Coordonnées rectangulaires Exemples et exercices résolus

Le Coordonnées rectangulaires o Les cartésiens sont ceux qui sont obtenus lorsqu'ils sont projetés orthogonalement sur les trois axes cartésiens x, y, z Un point situé dans l'espace à trois dimensions.

Les axes cartésiens sont mutuellement perpendiculaires droits. Dans le système de coordonnées cartésiennes, trois nombres réels qui sont ses coordonnées rectangulaires sont affectés à chaque point de l'espace.

Figure 1. Coordonnées rectangulaires du point P (propre élaboration)

Un avion est un sous-espace d'espace à trois dimensions. En cas d'examen des points sur un avion, il suffit de choisir une paire de haches perpendiculaires x, et comme système cartésien. Puis à chaque point de l'avion, deux nombres réels lui sont affectés que ses coordonnées rectangulaires sont.

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Origine des coordonnées rectangulaires

Les coordonnées rectangulaires ont été initialement proposées par le mathématicien français René Descartes (1596 et 1650), c'est pourquoi ils reçoivent la dénomination des Cartesiens.

Avec cette idée de Descartes, les points du plan et de l'espace se voient attribuer des nombres, de sorte que les chiffres géométriques ont associé une équation algébrique et les théorèmes géométriques classiques peuvent être démontrés algébriquement. Avec les coordonnées cartésiennes, la géométrie analytique est née.

L'avion cartésien

Si sur un plan, deux lignes perpendiculaires sont choisies qui se croisent à un point ou; Et si chaque ligne se voit attribuer une direction et une échelle numérique entre les points équidistants successifs, il y a alors un système ou un plan cartésien dans lequel chaque point du plan est associé à une paire ordonnée de deux nombres réels qui sont respectivement ses projections sur le axes x et y.

Points a = (3, 2); B = (-2, 3); C = (-2, -3) et d = (3, -3) sont représentés dans le plan cartésien comme indiqué ci-dessous:

Figure 2. Points sur l'avion cartésien. (Élaboration propre)

Notez que les deux axes x et y divisent le plan en quatre secteurs appelés quadrants. Le point A est dans le premier quadrant, le B dans le deuxième quadrant, le C dans le troisième quadrant et le point D du quatrième quadrant.

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Distance entre deux points

La distance entre deux points A et B du plan cartésien est la longueur du segment qui les unit. Cette distance peut être calculée analytiquement comme suit:

D (a, b) = √ (bx - ax) ^ 2 + (par - ay) ^ 2)

La formule antérieure est obtenue en appliquant le théorème de Pythagore.

Appliquer cette formule aux points A, B de la figure 2 est:

D (a, b) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)

C'est-à-dire que d (a, b) = 5,10 unités. Notez que la distance a été obtenue sans avoir besoin de mesurer avec une règle, une procédure complètement algébrique a été suivie.

Expression analytique d'une ligne

Les coordonnées rectangulaires permettent la représentation analytique d'objets géométriques fondamentaux tels que le point et la ligne. Deux points A et B définissent une seule ligne. La pente de la ligne est définie comme le quotient entre la différence de coordonnées et le point B moins, divisé par la différence dans les coordonnées x du point b moins le a:

en attente = (par - ay) / (bx - ax)

Un point de coordonnées (x, y) qui appartient à la ligne (AB) doit avoir la même pente:

en attente = (y - ay) / (x - ax)

L'équation obtenue par l'égalité des pentes est la représentation analytique ou algébrique de la ligne qui passe par les points A et B:

(y - ay) / (x - ax) = (par - ay) / (bx - ax).

Si vous êtes pris pour A et B, les coordonnées rectangulaires de la figure 2 sont:

(Y - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)

(y - 2) / (x - 3) = -⅕

Dans ce cas particulier, il y a une ligne avec une pente négative -⅕, ce qui signifie que celle située sur un point de la ligne et augmentant la coordonnée X dans une unité, la coordonnée et diminue en 0,2 unités. 

