Coordonnées sphériques Exemples et exercices résolus

Le coordonnées sphériques Ils sont un système d'emplacement point dans l'espace à trois dimensions constitué d'une coordonnée radiale et de deux coordonnées angulaires appelées coordonnées polaires et coordonnées azimutales.

Dans la figure 1, que nous voyons ci-dessous, les coordonnées sphériques (r, θ, φ) d'un point m sont représentées. Ces coordonnées sont référées à un système orthogonal des axes cartésiens x, y, z d'origine ou.

Figure 1. Coordonnées sphériques (r, θ, φ) à partir d'un point m. (Wikimedia Commons)

Dans ce cas, la coordonnée R du point M est la distance de ce point à l'origine ou. La coordonnée polaire θ représente l'angle entre le semi-axe positif Z et le rayon vecteur om. Tandis que la coordonnée azimutale φ est l'angle entre le semi-axe positif x et le rayon du vecteur om ', étant m' la projection orthogonale de m sur le plan xy.

La coordonnée radiale r ne prend que des valeurs positives, mais si un point est situé à l'origine, alors r = 0. La coordonnée polaire θ prend comme une valeur minimale 0º pour les points situés sur le semi -trib positif. Enfin, la coordonnée azimutale φ prend en tant que valeur minimale de 0 ° et un niveau maximum à 360 °.

0 ≤ r < ∞

0 ≤ θ ≤ 180º

0 ≤ φ  < 360º

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Changement de coordonnées

Ensuite, les formules qui permettent aux coordonnées cartésiennes (x, y, z) d'un point m seront données, en supposant les coordonnées sphériques de même (r, θ, φ):

x = r sen (θ) cos (φ)

y = r sen (θ) sin (φ) 

z = r cos (θ)

De la même manière, il est utile de trouver les relations pour se déplacer des coordonnées cartésiennes (x, y, z) d'un point donné aux coordonnées sphériques de ce point:

R = √ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)

θ = arcan (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)

Peut vous servir: variable aléatoire discrète

φ = arctan (y / x)

Base vectorielle dans les coordonnées sphériques

D'après les coordonnées sphériques, une base oronormale de vecteurs de base est définie, qui est désignée par Ur, Uθ, Uφ. La figure 1 montre ces trois vecteurs unitaires, qui ont les caractéristiques suivantes:

- Ur C'est le vecteur unitaire tangent à la ligne radiale θ = CTTE et φ = CTTE;

- Uθ Il s'agit du vecteur tangent unitaire à l'arc φ = CTTE et r = CTTE;

- Uφ C'est le vecteur unitaire tangent à arc r = ctte et θ = ctte.

Éléments de ligne et de volume dans les coordonnées sphériques

La position vectorielle d'un point dans l'espace dans les coordonnées sphériques est écrite comme celle-ci:

r = r Ur

Mais une variation ou un déplacement infinitésimal d'un point dans l'espace à trois dimensions, dans ces coordonnées, il est exprimé par la relation vectorielle suivante:

dr = DR Ur + r dθ Uθ + r Sen (θ) Dφ Uφ

Enfin, un DV de volume infinitésimal dans les coordonnées sphériques est écrit comme ceci:

dv = r ^ 2 sin (θ) dr dθ dφ

Ces relations sont très utiles pour le calcul des intégrales de ligne et du volume dans des situations physiques qui ont une symétrie sphérique.

Relation avec les coordonnées géographiques

Les coordonnées géographiques sont entendues qu'elles servent à localiser des endroits à la surface de la Terre. Ce système utilise les coordonnées de latitude et de la longueur pour localiser la position à la surface de la Terre.

Dans le système de coordonnées géographiques, la surface de la Terre est supposée.

Figure 2. Longueur α et β latitude d'un observateur à la surface de la Terre.

La latitude β est un angle formé par un rayon qui commence du centre de la terre au point que vous voulez positionner. Il est mesuré à partir du plan équatorial, comme le montre la figure 2. D'un autre côté, la longueur α est l'angle que le méridien du point qui place la forme par rapport au zéro méridien (connu sous le nom de Greenwich Meridian).

Peut vous servir: valeur relative

La latitude peut être la latitude nord ou sud, selon que l'endroit situé se trouve dans l'hémisphère nord ou dans l'hémisphère sud. De même, la longueur peut être à l'ouest ou celle-ci selon que l'emplacement est à l'ouest ou à l'est du zéro méridien.

