Fonctions et applications trigonométriques du cercle unitaire

Il Cercle unitaire Il s'agit d'un cercle de rayon égal à 1, qui se concentre généralement sur le point (0,0) du système de coordonnées cartésiennes Xy. Il est utilisé pour définir facilement les raisons trigonométriques des angles par les rectangles.

L'équation du cercle unitaire axée sur l'origine est:

X² + et² = 1

Figure 1. Le cercle unitaire. Source: Wikimedia Commons.

Dans la figure 1, nous avons le cercle unitaire, dans lequel chaque pièce se trouve dans un quadrant. Les quadrants sont numérotés avec des numéros romains et sont comptés anti-horaire.

Dans le premier quadrant, il y a un triangle. Les catégories, en rouge et en bleu respectivement 0.8 et 0.6, tandis que l'hypoténuse dans les mesures vertes 1, car c'est une radio.

L'angle aigu α est un angle central en position standard, ce qui signifie que son sommet coïncide avec le point (0,0) et son côté initial avec l'axe x positif. L'angle est mesuré contrairement aux mains de l'horloge et par convention, il se voit attribuer un signe positif.

Eh bien, dans le cercle unitaire, les coordonnées de Coseno et du sinus de α sont respectivement les coordonnées x et y du point B, qui dans l'exemple montré sont 0.8 et 0.6.

De ces deux-là, ils sont définis:

• tg α = sin α / cos α = 0.6/0.8 = 0.75
• Sec α = 1 / cos α = 1/0.8 = 1.25
• dommage α = 1 / sin α = 1/0.6 = 1.66 ..
• ctg α = 1 / tg = 0.8/0.6 = 1.33 ..

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Applications du cercle unitaire

Si nous nous limitons aux rectangles, des raisons trigonométriques ne seraient appliquées qu'aux angles aigus. Cependant, à l'aide du cercle unitaire, le calcul des raisons trigonométriques est étendue à n'importe quel angle α.

Figure 2.- Angles dans les quadrants et l'angle de référence dans le cercle unitaire. Source: F. Zapata.

Pour cela, il est nécessaire de définir d'abord le concept d'angle de référence α_R:

Peut vous servir: ensemble fini: propriétés, exemples, exercices résolus

Angle de référence

Soit α un angle en position standard (celui dont Côté initial coïncide avec l'axe x positif), son angle de référence α_R C'est parmi ses côté terminal Et l'axe x. La figure 2 montre l'angle de référence pour les angles dans le quadrant I, II, III et IV.

Pour chaque quadrant, l'angle de référence est calculé comme suit:

-Premier quadrant: α_R = α

-Deuxième quadrant: α_R = 180º - α

-Troisième quadrant: α_R = α - 180º

-Quatrième quadrant: α_R = 360º - α

Notez que le premier angle de quadrant α coïncide avec son angle de référence. Eh bien, les raisons trigonométriques de l'angle α sont les mêmes que leur angle de référence, avec les signes selon ceux qui ont les quadrants dans lesquels le côté terminal de α tombe.

En d'autres termes, les raisons trigonométriques Coseno et le sein de l'angle α coïncident avec les coordonnées du point P, selon la figure 2.

Dans la figure suivante, nous voyons les raisons trigonométriques de certains angles notables, comme déduit du cercle unitaire.

figure 3. Coordonnées de certains points notables dans le cercle unitaire. Source: Wikimedia Commons.

Les raisons pour les raisons et le sein de tout angle dans le quadrant I sont tous positifs. Pour α = 60º, nous avons les coordonnées (1/2; √3 / 2), qui correspondent respectivement à COS 60º et SEN 60º.

Les coordonnées de α = 120º sont (-1/2; √3 / 2), car étant dans le deuxième quadrant, la coordonnée X est négative.

Disposition des graphiques du cosinus et des sinus

À l'aide du cercle unitaire et des coordonnées des points P dessus, il est possible de dessiner les graphiques des fonctions en cours et sen, comme nous le verrons ci-dessous.

Peut vous servir: déplacement angulaire

Pour cela, plusieurs positions de point P (t) sont situées dans le cercle unitaire. Nous allons commencer par le graphique de la fonction f (t) = sen t.

Nous pouvons observer que lorsque nous passons de t = 0 à t = π / 2 (90º), la valeur de la sensibilité augmente à 1, qui est la valeur maximale.

