Propriétés, relations et formules isocèles de Trapecio, exemples

UN trapèze isocèle C'est un quadrilatère dans lequel deux des côtés sont parallèles les uns aux autres et aussi, les deux angles adjacents à l'un de ces côtés parallèles ont la même mesure.

Dans la figure 1, vous avez le quadrilatère ABCD, dans lequel les côtés AD et BC sont parallèles. De plus, les angles ∠dab et ∠ADC adjacents à la MA latérale parallèle ont la même mesure α. 

Figure 1. Trapènes isoscèles. Source: F. Zapata.

Ainsi, ce polygone quadrilatère, ou à quatre côtés, est, en fait, un trapézoïde isocèle.

Dans un trapèze, les côtés parallèles sont appelés bases et les non-parallels sont appelés latéral. Une autre caractéristique importante est le hauteur, qui est la distance qui sépare les côtés parallèles.

En plus du trapèze isocèle, il existe d'autres types de trapèze:

-TRapicio Escaleno, qui a tous ses différents angles et côtés.

-TRapicio rectangle, dans lequel un côté a des angles adjacents droits.

La forme trapézoïdale est fréquente dans divers domaines de conception, d'architecture, d'électronique, de calcul et bien d'autres, comme on le verra plus tard. D'où l'importance de se familiariser avec ses propriétés.

[TOC]

Propriétés

Trapèze isoscèle exclusif

Si un trapèze est isocèle, répond aux propriétés caractéristiques suivantes:

1.- Les côtés ont la même mesure.

2.- Les angles adjacents aux bases sont les mêmes.

3.- Les angles opposés sont supplémentaires.

4.- Les diagonales ont la même longueur, la même étant les deux segments qui unissent les sommets opposés.

5.- L'angle formé entre les bases et les diagonales est tous de la même mesure.

6.- Il a circonscrit la circonférence.

Réciproquement, si un trapèze rencontre l'une des propriétés précédentes, alors c'est un trapèze isocèle.

Si dans un trapézoïde isocèle, l'un des angles est droit (90º), alors tous les autres angles seront également, formant un rectangle. C'est-à-dire qu'un rectangle est un cas particulier de trapézoïde isocèle.

Figure 2. Le conteneur de maïs Palomites et les tables scolaires ont la forme d'Isosceles. Source: Pxfuel (à gauche) / McDowell Craig via Flickr. (droite)

Pour tous les trapézoïdes

L'ensemble de propriétés suivant est valable pour tout trapèze:

7.- La médian du trapèze, c'est-à-dire le segment qui rejoint les points médians de ses côtés non parallèles, est parallèle à l'une des bases.

8.- La longueur de la médiane est égale au semi-same (somme divisée par 2) de celle de ses bases.

9.- La médiane d'un trapèze coupe ses diagonales au milieu.

dix.- Les diagonales d'un trapèze se croisent à un point qui les divise en deux sections proportionnelles aux quotients des bases.

onze.- La somme des carrés des diagonales d'un trapèze est égale à la somme des carrés de ses côtés plus le double produit de ses bases.

Il peut vous servir: combien de millièmes s'adaptent-ils dans un dixième?

12.- Le segment qui rejoint les points mi-diagonaux a une longueur égale à la semi-référence des bases.

13.- Les angles adjacents aux côtés sont supplémentaires.

14.- Un trapèze a une circonférence enregistrée si et seulement si la somme de ses bases est égale à la somme de ses côtés.

quinze.- Si un trapèze a une circonférence enregistrée, alors les angles avec sommet au centre de ladite circonférence et des côtés passant par les extrémités du même côté, sont des angles droits.

Relations et formules

L'ensemble suivant de relations et de formules est renvoyé à la figure 3, où en plus du trapèzoïde isoscèle d'autres segments importants déjà mentionnés, tels que les diagonales, la hauteur et le milieu.

figure 3. Médian, diagonales, hauteur et circonférence circonscrites dans un trapézoïde isocèle. Source: F. Zapata.

Relations exclusives de l'isocèle Trapecio

1.- Ab = dc = c = d

2.- ∡dab = ∡cda et ∡abc = ∡bcd

3.- ∡dab + ∡bcd = 180º et ∡cda + ∡abc = 180º

4.- BD = AC

5.- ∡cad = ∡bda = ∡cbd = ∡bca = α₁

6.- A, B, C et D appartiennent à la circonférence circonscrite.

