et 125.0 V. Cela signifie que dans la prise de vue domestique, il est possible d'obtenir une valeur de tension qui appartient à cet intervalle.
Ensuite, comme on le voit ci-dessus, le graphique de la fonction de densité est le rectangle rouge:
figure 3. Fonction de densité pour la tension livrée par une entreprise d'électricité. Source: F. Zapata. Le calcul de la probabilité d'avoir une tension dans l'intervalle donné est très facile, par exemple, quelle est la probabilité que l'entreprise enverra une tension inférieure à 123.5 V?
Cette probabilité équivaut à la zone du rectangle ombré en bleu:
P (x<123.5) = (123.5 −123.0)x 0.5 = 0.25
Et quelle est la probabilité que la tension livrée soit supérieure à 124.0 V?
Comme la superficie totale est égale à 1, la probabilité recherchée est:
P (x> 124.0 v) = 1 - (1 × 0.5) = 0.5
A du sens, depuis 124.0 est précisément la valeur au centre de l'intervalle.
Exemple 2
Une certaine variable aléatoire x a une distribution uniforme dans l'intervalle [0,100]. Déterminer:
a) La probabilité que la valeur de x soit inférieure à 22.
b) La probabilité que x prend des valeurs entre 20 et 35.
c) La valeur attendue, la variance et l'écart type de cette distribution.
Réponds à
Il est déterminé similaire à l'exemple précédent, mais nous devons d'abord déterminer la hauteur du rectangle, en nous rappelant que la surface totale doit être égale à 1:
Zone = 100 × hauteur = 1
Par conséquent, le rectangle a une hauteur égale à 1/100 = 0.01
Peut vous servir: Decagon: Propriétés régulières, irrégulières, exemplesP (x<22) = 22×0.01 = 0.22
Réponse b
La probabilité demandée équivaut à la zone rectangulaire dont la largeur est (35 - 20) et dont la hauteur est 0.01:
P (22 Si vous préférez accéder directement à la fonction de distribution ci-dessus, il vous suffit de remplacer les valeurs en: P (20≤x≤35) = f (35) -f (20) Avec f (x) donné par: F (x) = (x-a) / (b-a) Les valeurs à introduire sont: A = 0 B = 100 F (35) = (35-0) / (100-0) = 0.35 F (20) = (20-0) / (100-0) = 0.vingt P (20≤x≤35) = 0.35-0.20 = 0.quinze La valeur attendue est: E (x) = (a + b) / 2 = (100 + 0) / 2 = 50 La variance est: V (x) = (b-a)2/ 12 = (100-0)2/ 12 = 833.33 Et l'écart type est: D (x) = √833.33 = 28.87 Cette distribution est utile lorsque des processus de simulation statistique sont effectués ou lorsqu'ils travaillent lors d'événements dont la fréquence d'apparence est régulière. Certains langages de programmation génèrent des nombres aléatoires entre 0 et 1, et comme on peut le voir à partir des exemples précédents, la distribution des probabilités suivies est uniforme. Dans ce cas, l'intervalle à considérer est [0,1]. Si vous avez une expérience dans laquelle les événements ont une régularité, comme expliqué ci-dessus, vous pouvez, en principe, attribuer à chacun la même probabilité d'occurrence. Dans ce cas, le modèle probabiliste de distribution uniforme fournit des informations pour l'analyse. La distribution uniforme est également utilisée dans l'arrondi des différences entre les valeurs observées et les valeurs réelles d'une variable, en supposant une distribution uniforme de l'erreur dans un intervalle donné, selon l'arrondi, généralement de -0,5 à +0,5.Réponse C
Applications
Nombres aléatoires
Échantillonnage de distribution arbitraire
Arrondi d'erreur
Les références