Éléments quadrilatéraux, propriétés, classification, exemples

UN quadrilatère C'est un polygone à quatre faces et quatre sommets. Leur côtés opposés Ce sont ceux qui n'ont pas de sommet commun, alors qu'ils sont côtés consécutifs Ceux qui ont un sommet commun.

Dans un quadrilatère, ils sont angles adjacents Ceux qui partagent un côté, tandis que angles opposés Ils n'ont pas de côtés communs. Une autre caractéristique importante d'un quadrilatère est que la somme de ses quatre Angles internes C'est le double de l'angle plat, c'est-à-dire des radians à 360 ° ou 2π.

Figure 1. Divers quadrilatoires. Source: F. Zapata.

Les diagonales Ce sont les segments qui unissent un sommet avec son opposé et dans un anneau donné, de chaque sommet, vous pouvez dessiner une seule diagonale. Le nombre total de diagonales d'un quadrilatoral est deux.

Les quadrilatoires sont des figures connues de l'humanité depuis les temps anciens. Les dossiers archéologiques, ainsi que les constructions qui survivent aujourd'hui, en témoignent.

Aujourd'hui aussi, les quadrilatoires continuent d'avoir une présence importante dans la vie quotidienne de tous. Le lecteur peut trouver ce formulaire à l'écran sur lequel le texte se lit à ce moment précis, dans les fenêtres, les portes, les pièces automobiles et d'innombrables endroits.

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Classification des quadrilatères

Selon le parallélisme des côtés opposés, les quadrilatères sont classés comme suit:

1. Trapézoïde, Lorsqu'il n'y a pas de parallélisme et que le quadrilatère est convexe.
2. Trapèze, Lorsqu'il y a un parallélisme entre une seule paire de côtés opposés.
3. Parallélogramme, Lorsque leurs côtés opposés sont parallèles de deux à deux.

Figure 2. Classification et sous-classification des quadrilatères. Source: Wikimedia Commons.

Types de parallélogramme

À leur tour, les parallélogrammes peuvent être classés en fonction de leurs angles et de leurs côtés comme suit:

1. Rectangle, C'est le parallélogramme qui a ses quatre angles internes de mesure égale. Les angles internes d'un rectangle forment un angle droit (90º).
2. Carré, C'est un rectangle avec ses quatre côtés de mesure égale.
3. diamant, C'est le parallélogramme avec ses quatre côtés, mais ses différents angles adjacents.
4. Rhomboïde, parallélogramme avec différents angles adjacents.

Trapèze

Le trapèze est un quadrillatéral convexe avec deux côtés parallèles.

figure 3. Bases, latérale, la hauteur et la médiane d'un trapèze. Source: Wikimedia Commons.

- Dans un trapèze, les côtés parallèles sont appelés bases Et les non-parallels sont appelés latéral.

- La hauteur d'un trapèze est la distance entre les deux bases, c'est-à-dire la longueur d'un segment avec des extrémités dans les bases et perpendiculaire. Ce segment est également appelé hauteur de trapèze.

- La médian C'est le segment qui rejoint les points médians des côtés. On peut démontrer que la médiane est parallèle aux bases du trapèze et que sa longueur est égale aux semi-bornes des bases.

- La zone d'un trapèze est sa hauteur multipliée par les semi-bornes des bases:

Zone d'un trapèze = hauteur * (base 1 + base 2) / 2

Types de trapèze

-Rectangle trapèze: C'est celui qui a un côté perpendiculaire aux bases. Ce côté est également la hauteur du trapèzoïde.

-Trapènes isoscèles: Celui avec des côtés de longueur égale. Dans un trapèze isocèle, les angles adjacents aux bases sont égaux.

-Escaleno trapèze: Celui qui a ses côtés de longueur différente. Ses angles opposés peuvent être aigus et l'autre obtus, mais il peut également arriver que les deux sont obtus ou les deux aiguës.

Peut vous servir: exercices de factorisation résolus Figure 4. Types de trapèze. Source: F. Zapata.

