Analyse dimensionnelle

Qu'est-ce que l'analyse dimensionnelle?

Il analyse dimensionnelle Il s'agit d'un outil largement utilisé dans différentes branches de la science et de l'ingénierie pour mieux comprendre les phénomènes qui impliquent la présence de différentes amplitudes physiques. Les amplitudes ont des dimensions et à partir de celles-ci, les différentes unités de mesure sont dérivées.

L'origine du concept de dimension se trouve dans le mathématicien français Joseph Fourier, qui est celui qui l'a inventé. Fourier a également compris que, pour que deux équations soient comparables, elles doivent être homogènes en ce qui concerne leurs dimensions. C'est-à-dire que vous ne pouvez pas ajouter de mètres avec des kilogrammes.

Ainsi, l'analyse dimensionnelle est responsable de l'étude des amplitudes, des dimensions et de l'homogénéité des équations physiques. Par conséquent, il est fréquemment utilisé pour vérifier les relations et les calculs, ou pour construire des hypothèses sur des problèmes complexes qui, plus tard, peuvent être expérimentés expérimentalement.

De cette façon, l'analyse dimensionnelle est un outil parfait pour détecter les erreurs dans les calculs lors de la vérification de la congruence ou de l'incongruité des unités qui y sont utilisées, en particulier en se concentrant sur les unités des résultats finaux.

De plus, une analyse dimensionnelle est utilisée pour projeter des expériences systématiques. Il permet de réduire le nombre d'expériences nécessaires, ainsi que de faciliter l'interprétation des résultats obtenus.

L'une des bases fondamentales de l'analyse dimensionnelle est qu'il est possible.

Grandeur fondamentale et formule dimensionnelle

En physique, les amplitudes fondamentales sont considérées comme exprimées à d'autres en fonction de ces. Par convention, les éléments suivants ont été choisis: la longueur (l), le temps (t), la masse (m), l'intensité du courant électrique (i), la température (θ), l'intensité lumineuse (j) et le quantité de substance (n).

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Au contraire, le reste est considéré comme des amplitudes dérivées. Certains d'entre eux sont: la zone, le volume, la densité, la vitesse, l'accélération, entre autres.

Il est défini comme une formule dimensionnelle pour l'égalité mathématique qui présente la relation entre une ampleur dérivée et le fondamental.

Techniques d'analyse dimensionnelle

Il existe plusieurs techniques ou méthodes d'analyse dimensionnelle. Deux des plus importants sont les suivants:

Méthode Rayleight

Rayleight, qui était avec Fourier l'un des précurseurs de l'analyse dimensionnelle, a développé une méthode directe et très simple qui vous permet de réaliser des éléments sans dimension. Dans cette méthode, les étapes suivantes sont suivies:

1. La fonction potentielle de la variable dépendante est définie.
2. Chaque variable est changée en ses dimensions correspondantes.
3. Les équations des conditions d'homogénéité sont établies.
4. Les N-PS incognites sont fixes.
5. Les exposants qui ont été calculés et fixés dans l'équation potentiel sont remplacés.
6. Les groupes variables se déplacent pour définir les nombres sans dimension.

Méthode de Buckingham

Cette méthode est basée sur le théorème de Buckingham ou le théorème PI, qui indique ce qui suit:

S'il existe une relation au niveau dimensionnel homogène entre un nombre "n" de magnitudes physiques ou variables où différentes dimensions fondamentales sont incluses, il existe également une homogénéité dimétraine entre la relation N-P, des groupes indépendants sans dimension.

Principe d'homogénéité dimensionnelle

Le principe de Fourier, également connu sous le nom de principe de l'homogénéité dimensionnelle, affecte la bonne structuration des expressions qui relient les amplitudes physiques algébriquement.

Ceci est un principe qui a une cohérence mathématique et affirme que la seule option est de soustraire ou d'ajouter les grandeurs physiques qui sont de la même nature. Par conséquent, il n'est pas possible d'ajouter une masse avec une longueur, ou un temps avec une surface, etc.

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De même, le principe indique que, pour que les équations physiques soient correctes au niveau dimensionnel, les termes totaux des membres des deux côtés de l'égalité doivent avoir la même dimension. Ce principe permet de garantir la cohérence des équations physiques.

Principe de similitude

Le principe de la similitude est une extension du caractère d'homogénéité au niveau dimensionnel des équations physiques. Il est indiqué comme suit:

Les lois physiques restent sans variation face au changement des dimensions (taille) d'un fait physique dans le même système d'unités, que ce soit des changements réels ou imaginaires.

L'application la plus claire du principe de similitude se produit dans l'analyse des propriétés physiques d'un modèle réalisé à plus petite échelle, pour utiliser plus tard les résultats dans l'objet à la taille réelle.

Cette pratique est fondamentale dans des champs tels que la conception et la fabrication d'avions et de navires et dans les grands travaux hydrauliques.

Applications d'analyse dimensionnelle

Parmi les nombreuses applications de l'analyse dimensionnelle, celles énumérées ci-dessous peuvent être mises en évidence ci-dessous.

• Localiser les erreurs possibles dans les opérations effectuées
• Résoudre des problèmes dont la résolution présente une difficulté mathématique insurmontable.
• Concevoir et analyser des modèles à échelle réduite.
• Faire des observations sur la façon dont les modifications possibles influencent un modèle.

De plus, l'analyse dimensionnelle est utilisée assez fréquemment dans l'étude de la mécanique des fluides.

La pertinence de l'analyse dimensionnelle dans la mécanique des fluides est due à la difficulté d'établir des équations dans certains flux ainsi que de la difficulté de les résoudre, il est donc impossible d'atteindre des relations empiriques. C'est pourquoi il est nécessaire d'aller à la méthode expérimentale.

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Exercices résolus

Premier exercice

Trouvez l'équation dimensionnelle de la vitesse et de l'accélération.

Solution

Puisque v = s / t, il est vrai que: [v] = l / t = l ∙ t^-1

Pareillement:

A = v / t

[a] = l / t² = L ∙ t^-2

Deuxième exercice

Déterminer l'équation dimensionnelle de la quantité de mouvement.

Solution

Étant donné que la quantité de mouvement est le produit entre la masse et la vitesse, il est accompli que p = m ∙ v

Pourtant:

[p] = m ∙ l / t = m ∙ l ∙ t^-2