En revanche, de t = π / 2 à t = 3π / 2, la valeur du sin t diminue de 1, passant par 0 à t = π à son minimum de -1 à t = 3π / 2.

La figure montre le graphique du premier cycle de f (t) = sen t qui correspond au premier retour au cercle unitaire, cette fonction est la période périodique 2π.

Figure 4. Figure du graphique de f (t) = sen t pour un cycle. Source: Zill, D. Algèbre, trigonométrie et géométrie analytique.

Une procédure analogue peut être effectuée pour obtenir le graphique de la fonction f (t) = cos t, comme indiqué dans l'animation suivante:

Figure 5. Graphiques des fonctions sinus et cosinus du cercle unitaire. Source: Wikimedia Commons.

Seno et Coseno fonctionnent des propriétés

-Les deux fonctions sont continues dans l'ensemble des nombres réels et également périodiques, de la période 2π.

-Le domaine des fonctions f (t) = sen t et f (t) = cos t sont tous des nombres réels: (-∞, ∞).

-Pour la voie du sein ou des sinus et des cosinus, vous avez l'intervalle [-1,1]. Les supports indiquent que -1 et 1 sont inclus.

- Les zéros de sin t sont les valeurs qui correspondent à nπ avec n entier, tandis que les zéros de cos t sont [(2n + 1) / 2] avec n également entier.

-La fonction f (t) = sin t est impair, a une symétrie par rapport à l'origine tandis que la fonction cos t est égale, sa symétrie est par rapport à l'axe vertical.

Peut vous servir: sélections aléatoires avec ou sans remplacement

Exercices résolus

- Exercice 1

Étant donné Cos T = - 2/5, qui est la coordonnée horizontale du point P (t) dans le cercle unitaire dans le deuxième quadrant, obtenez la coordonnée verticale correspondante.

Solution

Puisque P (t) appartient au cercle unitaire, dans lequel il est accompli que:

X² + et² = 1

Donc:

y = ± √ 1 - x²

Puisque P (t) est dans le deuxième quadrant, la valeur positive sera prise. La coordonnée verticale du point P (t) est y:

y = √ 1 - (-2/5)² = √0.84

- Exercice 2

Un modèle mathématique pour la température T En degrés Fahrenheit tous les jours, t Quelques heures après minuit, il est donné par:

T (t) = 50 + 10 sen [(π / 12) × (t - 8)]

Avec t compris entre 0 et 24 heures. Trouver:

a) La température à 8 h.

b) heures pendant lesquelles t (t) = 60 ºF

c) températures maximales et minimales.

Solution à

Nous remplacons t = 8 dans la fonction donnée:

T (8) = 50 + 10 sen [(π / 12) × (t-8)] = 50 + 10 sen [(π / 12) × (8-8)] =

= 50 + 10 x sen 0 = 50 ºF

Solution B

50 + 10 sen [(π / 12) × (t-8)] = 60

Il s'agit d'une équation trigonométrique et vous devez effacer l'inconnu "T":

10 sen [(π / 12) × (t -8)] = 60 - 50 = 10

sin [(π / 12) × (t-8)] = 1

Nous savons que Sen π / 2 = 1, donc l'argument du sein doit être 1:

(π / 12) × (t-8) = π / 2

T-8 = 6

t = 14 h

Il est conclu que 14 heures après minuit, la température est de 60 °, c'est-à-dire le 2 heures. Il n'y a pas d'autre heure tout au long de la journée (24 heures) dans laquelle cela se produit.

Solution C

La température maximale correspond à la valeur dans laquelle Sen [(π / 12) × (t-8)] = 1 et est 60 ºF. D'un autre côté, le minimum se produit si Sen [(π / 12) × (t -8)] = -1 et est 40 ºF.

Les références

1. Figuera, J. 1999. Mathématiques. 1er. Diversifié. Éditions collégiales bolivariennes.
2. Hoffman, J. Sélection de problèmes de mathématiques. Volume 4.
3. Jiménez, R. 2008. Algèbre. Prentice Hall.
4. Les mathématiques sont amusantes. Cercle d'unité. Récupéré de: de: Mathsisfun.com.
5. Wikipédia. Identités et formules de trigonométrie. Récupéré de: est.Wikipédia.org.
6. Zill, D. 1984. Algèbre et trigonométrie. McGraw Hill.