Parallélogramme

Le parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Dans un parallélogramme, les angles opposés sont les mêmes et les angles adjacents sont supplémentaires, ou en d'autres termes, les angles adjacents totalisent 180 °.

Si un parallélogramme a un angle droit, alors tous les autres angles seront également et la figure résultante est appelée rectangle. Mais si le rectangle a également ses côtés adjacents de la même longueur, alors tous ses côtés sont égaux et la figure résultante est un carré.

Figure 5. Parallélogrammes. Le rectangle, le carré et le losange sont des parallélogrammes. Source: F. Zapata.

Lorsqu'un parallélogramme a deux côtés adjacents de la même longueur, tous ses côtés seront de la même longueur et la figure résultante est un diamant.

La hauteur d'un parallélogramme est un segment avec des extrémités sur ses côtés opposés et perpendiculaire.

Une zone de parallélogramme

La zone d'un parallélogramme est le produit de la base par sa hauteur, la base étant un côté perpendiculaire à la hauteur (figure 6).

Zone d'un parallélogramme = hauteur de base x de base = a . H

Diagonales d'un parallélogramme

Le carré de la diagonale qui commence d'un sommet est égal à la somme des carrés des deux côtés adjacents audit sommet plus le double produit de ces côtés par le cosinus de l'angle de ce sommet:

F² = A² +  d² + 2 A d cos (α)

Figure 6. Parallélogramme. Angles opposés, hauteur, diagonales. Source: F. Zapata.

Le carré de la diagonale opposée au sommet d'un parallélogramme est égal à la somme des carrés des deux côtés adjacents audit sommet et a soustrait le double produit de ces côtés par le cosinus de l'angle de ce sommet:

g² = A² + d² - 2 A d cos (α)

Loi sur le parallélogramme

Dans tout parallélogramme, la somme des carrés de leurs côtés est égale à la somme des carrés des diagonales:

pour² + b² + c² + d² = F² + g²

Concernantctangle

Le rectangle est un quadrilatère avec ses côtés opposés parallèles de deux à deux et qui a également un angle droit. C'est-à-dire que le rectangle est un type de parallélogramme avec un angle droit. Pour être parallélogramme, Le rectangle a ses côtés opposés de longueur égale a = c et b = d. 

Mais comme dans tout parallélogramme, les angles adjacents sont complémentaires et les angles opposés égaux, dans le rectangle en ayant un angle droit, il formera nécessairement des angles droits dans les trois autres angles. C'est-à-dire Dans un rectangle, tous les angles internes mesurent 90º ou π / 2 radians.

Diagonales d'un rectangle

Dans un rectangle, les diagonales sont égales, Comme cela sera démontré ci-dessous. Le raisonnement est le suivant; Un rectangle est un parallélogramme avec tous ses angles droits et c'est pourquoi il hérite de toutes les propriétés du parallélogramme, y compris la formule qui donne la longueur des diagonales:

F² = A²+  d² + 2 A d cos (α)

g² = A² + d² - 2 A d cos (α)

avec α = 90º

Comme Cos (90º) = 0, Il arrive donc que:

F² = g² = A² +  d²

C'est f = g, Et donc les longueurs F et g Des deux diagonales du rectangle, elles sont égales et leur longueur est donnée par:

Longueur diagonale d'un rectangle = √ (a² + b²)

De plus, si dans un rectangle de côtés adjacents pour et b Un côté est basé sur l'autre côté sera de la hauteur et, par conséquent, la zone rectangulaire sera:

Il peut vous servir: série Fibonacci: propriétés, relations naturelles, applications

Zone rectangulaire = a x b.

Le périmètre est la somme de tous les côtés du rectangle, mais comme les opposés sont les mêmes, il est alors nécessaire pour un rectangle des côtés pour et b Le périmètre est donné par la formule suivante:

Périmètre rectangulaire = 2 (a + b)

Figure 7. Rectangle des côtés a et b. Les diagonales F et G sont une longueur égale. Source: F. Zapata.