Relations pour tout trapézoïde

7. Si ak = kb et dl = lc ⇒ kl || AD et KL || avant JC

8.- Kl = (ad + bc) / 2

9.- Am = mc = ac / 2 et dn = nb = db / 2

dix.- Ao / oc = ad / bc y do / ob = ad / bc

onze.- CA² + Db² = Ab² + Dc² + 2⋅ad⋅bc

12.- Mn = (ad - bc) / 2

13.- ∡dab + ∡abc = 180º et ∡cda + ∡bcd = 180º

14.- Si AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R quelle équidiste de AD, BC, AB et DC

quinze.- Si ∃ r quelle équidiste de AD, BC, AB et DC, alors:

∡bra = ∡drc = 90º

Relations trapézoïdes isocèles avec la circonférence enregistrée

Si dans un trapèze isocèle, la somme des bases est égale au double d'un côté, alors il y a la circonférence enregistrée.

Figure 4. Trapèze avec circonférence enregistrée. Source: F. Zapata.

Les propriétés suivantes s'appliquent lorsque le trapèze isocèle a une circonférence enregistrée (voir la figure 4 ci-dessus):

16.- Kl = ab = dc = (ad + bc) / 2

17.- Les diagonales sont coupées à angle droit: AC ⊥ BD

18.- La hauteur est la même que la médiane: hf = kl, c'est-à-dire h = m.

19.- Le carré de la hauteur est égal au produit des bases: H² = BC⋅ad

vingt.- Dans ces conditions spécifiques, la zone de trapèze est égale au carré de la hauteur ou au produit des bases: zone = h² = BC⋅ad.

Formules pour déterminer un côté, connu les autres et un angle

Une base connue, le côté et un angle, l'autre base peut être déterminée par:

a = b + 2c cos α

B = a - 2c cos α

Si la longueur des bases est connue comme connue et un angle, les longueurs des deux côtés sont:

Il peut vous servir: Fermat Limit: ce qui consiste et les exercices résolus

C = (a - b) / (2 cos α)

Détermination d'un côté, connu les autres et une diagonale

A = (d₁² - c²) / B;

B = (d₁² - c²)/ pour 

C = √ (d₁² - A⋅b)

Où d₁ C'est la longueur des diagonales.

Base de la hauteur, de la zone et de l'autre base

a = (2 a) / h - b

b = (2 a) / h - a

Connu de retour les bases, la zone et un angle

C = (2a) / [(a + b) sin α]

La latérale connue la médiane, la zone et un angle

C = a / (m.sin α)

Hauteur connue des côtés

H = √ [4 c² - (UN B)²]]

Hauteur connue un angle et deux côtés

H = tg α⋅ (a - b) / 2 = c . Sin α

Diagonales connues tous les côtés, ou deux côtés et un angle

d₁ = √ (c²+ un B)

d₁ = √ (a²+ c² - 2 a c cos α)

d₁ = √ (b² + c²- 2 b c cos β)

Périmètre du triangle isocèle 

P = a + b + 2c

Zone trapézoïde isocèle

Il existe plusieurs formules pour calculer la zone, selon les données connues. Ce qui suit est le plus connu, selon les bases et la hauteur:

A = h⋅ (a + b) / 2

Et ces autres peuvent également être utilisés:

-Si les côtés sont connus

A = [(a + b) / 4] √ [4c² - (UN B)²]]

-Lorsque vous avez deux côtés et un angle

A = (b + c cos α) c sen α = (a - c cos α) c sen α

-Si le rayon de la circonférence enregistrée est connu et un angle

A = 4 r² / Sin α = 4 R² / Sin β

-Lorsque les bases et un angle sont connus

A = a⋅b / sin α = a⋅b / sen β 

-Si le trapèze peut être enregistré une circonférence

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2

-Connu les diagonales et l'angle qui se forment entre eux

A = (d₁²/ 2) Sen γ = (d₁² / 2) Sen δ 

-Quand tu as le côté, la médiane et un angle

A = MC.sin α = mc.Sen β

Radio circonscrit

Seuls les trapézoïdes isocèles ont une circonférence circonscrite. Si la base principale est connue, le côté C et la diagonale D₁, Ensuite, le rayon R de la circonférence qui passe à travers les quatre sommets du trapèze est:

R = a⋅c⋅d₁ / 4√ [p (p -a) (p -c) (p -d₁)]

Où p = (a + c + d₁) / 2

Exemples d'utilisation du trapézoïde isocèle

Le trapèze isocèle apparaît dans le domaine de la conception, comme le montre la figure 2. Et ici, nous avons quelques exemples supplémentaires:

En architecture et en construction

Les anciens Incas connaissaient le trapèze isocèle et l'ont utilisé comme élément de construction dans cette fenêtre de Cuzco, au Pérou:

Figure 5 . Fenêtre avec une forme trapézoïdale de la coricanchie, cuzco. Source: Wikimedia Commons.

