Variable aléatoire discrète

Nous expliquons quelle est une variable aléatoire discrète, ses caractéristiques, nous donnons des exemples et résolvons des exercices

Qu'est-ce qu'une variable aléatoire discrète?

Ongle variable aléatoire discrète C'est une valeur numérique obtenue au hasard, à la suite d'une expérience et qui ne prend que des valeurs finies ou comptables. Cela signifie que, compte tenu de deux valeurs consécutives de la variable, il n'y a pas de valeur intermédiaire entre eux.

Des exemples de variables discrètes sont le nombre de pétales d'une fleur, combien de visages (ou de croix) sont simultanément deux pièces, le nombre de membres ou d'enfants d'une famille, un nombre de personnes vivant dans une maison et bien d'autres.

Dans tous les cas, les résultats de la réalisation de l'expérience sont comptables. Une variable aléatoire appelée «x = nombre d'enfants d'une famille» peut être définie, et cette variable peut prendre des valeurs 0, 1, 2, 3…

Ainsi, pour un cas général, une variable aléatoire discrète est identifiée par:

X = x₁, X₂, X₃... X_k

Où x₁, X₂, X₃... sont les résultats possibles de l'expérience.

Il est souvent intéressé à connaître la probabilité d'occurrence de chacun de ces résultats possibles, indiqué:

p₁ = P (x = x₁)

p₂ = P (x = x₂)
.
.
.

Et ainsi de suite pour chaque valeur x. L'indice «i» varie de 1 à k: i = 1,2,3… k.

Cette liste, qui contient les probabilités de chaque résultat possible de l'expérience, est appelée distribution de probabilité soit fonction de probabilité, à condition que la variable aléatoire soit numérique, la probabilité de chaque événement se situe entre 0 et 1 et la somme de toutes les probabilités est égale à 1.

Exemples de Variables aléatoires discrètes

Les variables aléatoires discrètes sont toujours numériques et comptables. Ils mesurent généralement le nombre de fois qu'un événement se produit, par exemple:

• Nombre d'appels reçus par un centre d'appels sur un après-midi.
• Montant des dépôts bancaires effectués en une seule journée.
• Lancez un dés et lisez le numéro qui apparaît sur la face supérieure.
• Nombre de visages qui sortent lors du lancement de deux devises identiques.
• Les étudiants qui ont approuvé l'examen de l'algèbre I, sélectionné au hasard parmi un groupe de 100 étudiants en ingénierie d'une université.
• Membres adultes d'un troupeau d'éléphants dans une réserve africaine.
• Nombre d'enfants par famille dans une certaine ville.
• Les gens assistent à une fonction de film de minuit.
• Nombre de voitures qui passent par un péage sur une autoroute.

Peut vous servir: produit Cruz

Valeurs entières et fractionnaires

Toutes les variables aléatoires discrètes mentionnées prennent des valeurs entières. Cependant, des variables aléatoires discrètes peuvent être définies avec des valeurs fractionnaires, par exemple, la variable aléatoire F donnée par:

F = Fraction des pièces défectueuses en choisissant au hasard 50 éléments de beaucoup

Les valeurs possibles sont les suivantes:

• Aucune pièce défectueuse n'est trouvée: F₁= 0
• Seulement 1 pièce défectueuse de 50: F₂= 1/50 = 0.02
• Deux pièces défectueuses se trouvent dans 50: F₃= 2/50 = 0.04
• Et ainsi de suite, jusqu'à ce que le cas dans lequel les 50 pièces choisies sont mauvaises: F₅₁ = 50/50 = 1

Exercices résolus

Exercice 1: Identifier les variables aléatoires discrètes

Ils ont les variables aléatoires données par:

X = Nombre de tremblements de terre par an, se sont produits dans une certaine zone géographique

Y = longueur exacte du pied humain

Z = taille des chaussures adultes

R = durée d'un appel à un Centre d'appel

Sont toutes des variables aléatoires discrètes? Justifier la réponse.

Solution

Les variables X et Z sont discrètes, car le nombre de tremblements de terre en un an est un montant comptable. En revanche, les tailles de chaussures sont finies, la numérotation peut varier selon le pays, par exemple 6, 6.5, 7 ..., mais c'est aussi un montant fini.

D'un autre côté, la longueur exacte du pied humain peut prendre n'importe quelle valeur. Par exemple, entre deux personnes dont la mesure du pied 23.5 et 23.8 cm, il est toujours possible d'en trouver un autre dont la mesure du pied, disons 23.6 cm. Ce type de variable est également aléatoire, mais continue.

Quant au temps qui dure un appel téléphonique, ce n'est pas une variable discrète, car il y a des valeurs infinies entre deux fois t₁ et T₂ durée.

