Triangle isocèle

Le triangle isocèle a deux côtés égaux et un différent

Qu'est-ce qu'un triangle isocèle?

UN triangle isocèle C'est un polygone à trois faces, où deux d'entre eux ont la même mesure et le troisième côté une mesure différente. Ce dernier côté s'appelle la base. En raison de cette caractéristique, ce nom a été donné, ce qui signifie en grec "égaux les jambes".

Les triangles sont des polygones considérés comme les plus simples en géométrie, car ils sont formés par trois côtés, trois angles et trois sommets. Ce sont eux qui ont le moins de côtés et d'angles par rapport aux autres polygones, mais leur utilisation est très étendue.

Caractéristiques des triangles isocèles

Le triangle isocèle a été classé en utilisant la mesure de ses côtés comme paramètre, car deux de ses côtés sont congruents, c'est-à-dire qu'ils ont la même longueur.

Selon l'amplitude des angles internes, les triangles isocèles sont classés comme:

• Triangle rectangle isocèle: Deux de ses côtés sont les mêmes. Un de ses angles est droit (90^soit) Et les autres sont les mêmes (45^soit chacun)
• Triangle isocèle obtus: Deux de ses côtés sont les mêmes. Un de ses angles est obtus (> 90^soit).
• Triangle isocèle acutangle: Deux de ses côtés sont les mêmes. Tous ses angles sont aigus (< 90^soit), Où deux ont la même mesure.

Composants

• La médiane: C'est une ligne qui part du point médian d'un côté et atteint le sommet opposé. Les trois médiums assistent à un point appelé baricentro ou centroïde.
• La bissectrice: C'est un semi-droit qui divise l'angle de chaque sommet en deux angles de mesure égale. C'est pourquoi il est connu sous le nom d'axe de symétrie, et ce type de triangles n'en a qu'un.
• Le MediaTrix: C'est un segment perpendiculaire au côté du triangle, qui provient au milieu de ce. Il y a trois médiass dans un triangle et assister à un point appelé Circumcentro.
• L'hauteur: C'est la ligne qui va du sommet au côté qui est opposé et que cette ligne est perpendiculaire à ce côté. Tous les triangles ont trois hauteurs, qui coïncident à un point appelé Ortocenter.

Propriétés des triangles isocèles

Les triangles isocèles sont définis ou identifiés car ils ont plusieurs propriétés qui les représentent, provenant des théorèmes proposés par les grands mathématiciens:

Angles internes

La somme des angles internes est toujours égal à 180^soit.

Somme des côtés

La somme des mesures de deux côtés doit toujours être supérieure à la mesure du troisième côté, A + B> C.

Côtés congruents

Les triangles isocèles ont deux côtés avec la même mesure ou la même longueur; c'est-à-dire qu'ils sont congruents, et le troisième côté est différent de ceux-ci.

Angles congruents

Les triangles isocèles sont également connus sous le nom de triangles isoangulaires, car ils ont deux angles qui ont la même mesure (congruente). Ceux-ci sont situés à la base du triangle, opposés aux côtés qui ont la même longueur.

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Pour cette raison, le théorème qui établit cela:

"Si un triangle a deux côtés congruents, les angles opposés à ces parties seront également congruents". Par conséquent, si un triangle est isocèle, les angles de ses bases sont congruents.

Exemple:

Dans la figure suivante, un triangle ABC est observé. Lorsque vous tirez sa bissectrice du sommet de l'angle B à la base, le triangle est divisé en deux triangles BDA et BDC:

Bissectrice qui se divise en deux triangles égaux au triangle isocèle

De cette façon, l'angle de sommet B a également été divisé en deux angles égaux. La bissectrice est désormais le côté commun (BD) entre ces deux nouveaux triangles, tandis que les côtés AB et BC sont les côtés congrus. C'est le cas du côté, de l'angle, du côté (LAL).

Cela montre que les angles des sommets A et C ont la même mesure, ainsi qu'il peut être démontré que comme les triangles BDA et BDC sont congruents, les côtés AD et DC sont également.