Carré

Le carré est un rectangle avec ses côtés adjacents de la même longueur. Si le carré a le côté pour, Puis ses diagonales F et g Ils ont la même longueur, qui est F = g = (√2) a.

La zone d'un carré est son côté surélevé sur le carré:

Zone d'un carré = a²

Le périmètre d'un carré est deux fois le côté:

Périmètre d'un carré = 4 a

Figure 8. Carré à côté A, indiquant sa zone, son périmètre et la longueur de ses diagonales. Source: F. Zapata ..

diamant

Le losange est un parallélogramme avec ses côtés adjacents de la même longueur, mais comme dans un parallélogramme, les côtés opposés sont les mêmes alors, Tous les côtés d'un losanges ont une longueur égale.

Les diagonales d'un losange sont d'une longueur différente, mais elles sont coupées à angle droit.

Figure 9. Rhombus du côté A, indiquant sa zone, son périmètre et la longueur de ses diagonales. Source: F. Zapata.

Exemples

Exemple 1

Démontrent que dans un quadrilatère (non croisé), les angles internes totalisent 360 °.

Figure 10: Il est démontré comme la somme des angles d'un quadrilatère ajouter à 360 °. Source: F. Zapata.

ABCD est considéré comme un ABCD (voir figure 10) et le BD diagonal est dessiné. Deux triangles ABD et BCD sont formés. La somme des angles internes du triangle Abd est:

α + β₁ + δ₁ = 180º

Et la somme des angles internes du triangle BCD est:

 β2 + γ + δ₂ = 180º

L'ajout des deux équations est obtenu:

α + β₁ + δ₁ +  β₂ + γ + Δ₂ = 180º + 180º

Regroupement:

α + (β₁ +  β₂) + (Δ₁ + δ₂) + γ = 2 * 180º

Regroupement et renouvellement, il est finalement démontré que:

α + β + Δ + γ = 360º

Exemple 2

Démontrer que la médiane d'un trapèzoïde est parallèle à ses bases et à sa longueur est le semi-seismum des bases.

Figure 11. MN médian du trapèze ABCD. Source: F. Zapata.

La médiane d'un trapèze est le segment qui rejoint les points médians de ses côtés, c'est-à-dire les côtés non parallèles. Dans le trapèze ABCD illustré à la figure 11, la médiane est Mn. 

Parce qu'il s'agit d'un point médian de la publicité et du point de n par le milieu de la Colombie-Britannique, il est réalisé que les quotients AM / AD et BN / BC sont égaux.

Autrement dit, AM est proportionnel à BN dans la même proportion que la MA est BC, donc les conditions de l'application du théorème (réciproque) de Thales affirment ce qui suit:

"Si dans trois ou plus coupés droits par deux sécants".

Dans notre cas, il est conclu que les lignes MN, AB et CC sont donc parallèles les unes aux autres:

"Ldans une médiane d'un trapèze est parallèle à ses bases".

Peut vous servir: opérations combinées

Maintenant, le théorème de Thales s'appliquera:

"Un ensemble de parallèles coupés par deux ou plus de séchage déterminer les segments proportionnels".

Dans notre cas AD = 2 heures du matin, AC = 2 AO, donc le triangle DAC est similaire au triangle Mao, et par conséquent DC = 2 mois.

Un argument similaire permet d'affirmer que Cu est similaire à Con, où Ca = 2 CO et CB = 2 CN. Il s'ensuit que ab = 2 sur.

Bref, ab = 2 sur y 2 mois. Alors quand nous sommes partis:

Ab + dc = 2 on + 2 mo = 2 (mo + on) = 2 mn

Efface enfin MN:

Mn = (ab + dc) / 2

Et il est conclu que la médiane d'un trapézoïde mesure les semi-bornes des bases, ou en d'autres termes: la médiane mesure la somme des bases, divisée par deux.

