Trinôme

Un trinôme est un polynôme avec trois termes. Source: F. Zapata.

Qu'est-ce qu'un trinôme?

Un trinomial est un polynôme qui se compose de la somme indiquée de trois termes différents, c'est-à-dire qu'il est construit algébriquement trois monomiaux de degrés différents, soit une ou plusieurs variables. Ce sont des polynômes très courants en algèbre.

Quelques exemples de trinomiaux sont les suivants:

• X² + 5x - 3 (grade 2)
• x- x² - 6x³  (Trinôme de la 3e année)
• -7xy² + 4x²y - x³ (Trinôme du degré absolu 3, grade 3 en x et grade 2 en y)

Les premier et deuxième de ces trinomiaux sont d'une seule variable, dans ce cas la variable "x", tandis que le troisième trinomial est deux variables "x" et "y".

Exemples de trinomiaux

Il existe plusieurs types de trinomiaux qui sont présentés dans de nombreuses applications, parmi lesquelles sont:

Trinôme carré parfait

Un trinôme carré parfait est obtenu lors du développement du carré d'une somme ou du carré d'une différence en termes. Les deux développements sont connus sous le nom produits remarquables.

Tout d'abord, vous avez le carré de la somme: (a + b)². Lorsque vous développez cette expression, vous obtenez:

(A + B)² = (a + b) × (a + b) = a² + A ∙ b + b ∙ a + b²

Les deux termes centraux sont identiques et sont réduits à 2A ∙ B, donc:

(A + B)² = A² + 2a ∙ b + b²

Le trinôme A² + 2a ∙ b + b² contient deux carrés parfaits: un² et B², tandis que le terme restant est égal au double produit des deux termes du binôme d'origine.

Le carré d'une différence est un trinôme similaire à celui précédent, à l'exception d'un signe négatif qui affecte le double produit des termes du binôme d'origine:

(UN B)² = (a - b) × (a - b) = a² - a ∙ b - b ∙ a + b²

Encore une fois, les termes similaires sont réduits à un seul terme et il est obtenu que:

Peut vous servir: théorème de moivre

(UN B)² = A² - 2a ∙ b + b²

Il n'est plus possible de réduire le résultat.

Ces produits notables et facilement mémorisables associent un trinôme carré parfait au carré du binôme correspondant, par exemple:

• (x - 5)² = x² - 10 ∙ x + 25
• (2y + 3)² = 4Y² + 12 ∙ Y + 9

Il convient de noter que tous les trinomiaux carrés parfaits ne sont pas une variable ou une année 2. Voici des exemples de ce type de trinomiaux avec deux variables et plus et également avec différents degrés de 2:

• (x + y)² = x² + 2 ∙ xy + et²
• (2Z² + et)² = 4Z⁴ + 4 ∙ Z²et + et²
• (5xy³ - z)² = 25x²et⁶ - 10 xy³z + z²

Trinôme de la forme x² + bx + c

Dans ce trinôme, un seul des termes est un carré parfait, dans ce cas, c'est x² et son coefficient numérique est 1. Le terme b⋅x suivant est linéaire et le dernier terme est le terme indépendant. Des exemples de ce type de trinomiaux sont:

• X² +  5 ∙ x + 6 (b = 5; c = 6)
• et² - 4 ∙ y + 3 (b = −4; c = 3)
• m² - 12 ∙ m + 11 (b = −12; c = 11)

Trinôme de la forme de hache² + bx + c

Il ressemble aux précédents, sauf que le coefficient du terme quadratique est différent de 1, comme dans ces trinomiaux:

• 3x² - 5 ∙ x - 2 (a = 3; b = −5; c = −2)
• 6 ans² +  7 ∙ y + 2 (a = 6; b = 7; c = 2)
• 2m² + 29 ∙ m + 90 (a = 2; b = 29; c = 90)

Factorisation trinomiale

Une opération algébrique très fréquente est la factorisation trinomiale, qui consiste à les écrire comme le produit de différents facteurs de 1. Il existe des procédures spécifiques pour chacun des trinomiaux décrits.

Factorisation trinomiale carrée parfaite

Ils peuvent être factorisés par inspection à partir de produits notables:

(A + B)² = A² + 2a ∙ b + b²

(UN B)² = A² - 2a ∙ b + b²

Les étapes pour prendre en compte un trinôme carré parfait sont:

1.- Vérifiez que le trinomial contient deux carrés parfaits pour² et B², Les deux termes doivent être précédés du même signe, généralement le signe +. Si les deux sont précédés d'un signe - cela peut être facteur sans problème.