La hauteur, la médiane, la média et la bissector sont coïncidentes

La ligne tracée du sommet opposé à la base au milieu de la base du triangle isocèle, est en même temps la hauteur, la médiane et le médiat, ainsi que la bissectrice par rapport à l'angle opposé de la base.

Tous ces segments coïncident dans celui qui les représente.

Exemple:

Dans la figure suivante, le triangle ABC est observé avec un point M moyen qui divise la base en deux segments BM et CM.

La hauteur, la médiane, la média et la bissector sont coïncidentes

Lors du dessin d'un segment du point M au sommet opposé, par définition, la médiane AM est obtenue, qui est relative au sommet A et au côté BC.

Comme le segment AM divise le triangle ABC en deux triangles égaux Amb et AMC, cela signifie que le cas du côté, de l'angle, du côté, et donc AM sera également la bissectrice de Bâc.

C'est pourquoi la bissectrice sera toujours égale à la médiane et vice versa.

Le segment AM forme des angles qui ont la même mesure pour les triangles AMB et AMC; c'est-à-dire qu'ils sont supplémentaires, afin que la mesure de chacun soit:

Médicament. (Amb) + med. (AMC) = 180^soit

2 _* Médicament. (AMC) = 180^soit

Médicament. (AMC) = 180^soit ÷ 2

Médicament. (AMC) = 90^soit

On peut savoir que les angles formés par le segment AM concernant la base du triangle sont droits, indiquant que ce segment est totalement perpendiculaire à la base.

Par conséquent, il représente la hauteur et le MediaTrix, sachant que m est le point médian.

Par conséquent, la ligne AM:

• Représente la hauteur de la Colombie-Britannique.
• Est de taille moyenne.
• Il est contenu dans la BC MediaTrix.
• C'est la bissectrice de l'angle du sommet -

Hauteurs relatives

Les hauteurs qui sont par rapport aux côtés égaux ont la même mesure également.

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Comme le triangle isocèle a deux côtés égaux, ses deux hauteurs respectives seront également les mêmes.

Orocentro, Baricentro, Incentro et Colecentro Coinside

Comme la hauteur, la médiane, la bissectrice et le média liées à la base sont représentées en même temps par le même segment, l'orthocentre, le barcentro, l'incentre et le circoncentro seront des points colinéaires, c'est-à-dire qu'ils se trouvent dans la même ligne:

Ortocenter, Baricentro, Incentro et Circumcentro sont également coïncidents

Calcul des triangles isocèles

Comment calculer le périmètre?

Le périmètre d'un polygone est calculé par la somme des côtés.

Comme dans ce cas, le triangle isocèle a deux côtés avec la même mesure, son périmètre est calculé avec la formule suivante:

P = 2_*(côté a) + (côté b).

Comment calculer la hauteur?

La hauteur est la ligne perpendiculaire à la base, divise le triangle en deux parties égales en s'étendant au sommet opposé.

La hauteur représente le Cateto inverse (A), la moitié de la base (b / 2) au côté Cateto adjacent et le côté «A» représente l'hypoténuse.

Calcul de la hauteur d'un triangle isocèle

À l'aide du théorème de Pythagore, la valeur de la hauteur peut être déterminée:

pour² + b² = c²

Où:

pour² = hauteur (h).

b² = B / 2.

c² = côté a.

Remplacer ces valeurs dans le théorème de Pythagore et effacer la hauteur que vous avez:

H² + (b / 2)² = pour²

H² + b² / 4 = pour²

H² = pour² - b² / 4

H = √ (pour² - b² / 4).

Si l'angle formé par les côtés congruents est connu, la hauteur peut être calculée avec la formule suivante:

Comment calculer la zone?

Les triangles sont toujours calculés avec la même formule, multipliant la base par hauteur et divisant par 2:

Il y a des cas où seules les mesures de deux côtés du triangle sont connues et l'angle qui se forme entre eux. Dans ce cas, pour déterminer la zone, il est nécessaire d'appliquer les raisons trigonométriques:

Comment calculer la base du triangle?

Comme le triangle isocèle a deux côtés égaux, pour déterminer la valeur de sa base, il est nécessaire de connaître au moins la mesure de la hauteur ou l'un de ses angles.

