Historique constant de Boltzmann, équations, calcul, exercices

La Boltzmann constante C'est la valeur qui relie l'énergie cinétique moyenne d'un système thermodynamique ou d'un objet avec la température absolue de la même. Bien qu'ils soient souvent confus, la température et l'énergie ne sont pas le même concept.

La température est une mesure d'énergie, mais pas l'énergie elle-même. Avec la constante de Boltzmann, l'une est liée les unes aux autres comme suit:

ET_c = (3/2) k_B  T

Hôte de Boltzmann à Vienne. Source: Dadotet at English Wikipedia [CC BY-SA 3.0 (http: // CreativeCommons.Org / licences / by-sa / 3.0 /]]

Cette équation est valable pour une molécule de gaz monoatomique idéale m, où ET_c C'est son énergie cinétique donnée dans Joules, k_B C'est la constante de Boltzmann et T C'est la température absolue à Kelvin.

De cette façon, lorsque la température augmente, l'énergie cinétique moyenne par molécule de substance augmente également, comme prévu pour se produire. Et l'inverse se produit lorsque la température diminue, étant capable d'atteindre le point où le mouvement entier cesse, la température la plus basse possible ou absolue est atteinte.

Lorsque vous parlez d'énergie cinétique moyenne, il est nécessaire de se rappeler que l'énergie cinétique est associée au mouvement. Et les particules peuvent se déplacer de plusieurs manières, par exemple en mouvement, en tournant ou en vibrant. Bien sûr, tous ne le feront pas de la même manière, et comme ils sont d'innombrables, alors la moyenne est prise pour caractériser le système.

Certains états d'énergie sont plus susceptibles que d'autres. Ce concept est d'une importance radicale dans la thermodynamique. L'énergie considérée dans l'équation précédente est l'énergie cinétique de la traduction. De la probabilité des États et de leur relation avec la constante de Boltzmann parler un peu plus tard.

En 2018, le Kelvin a été redéfini et avec lui la constante de Boltzmann, qui dans le système international est d'environ 1.380649 x 10^-23 J. K^-1. Beaucoup plus de précision peut être obtenue pour la constante de Boltzmann, qui a été déterminée dans de nombreux laboratoires du monde entier, par différentes méthodes.

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Histoire

La célèbre constante doit son nom au physicien Ludwig Boltzmann (1844-1906), né à Vienne, qui a consacré sa vie en tant que scientifique à l'étude du comportement statistique des systèmes avec de nombreuses particules, du point de vue de la mécanique newtonienne.

Bien qu'aujourd'hui l'existence de l'atome soit universellement acceptée, au XIXe siècle, la conviction de savoir si l'atome existait vraiment ou était un artifice avec lequel de nombreux phénomènes physiques ont été expliqués étaient en plein débat.

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Boltzmann était un fort défenseur de l'existence de l'atome, et en son temps, il a fait face à de sévères critiques de son travail de nombreux collègues, qui considéraient qu'ils contenaient des paradoxes insolubles.

Il a déclaré que des phénomènes observables aux niveaux macroscopiques pouvaient être expliqués à travers les propriétés statistiques des particules constituantes telles que les atomes et les molécules.

Cette critique peut être due à l'épisode profond de la dépression qui l'a amené à se suicider début septembre 1906, alors qu'il avait encore beaucoup à faire, car il était considéré comme l'un des grands physiciens théoriques de son temps et là était peu avec cela que d'autres scientifiques contribueront à corroborer la véracité de leurs théories.

Cela ne s'est pas produit longtemps après sa mort lorsque de nouvelles découvertes sur la nature de l'atome et ses particules constituantes seraient ajoutées pour donner la raison à Boltzmann.

Les œuvres de Boltzmann et de Planck

Maintenant, la constante de Boltzmann k_B Il a été introduit comme il est connu aujourd'hui un peu après les travaux du physicien autrichien. C'était Max Planck, dans sa loi de l'émission du corps noir, une œuvre qu'il a présentée en 1901, qui à l'époque lui donnait la valeur de 1,34 x 10²³ J / k.

En 1933, Boltzmann a été ajouté à Vienne en tant qu'affiche Hommage une plaque avec la définition de l'entropie impliquant la célèbre constante: S = k_B bûche w, équation qui sera discutée plus tard.

Aujourd'hui, la constante de Boltzmann est indispensable dans l'application des lois thermodynamiques, de la mécanique statistique et de la théorie de l'information, dont ce physicien avec une fin triste était un pionnier.

Valeur et équations

Les gaz peuvent être décrits en termes macroscopiques et également en termes microscopiques. Pour la première description, il existe des concepts tels que la densité, la température et la pression.