Peut vous servir: trinôme carré parfait

2.- Déterminez les valeurs de A et B en extrayant la racine carrée de A² et B².

3.- Corroborer que le troisième terme est le double produit de A et B.

Factorisation trinomiale de la forme x² + bx + c

Il s'agit du trinomial avec un terme quadratique unique, pour le faire en tenant compte comme le produit binomial:

X² + Bx + c = (x + r) ∙ (x + s)

Où r et s sont deux nombres à déterminer.

Notez que lors du développement du côté droit, via une propriété distributive, elle est obtenue:

(x + r) ∙ (x + s) = x² + S ∙ x + r ∙ x + r ∙ s = x² + (R + s) ∙ x + r ∙ s

Ainsi, pour que cette expression reflète le trinôme d'origine, les nombres u et v doivent répondre aux conditions suivantes:

R ∙ s = c
R + s = b

Quelques trinomiaux de la forme x² + Bx + c n'admettez pas la factorisation par cette méthode, mais ils peuvent être facteurs à l'aide de la formule générale ou de la formule de solvant.

Factorisation trinomiale de la forme de hache² + bx + c

Une procédure pour prendre en compte ce type de trinomiales est:

1. Multipliez et divisez le trinôme par le coefficient "A"
2. Faire le produit entre "un" et le premier et le troisième terme du trinôme, laissant le produit sans faire le deuxième terme.
3. La procédure décrite dans la section précédente est appliquée au trinomial, c'est-à-dire qu'elle est écrite comme le produit de deux binomiaux, mais dans ce cas, le premier terme de chaque binôme n'est pas "x", mais "a ∙ x".
4. Deux n nombres R et S sont recherchés que A ∙ C = R ∙ S et aussi R + S = B
5. Enfin, les binômes qui sont, voir l'exercice résolu 3 sont simplifiés autant que possible.

Exercices résolus

Exercice 1

Trouvez le trinôme qui se traduit lors du développement du produit remarquable suivant: (4x - 3y)²

• Solution

La formule de produit notable pour le carré d'une différence est appliquée, ce qui entraîne:

Il peut vous servir: coordonnées rectangulaires: exemples et exercices résolus

(4x - 3y)² = (4x)² - 2 ∙ 4x ∙ 3y + (3y)² = 16x² - 24 ∙ xy + 9y²

Exercice 2

Fait le trinôme suivant:

X² +  5x + 6

• Solution

C'est un trinôme de la forme x² + Bx + c, avec b = 5 et c = 6, vous pouvez donc essayer de prendre en compte la procédure décrite ci-dessus. Pour ce faire, vous devez trouver deux nombres R et S qui se multiplient sont obtenus 6 et ajoutés en 5:

R ∙ s = 6 et r + s = 5.

Les nombres recherchés sont r = 3 et S = 2, car ils remplissent ces conditions par conséquent:

X² +  5x + 6 = (x + 3) (x + 2)

Il est laissé comme un exercice pour le lecteur pour vérifier que le développement du côté droit est facilement atteint au trinôme d'origine.

Exercice 3

Factoriser 3x² - 5x - 2.

• Solution

Ceci est un trinôme de la forme de hache² + bx + c, avec a = 3, b = −5 et c = −2. Le processus est:

-Multiplier et diviser par a = 3:

Faire le produit de «A» pour le premier et le troisième terme, laissant le produit indiqué avec le deuxième terme:

Vous devez maintenant écrire les deux produits binomiaux, dont le premier terme est 3X et recherchez deux nombres R et S tels que:

• Lorsqu'il est multiplié en −6
• Et lorsqu'il est ajouté algébriquement, il est obtenu −5

Ces nombres sont r = −6 et s = 1:

Enfin, le produit binomial résultant est simplifié:

Exercices proposés

Facteur des trinomiaux suivants: ²

1. x² - 14x + 49
2. P² + 12pq + 36q²
3. 12x² - x - 6
4. Z² + 6Z + 8

Les références

1. Baldor. 1977. Algèbre élémentaire. Éditions culturelles vénézuéliennes.
2. Jiménez, R. 2008. Algèbre. Prentice Hall.
3. Stewart, J. 2006. Précaulement: mathématiques pour le calcul. 5e. Édition. Cengage Learning.
4. Zill, D. 1984. Algèbre et trigonométrie. 1er. Édition. McGraw Hill.
5. Zill, D. 2008. Précculement avec avancées de calcul. 4e. Édition. McGraw Hill.