Formules pour passer de la géographique à

Pour obtenir ces formules, la première chose est d'établir un système de coordonnées. Le plan XY est choisi coïncidant avec le plan équatorial, étant le demi-axe positif qui va du centre de la terre et à travers le zéro méridien. À son tour, l'axe et passe à 90 ° et méridien. La surface de la Terre a une radio RT.

Avec ce système de coordonnées, les transformations géographiques à sphériques sont ainsi:

αeβn → (RT, θ = 90º-β, φ = α)

αOβn → (RT, θ = 90º-β, φ = 360º-α)

αeβ → (RT, θ = 90º + β, φ = α)

αOβS → (RT, θ = 90º + β, φ = 360º-α) 

Exemples

Exemple 1

Les coordonnées géographiques de Palma de Majorque (Espagne) sont:

Longueur est 38 847º et nord latitude 39 570º. Pour déterminer les coordonnées sphériques correspondant à Palma de Majorque, la première des formules des formules de section précédente est appliquée:

38 847ºE39,570ºN → (r = 6371 km, θ = 90º-39,570º, φ = 38,847º)

Ensuite, les coordonnées sphériques sont:

Palma de Majorque: (r = 6371 km, θ = 50,43º, φ = 38,85º)

Dans la réponse précédente, R égal au rayon moyen de la Terre a été pris.

Exemple 2

Sachant que les îles Falkland (Falkland) ont des coordonnées géographiques 59ºo 51,75ºs, déterminez les coordonnées polaires correspondantes. N'oubliez pas que l'axe x va du centre de la terre au méridien de 0º et sur le plan équatorial; l'axe y également dans le plan équatorial et à travers le méridien à 90 est ouest; Enfin l'axe z sur l'axe de la rotation terrestre dans la direction du sud-nord.

Peut vous servir: Curtosis: définition, types, formules, à quoi sert, par exemple

Pour ensuite trouver les coordonnées sphériques correspondantes, nous utilisons les formules présentées dans la section précédente:

59ºO 51,75ºS → (r = 6371 km, θ = 90º + 51,75º, φ = 360º-59º)

Malvinas: (r = 6371 km, θ = 141,75º, φ = 301º)

Exercices

Exercice 1

Trouvez les coordonnées cartésiennes de Palma de Majorque dans le système de référence Cartesiano XYZ illustré à la figure 2.

Solution: Auparavant, dans l'exemple 1, les coordonnées sphériques ont été obtenues sur la base des coordonnées géographiques de Palma de Majorque. Afin que les formules présentées ci-dessus puissent être utilisées pour passer de la sphérique aux cartesiens:

x = 6371 km Sen (50,43º) cos (38,85º)

Y = 6371 km Sen (50,43º) Sen (38,85º) 

Z = 6371 km cos (50,43º)

La réalisation des calculs correspondants est:

Palma de Majorque: (x = 3825 km, y = 3081 km, z = 4059)

Exercice 2

Trouvez les coordonnées cartésiennes des îles Falkland dans le système de référence Cartesiano XYZ illustré à la figure 2.

Solution: Auparavant, dans l'exemple 2, les coordonnées sphériques ont été obtenues sur la base des coordonnées géographiques des îles Falkland. Afin que les formules présentées ci-dessus puissent être utilisées pour passer de la sphérique aux cartesiens:

x = 6371 km Sen (141,75º) cos (301º)

y = 6371 km Sen (141,75º) Sen (301º) 

Z = 6371 km cos (141,75º)

La réalisation des calculs correspondants est obtenu:

Îles Falkland: (x = 2031 km, y = -3381 km, z = -5003)

Les références

1. Arfken G et Weber H. (2012). Méthodes mathématiques pour les physiciens. Un guide complet. 7e édition. Presse universitaire. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Calcul CC. Coordonnées cylindriques et sphériques résolues. Récupéré de: calcul.Dc
3. Atelier d'astronomie. Latitude et longitude. Récupéré de: Taux.Blogspot.com /
4. Weisstein, Eric W. «Coordonnées sphériques.”De Mathworld-A Wolfram Web. Récupéré de: Mathworld.Wolfram.com
5. Wikipédia. Système de coordonnées sphériques. Récupéré de: dans.Wikipédia.com
6. Wikipédia. Champs vectoriels en coordonnées cylindriques et sphériques. Récupéré de: dans.Wikipédia.com