Connaissant la hauteur, le théorème de Pythagore est utilisé:

pour² + b² = C²

Où:

pour² = hauteur (h).

c² = côté a.

b² = B / 2, est inconnu.

Nous effacons B² de la formule et nous devons:

b² = A² - c²

B = √ a² - c²

Comme cette valeur correspond à la moitié de la base, elle doit être multipliée par 2 pour obtenir la mesure complète de la base du triangle isocèle:

b = 2 _* (√ A² - c²)

Dans le cas où seule la valeur de ses côtés égaux et l'angle entre eux est connu, la trigonométrie est appliquée, trace une ligne du sommet à la base qui divise le triangle isocèle en deux triangles de rectangles.

De cette façon, la moitié de la base est calculée avec:

La valeur de la hauteur et de l'angle du sommet qui s'oppose à la base est également connue. Dans ce cas, par trigonométrie, la base peut être déterminée:

Exercices

Premier exercice

Trouvez la zone du triangle ABC isocèle ABC, sachant que deux de ses côtés mesurent 10 cm et le troisième côté mesure 12 cm.

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Solution

Pour trouver la zone du triangle, c'est nécessaire.

Les données du triangle isocèle suivantes sont disponibles:

• Côtés égaux (a) = 10 cm.
• Base (b) = 12 cm.

Les valeurs sont remplacées dans la formule:

Deuxième exercice

La longueur des deux côtés égaux d'un triangle isocèle mesure 42 cm, l'union de ces côtés forme un angle de 130^soit. Déterminez la valeur du troisième côté, la zone de ce triangle et le périmètre.

Solution

Dans ce cas, les mesures des côtés et de l'angle sont connues entre ces.

Pour connaître la valeur du côté manquant, c'est-à-dire que la base de ce triangle, une ligne perpendiculaire à elle est dessinée, divisant l'angle en deux parties égales, une pour chaque triangle rectangle qui est formé.

• Côtés égaux (a) = 42 cm.
• Angle (ɵ) = 130^soit

Maintenant, par trigonométrie, la valeur de la moitié de la base est calculée, ce qui correspond à la moitié de l'hypoténuse:

Pour calculer la zone, il est nécessaire de connaître la hauteur de ce triangle, qui peut être calculée par trigonométrie ou par le théorème de Pythagore, maintenant que la valeur de la base était déjà déterminée.

Par trigonométrie sera:

Le périmètre est calculé:

P = 2_*(côté a) + (côté b).

P = 2_* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Troisième exercice

Calculez les angles internes du triangle isocèle, sachant que l'angle de base est «= 55^soit

Solution

Pour trouver les deux angles manquants (Ê et ô), il est nécessaire de se souvenir de deux propriétés des triangles:

• La somme des angles internes de chaque triangle sera toujours = 180^soit:

 + Ê + ô = 180 ^soit

• Dans un triangle isocèle, les angles de la base sont toujours congruents, c'est-à-dire qu'ils ont la même mesure, donc:

 = ô

Ê = 55^soit

Pour déterminer la valeur de l'angle Se, les valeurs des autres angles dans la première règle sont remplacées et est effacée:

55^soit + 55^soit + Ô = 180 ^soit

110 ^soit + Ô = 180 ^soit

Ô = 180 ^soit - 110 ^soit

Ô = 70 ^soit.

Les références

1. Álvarez, e. (2003). Éléments de géométrie: avec de nombreux exercices et géométrie de la boussole. Université de Medellin.
2. Álvaro Rendón, à. R. (2004). Dessin technique: cahier d'activité.
3. Angel, un. R. (2007). Algèbre élémentaire. Pearson Education.
4. Arthur Goodman, L. H. ( mille neuf cent quatre vingt seize). Algèbre et trigonométrie avec géométrie analytique. Pearson Education.
5. Baldor, un. (1941). Algèbre. Havane: culture.
6. José Jiménez, L. J. (2006). Mathématiques 2.
7. Tuma, J. (1998). Manuel de mathématiques d'ingénierie. Wolfram Mathworld.