Exemple 3

Démontrez que dans un losange, les diagonales sont coupées à angle droit.

Figure 12. Rhombus et démonstration que leurs diagonales sont coupées à angle droit. Source: F. Zapata.

Le conseil de la figure 12 montre la construction nécessaire. Tout d'abord, le parallélogramme ABCD est dessiné avec AB = BC, c'est un losange. Les diagonales AC et DB déterminent huit angles illustrés sur la figure.

En utilisant le théorème (un.Toi.p.

α₁ = γ₁, α2 = γ2, δ₁ = Β₁ et Δ2 = β2. (*)

D'un autre côté, comme les côtés adjacents d'un losange sont de longueur égale, quatre triangles isocèles sont déterminés:

DAB, BCD, CDA et ABC

Maintenant, le théorème des triangles (isocèle) est invoqué qui indique que les angles adjacents à la base sont de même mesure, où il est conclu que:

δ₁ = β2, Δ2 = β₁, α2 = γ₁ et α₁ = γ2 (**)

Si les relations (*) et (**) sont combinées, la prochaine égalité des angles est atteinte:

α₁ = α2 = γ₁ = γ₁ D'une part et β₁ = Β2 = Δ₁ = Δ2 pour l'autre. 

Se souvenir du théorème des triangles égaux qui affirme que deux triangles avec un côté égal entre deux angles égaux sont les mêmes:

Aod = aoB et par conséquent aussi les angles ∡aod = ∡aob.

Alors ∡aod + ∡aob = 180º, mais comme les deux angles sont de même mesure, 2 ∡aod = 180º ce qui implique que ∡aod = 90º.

Autrement dit, il est démontré géométriquement que les diagonales d'un losange sont coupées à angle droit.

Exercices résolus

- Exercice 1

Démontrent que dans un trapèze rectangle, les angles non EG sont supplémentaires.

Solution

Figure 13. Rectangle trapèze. Source: F. Zapata.

Le trapèzoïde ABCD est construit avec des bases AB et CC parallèles. L'angle intérieur du sommet A est droit (mesure 90 °), vous avez donc un trapèzoïde rectangle.

Les angles α et δ sont des angles internes entre deux parallèles parallèles AB et DC, donc ils sont les mêmes, c'est-à-dire δ = α = 90º. 

D'un autre côté, il a été démontré que la somme des angles internes d'un quadrilatère ajoute à 360 °, c'est-à-dire:

α + β + γ + Δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.

Ce qui précède mène à:

 β + δ = 180º

Confirmant ce qui voulait être démontré que les angles β et Δ sont supplémentaires.

- Exercice 2

Un parallélogramme ABCD a AB = 2 cm et AD = 1 cm, en plus, l'angle mauvais est de 30º. Déterminez la zone dudit parallélogramme et la longueur de ses deux diagonales.

Solution

La zone d'un parallélogramme est le produit de la longueur de sa base par hauteur. Dans ce cas, la longueur du segment B = AB = 2 cm sera prise comme une base, l'autre côté a la longueur A = AD = 1 cm et la hauteur H sera calculée comme suit:

H = ad * sin (30º) = 1 cm * (1/2) = ½ cm.

Alors: zone = b * h = 2 cm * ½ cm = 1 cm².

Les références

1. C. ET. POUR. (2003). Éléments de géométrie: avec des exercices et une géométrie de la boussole. Université de Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, f. J. (2014). Mathématiques 2. Groupe éditorial de Patria.
3. Libéré, k. (2007). Découvrir les polygones. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Polygones généralisés. Birkhäuser.
5. Iger. (s.F.). Mathématiques Premier semestre Tacaná. Iger.
6. JR. Géométrie. (2014). Polygones. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren et Hornsby. (2006). Mathématiques: raisonnement et applications (dixième édition). Pearson Education.
8. Patiño, m. (2006). Mathématiques 5. Progreso éditorial.
9. Wikipédia. Quadrilatères. Récupéré de: est.Wikipédia.com