Peut vous servir: nombres entiers

Exercice 2: deux pièces simultanées

Une expérience consiste à lancer simultanément deux devises identiques, pour lesquelles la variable aléatoire x = nombre de faces est définie. Trouver:

a) Les valeurs que X prend.

b) la distribution des probabilités

Solution à

Les résultats possibles de l'expérience sont les suivants: aucun visage (deux timbres), ongle visage et un joint, un joint et une visage Et enfin, deux visages.

Nier le visage comme C et le sceau comme S, les résultats sont résumés comme suit:

Ω = (s, s); (C, s); (S, c); (Dc)

Cet ensemble est connu comme le espace d'échantillon.

Par conséquent, la variable aléatoire X prend les valeurs: 0 (pas de visage), 1 (une face dans les deux pièces) et 2 (elle était coûteuse dans les deux pièces). Étant donné que les résultats sont comptables, la variable, en plus du hasard, est discrète:

X = 0,1,2

Solution B

Lorsqu'une pièce de monnaie est lancée, si honnête, le visage soit joint Ils ont la même chance de partir, égal à ½. Par conséquent, si deux pièces sont lancées simultanément, car les résultats sont indépendants, car les pièces ne s'influencent pas, la probabilité d'obtenir deux côtés (ou deux croix) multiplient les probabilités de chaque événement.

Si deux croix sont obtenues, cela signifie qu'aucun visage n'est sorti:

P (2 croix = 0 faces) = p (x = 0) = ½ ∙ ½ = ¼

D'un autre côté, la probabilité de la combinaison CS ou SC est la somme des deux probabilités favorables:

P (1 face) = p (x = 1) = ¼ + ¼ = ½

Enfin, la probabilité d'obtenir deux faces est:

P (2 faces) = P (x = 2) = ½ ∙ ½ = ¼

Notez que cette distribution de probabilité répond aux exigences stipulées au début:

La probabilité de chaque événement se situe entre 0 et 1.

En ajoutant les trois probabilités, 1: ¼ + ½ + ¼ = 1

Peut vous servir: vecteurs colinéaux L'histogramme montre la distribution de probabilité pour le lancement de deux devises identiques. Dans l'axe horizontal, la variable aléatoire est placée, le centre de la barre correspond à la valeur de la variable. Et dans l'axe vertical, la probabilité est placée, dans ce cas, le pourcentage. Source: F. Zapata.

Exercice 3: DVous jetez un dés équilibré

Une expérience consiste à lancer un dés équilibré deux fois. La variable aléatoire définie est:

X = nombre de fois un 1 sort

a) Énumérez les résultats possibles de l'expérience et déterminez les valeurs de la variable aléatoire.

b) Trouvez votre distribution de probabilités.

Solution à

Comme il s'agit d'un dés équilibré, tous les faces ont la même probabilité de partir, et comme les dés sont un cube à six faces, cette probabilité est égale à 1/6.

Les résultats possibles de l'expérience peuvent être synthétisés comme suit:

• Vous n'en obtenez pas 1 ou une fois: x₁= 0
• Le 1 ne sort qu'une seule fois: x₂= 1
• Les deux lancements sont 1: x₃= 2

Par conséquent, la variable aléatoire x est discrète et a trois valeurs:

X = 0,1,2

Solution B

Quant à la distribution des probabilités de cette variable, la première chose est de remarquer que l'ensemble de tous les résultats possibles se compose de 36 paires, qui composent l'espace d'échantillonnage:

Ω = (1,1), (1.2), (1.3)… (1.6); (2,1), (2,2), (2,3); (3,1), (3,2), (3,3); (4.1), (4,2)… (4.6); (5,1), (5,2)… (5.6); (6,1), (6.2)… (6.6)

-Maintenant, ces paires sont comptées dans lesquelles un 1 n'est pas obtenu:

X₁ = (X = 0) = (2,2), (2,3)… (2,6); (3,2), (3,3)…; (4.2), (4,3)…; (5,2), (5.3)…; (6.2), (6.3)…

Au total, il y a 25 paires, dans lesquelles le 1 ne sort pas, par conséquent, la probabilité d'obtenir l'un de ces pairs est:

p₁ = P (x = 0) = 25/36

-Ensuite, les pairs dans lesquels 1 n'apparaît qu'une seule fois:

X₂ = (X = 1) = (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (3,1) ( 4.1), (5.1), (6,1)

Il y a donc 10 paires:

p₂ = P (x = 1) = 10/36 = 5/18

-Enfin, il n'y a qu'un seul couple dans lequel 1 sort deux fois: (1,1). Ensuite:

p₃ = P (x = 2) = 1/36