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La façon la plus habituelle d'écrire l'équation de la ligne dans le plan est avec la coordonnée et claire en fonction de la variable x:

y = - (1/5) x + 13/5 

Exemples

Exemple 1

Obtenir par méthodes analytiques la distance entre les points C et A, étant les coordonnées rectangulaires de C = (-2, -3) et celles de a = (3,2).

La formule de la distance euclidienne entre ces deux points est écrite comme celle-ci:

D (a, c) = √ ((cx - ax) ^ 2 + (cy - ay) ^ 2)

Remplacement de ses coordonnées rectangulaires correspondantes que vous avez:

D (a, c) = √ (-2-3) ^ 2 + (-3-2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7,07

Exemple 2

Obtenez l'équation de la ligne qui passe par le point C des coordonnées (-2, -3) et le point P des coordonnées (2, 0).

Tout d'abord, la pente de la ligne CP est obtenue:

en attente = (0 - (-3)) / (2 - (- 2)) = ¾ 

Un point Q des coordonnées rectangulaires génériques (x, y) qui appartient à la ligne CP doit avoir la même pente:

en attente = (y - (-3)) / (x - (- 2)) = (y +3) / (x +2)

C'est-à-dire que l'équation de la ligne CP est:

(Y +3) / (x +2) = ¾

Une autre façon d'écrire l'équation de la ligne CP est la compensation et:

y = ¾ x - 3/2 

Exercices résolus

Exercice 1

Obtenez les coordonnées rectangulaires du point d'intersection entre les lignes y = - (1/5) x + 13/5 et la ligne y = ¾ x - 3/2.

Solution: par définition, le point d'intersection des deux lignes partage les mêmes coordonnées rectangulaires. Par conséquent, les coordonnées et au point d'intersection sont identiques pour les deux lignes:

-(1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2

Ce qui mène à l'expression suivante:

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(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2

La résolution de la somme des fractions est obtenue:

19/20 x = 41/10

Effacement x:

x = 82/19 = 4,32

Pour obtenir la valeur et l'intersection, la valeur X obtenue dans l'une des lignes est remplacée:

y = ¾ 4,32 - 3/2 = 1,74

Cela signifie que les lignes données sont interceptées au point I des coordonnées I = (4,32; 1,74).

Exercice 2

Obtenez l'équation de circonférence qui passe par le point de coordonnées rectangulaires R (3, 4) et qui a un centre à l'origine des coordonnées.

Solution: Radio R est la distance du point R à l'origine ou des coordonnées (0, 0).

d (r, o) = √ ((rx - 0) ^ 2 + (ry - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

C'est-à-dire qu'il s'agit d'un rayon 5 cercle 5 centré sur (0,0).

Un point p (x, y) de la circonférence doit avoir la même distance 5 au centre (0, 0) pour ce qui peut être écrit:

D (p, o) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

C'est-à-dire:

√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

Pour éliminer la racine carrée, les deux membres de l'égalité sont laissés tranquillement:

x ^ 2 + y ^ 2 = 25

Quelle est l'équation de circonférence.

Avec cet exemple, la puissance du système de coordonnées rectangulaires est illustrée, ce qui permet de déterminer les objets géométriques, tels que la circonférence sans avoir besoin d'utiliser du papier, du crayon et de la boussole. La circonférence demandée uniquement par les méthodes algébriques a été déterminée.

Les références

1. Arfken G et Weber H. (2012). Méthodes mathématiques pour les physiciens. Un guide complet. 7e édition. Presse universitaire. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Calcul CC. Les coordonnées rectangulaires ont résolu les problèmes. Récupéré de: calcul.Dc
3. Weisstein, Eric W. "Coordonnées cartésiennes.”De Mathworld-A Wolfram Web. Récupéré de: Mathworld.Wolfram.com
4. Wikipédia. Système de coordonnées cartésiennes. Récupéré de: dans.Wikipédia.com