Cependant, il faut se rappeler qu'un gaz est composé de nombreuses particules, qui ont une tendance globale à un certain comportement. C'est cette tendance qui est mesurée macroscopiquement. Une façon de déterminer la constante de Boltzmann est grâce à l'équation bien connue des gaz idéaux:

p.V = n. R. T

Ici p C'est la pression de gaz, V C'est son volume, n C'est le nombre de moles présentes, R C'est la constante des gaz et T C'est la température. Dans une mole de gaz idéal, la relation suivante entre le produit est remplie p.V, et l'énergie cinétique de la traduction K L'ensemble entier est:

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p.V = (2/3). K

Par conséquent, l'énergie cinétique est:

K = (3/2) n.R.T

En divisant par le nombre total de molécules présentes, qui seront appelées N, l'énergie cinétique moyenne d'une seule particule est obtenue:

ET_c = K / n

ET_c= (3 / 2n) n.R.T

Dans une mol, il y a le nombre de particules n_POUR, Et donc le nombre total de particules est N = nnA, séjournant:

ET_c = (3/2nn_POUR) n.R.T

Précisément le quotient R / n_POUR C'est la constante de Boltzmann, démontré que l'énergie cinétique de la traduction moyenne d'une particule dépend uniquement de la température absolue et non d'autres amplitudes telles que la pression, le volume ou même le type de molécule:

ET_c = (3/2) k_B. T

La constante et l'entropie de Boltzmann

Un gaz a une température donnée, mais cette température peut correspondre à différents états d'énergie interne. Comment visualiser cette différence?

Considérez le lancement simultané de 4 pièces et les façons dont ils peuvent tomber:

Façons dont 4 pièces peuvent tomber. Source: auto-faite

L'ensemble de pièces peut assumer un total de 5 États, qui sont considérés Macroscopique, décrit dans la figure. Lequel de ces États le lecteur dirait que c'est le plus probable?

La réponse doit être l'état de 2 faces et 2 croix, car elle a un total de 6 possibilités, des 16 illustrés sur la figure. Et 2⁴ = 16. Ceux-ci sont équivalents aux États microscopique.

Et si 20 pièces sont lancées à la place de 4? Il y aurait un total de 2^vingt possibilités ou "états microscopiques". C'est un nombre beaucoup plus grand et plus difficile à gérer. Pour faciliter la gestion de grands nombres, les logarithmes sont très appropriés.

Maintenant, ce qui semble évident, c'est que l'État avec le plus grand trouble est le plus probable. Les états les plus ordonnés comme 4 faces ou 4 timbres sont un peu moins probables.

L'entropie d'un état macroscopique est définie comme:

S = k_B ln w

Où W C'est le nombre d'états microscopiques possibles et k_B C'est la constante de Boltzmann. Comme ln w Il est sans dimension, l'entropie a les mêmes unités que k_B: Joule / K.

Ceci est la célèbre équation de la pierre tombale de Boltzmann à Vienne. Cependant, plus que l'entropie, le pertinent est le changement de celui-ci:

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ΔS = k_B ln w₂ - k_B ln w₁ = k_B ln (w₂/ w₁)

Comment K est-il calculé_B?

La valeur de la constante de Boltzmann est obtenue expérimentalement précisément avec des mesures basées sur thermométrie acoustique, qui sont réalisés en utilisant la propriété qui établit la dépendance à la vitesse du son dans un gaz avec la température du même.

En effet, la vitesse du son dans un gaz est donnée par:

Où b _adiabatique C'est le module de compressibilité adiabatique donné par:

B_adiabatique = γp

Et ρ est la densité de gaz. Pour l'équation précédente, p C'est la pression du gaz en question et γ Il s'agit du coefficient adiabatique, dont la valeur pour un gaz spécifique se trouve dans les tableaux.

Les instituts de métrologie connaissent également d'autres façons de mesurer la constante, comme Thermométrie de bruit Johnson, qui utilise les fluctuations thermiques qui se produisent au hasard dans les matériaux, en particulier chez les conducteurs.

Exercices résolus

-Exercice 1

Trouver:

a) L'énergie cinétique de la traduction moyenne ET_c qui a une molécule de gaz idéale à 25 ºC

b) L'énergie cinétique de la traduction K des molécules en 1 mol de ce gaz

c) La vitesse moyenne d'une molécule d'oxygène à 25 ºC

Fait

m_oxygène = 16 x 10 ^-3 kg / mol

Solution

pour) ET_c = (3/2) k t = 1.5 x 1.380649 x 10^-23J. K^-1 x 298 K = 6.2 x 10^-vingt-et-un J

b) K = (3/2) n.R.T = 5 x 1 mol x 8.314 J / mol .K x 298 K = 3716 J

c) ET_c = ½ mV², Compte tenu du fait que la molécule d'oxygène est diatomique et que la masse molaire doit être multipliée par 2, ce sera:

-Exercice 2

Trouvez le changement d'entropie lorsque 1 mol de gaz occupé avec un volume de 0.5m³ Il s'étend pour occuper 1 m³.

Solution

ΔS = k_B ln (w₂/ w₁)

W₂= 2^NW₁ (Il y en avait 2⁴ États microscopiques pour le lancement des 4 pièces, rappelez-vous?)

Où n est le nombre de particules présentes dans 0.5 mol de gaz 0.5 x n_POUR:

ΔS = k_B LN (2^N W₁/ w₁) = k_B ln 2^N= k_B 0.5n_POUR ln 2 = 2.88 J / K

Les références

1. Atkins, P. 1999. Chimie physique. Éditions Omega. 13-47.
2. Bauer, w. 2011. Physique pour l'ingénierie et les sciences. Volume 1. Mc Graw Hill. 664-672.
3. Giancoli, D.  2006. Physique: principes avec applications. 6e ... Ed Prentice Hall. 443 -444.
4. Sears, Zemansky. 2016. Physique universitaire avec physique moderne. 14e. Élégant. Volume 1. 647-673.
5. Si la redéfinition. Kelvin: Boltzmann constante. Récupéré de: nist.Gouvernement