Et ici le trapèzoïde apparaît à nouveau dans l'appel Draps trapézoïdal, Un matériau fréquemment utilisé dans la construction:

Figure 6. Feuille de métal trapézoïdal protégeant temporairement les fenêtres d'un bâtiment. Source: Wikimedia Commons.

En conception

Nous avons déjà vu que le trapèze isocèle apparaît dans des objets de tous les jours, des aliments inclusifs tels que cette barre de chocolat:

Figure 7. Bar à chocolat dont les visages ont la forme d'Isoscéles. Source: pxfuel.

Exercices résolus

- Exercice 1

Un trapèze isocèle est basé à 9 cm, à base de moins de 3 cm et ses diagonales 8 cm chacune. Calculer:

Il peut vous servir: équation générale de parabole (exemples et exercices)

de côté

b) hauteur

c) périmètre

d) ärea

Figure 8. Schéma d'exercice 1. Source: F. Zapata

Solution à

La hauteur CP = H est dessinée, où le pied de la hauteur définit les segments:

Pd = x = (a-b) / 2 et 

Ap = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.

À travers le théorème de Pythagore au Triangle du rectangle DPC:

c² = H² + (UN B)² / 4

Et aussi au triangle rectangulaire APC:

d² = H² + AP² = H² + (A + B)² / 4

Enfin, un membre est soustrait, la deuxième équation du premier et simplifie:

d² - c² = ¼ [(a + b)² - (UN B)²] = ¼ [(a + b + a-b) (a + b-a + b)]

d² - c² = ¼ [2a 2b] = a b

c²= D² - A b ⇒ c = √ (d² - a b) = √ (8² - 9⋅3) = √37 = 6,08 cm

Solution B

H² = D² - (A + B)² / 4 = 8² - (12² / 2² ) = 8² - 6² = 28

H = 2 √7 = 5,29 cm

Solution C

Périmètre = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2⋅6,083 = 24,166 cm

Solution d

Zone = h (a + b) / 2 = 5,29 (12) / 2 = 31,74 cm

- Exercice 2

Il y a un trapèze isocèle dont la base la plus grande est le double du mineur et sa plus petite base est égale à la hauteur, qui est de 6 cm. Déterminer:

a) Le côté du côté

b) périmètre

c) zone

d) angles

Figure 8. Schéma d'exercice 2. Source: F. Zapata

Solution à

Données: a = 12, b = a / 2 = 6 et h = b = 6

Nous procédons de cette manière: la hauteur H est dessinée et le théorème de Pythagore est appliqué au triangle hypoténuse "C" et Catetos H et X:

c² = H²+Xc²

Ensuite, vous devez calculer la valeur de hauteur à partir des données (h = b) et du Cateto X: 

a = b + 2 x ⇒ x = (a-b) / 2

Remplacement des expressions précédentes que vous avez:

c² = b²+(UN B)²/ 2²

Les valeurs numériques désormais sont introduites et simplifiées:

c² = 62+ (12-6) 2/4

c² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

Obtention:

C = 3√5 = 6,71 cm

Solution B

Le périmètre p = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61,42 cm

Solution C

La zone basée sur la hauteur et la longueur des bases est:

A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 cm²

Solution d

L'angle α qui forme le côté avec la base principale est obtenu par trigonométrie:

Tan (α) = h / x = 6/3 = 2

α = arctan (2) = 63,44º

L'autre angle, qui forme le côté avec la base mineure est β, qui est supplémentaire de α:

β = 180º - α = 180º - 63,44º = 116,56º

Les références

1. ET. POUR. 2003. Éléments de géométrie: avec des exercices et une géométrie de la boussole. Université de Medellin.
2. Campos, F. 2014. Mathématiques 2. Groupe éditorial de Patria.
3. Libéré, k. 2007. Découvrir les polygones. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. 2013. Polygones généralisés. Birkhäuser.
5. Iger. Mathématiques Premier semestre Tacaná. Iger.
6. JR. Géométrie. 2014. Polygones. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren et Hornsby. 2006. Mathématiques: raisonnement et applications. 10e.  Édition. Pearson Education.
8. Patiño, m. 2006. Mathématiques 5. Progreso éditorial.
9. Wikipédia. Trapèze. Récupéré de: est.Wikipédia.com