Caractéristiques paraboliques de la prise de vue, formules et équations, exemples

Il tir parabolique Il consiste à lancer un objet ou un projectile avec un certain angle et le laisser se déplacer sous l'action de la gravité. Si la résistance à l'air n'est pas prise en compte, l'objet, quelle que soit sa nature, suivra une trajectoire sous la forme d'une parabole.

C'est un mouvement quotidien, car parmi les sports les plus populaires se trouvent ceux dans lesquels des balles ou des balles sont lancées, soit à la main, avec le pied ou avec un instrument tel qu'une raquette ou une chauve-souris par exemple.

Figure 1. Le jet d'eau de la source ornementale suit une trajectoire parabolique. Source: Wikimedia Commons. Zátonyi Sandor (ifj.), Fizpped / cc by-sa (https: // CreativeCommons.Org / licences / by-sa / 3.0)

Pour l'étude, le tir parabolique est décomposé en deux mouvements qui se chevauchent: un horizontal sans accélération, et l'autre vertical avec une accélération constante, ce qui est la gravité. Les deux mouvements ont une vitesse initiale.

Disons que le mouvement horizontal prend. Chacun de ces mouvements est indépendant de l'autre.

Compte tenu du fait que la détermination de la position de projectile est les principaux objectifs, il est nécessaire de choisir un système de référence approprié. Les détails viennent ensuite.

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Formules et équations du tir parabolique

Supposons que l'objet soit lancé avec l'angle α par rapport à la vitesse horizontale et initiale V_soit Comme indiqué dans la figure ci-dessous à gauche. Le tir parabolique est un mouvement qui se déroule dans l'avion Xy Et dans ce cas, la vitesse initiale se décompose comme ceci:

V_bœuf = V_soit cos α

V_Oy = V_soit Sin α

Figure 2. À gauche, la vitesse initiale du projectile et à droite la position à tout moment du lancement. Source: Wikimedia Commons. Zátonyi Sandor, (ifj.) Fizpped / cc by-sa (https: // CreativeCommons.Org / licences / by-sa / 3.0).

La position de projectile, qui est le point rouge de la figure 2, image droite, a également deux composants qui dépendent du temps, un en X Et l'autre dans et. La position est un vecteur qui est désigné comme r et ses unités sont de longueur.

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Dans la figure, la position initiale du projectile coïncide avec l'origine du système de coordonnées, donc x_soit = 0, et_soit = 0. Ce n'est pas toujours le cas, l'origine peut être choisie n'importe où, mais ce choix simplifie beaucoup les calculs.

Quant aux deux mouvements de X et Y, ce sont:

-X (t): c'est un mouvement rectiligne uniforme.

-et (t): correspond à un mouvement rectiligne uniformément accéléré avec g = 9.8 m / s² et pointant verticalement.

Sous forme mathématique:

x (t) = v_soit cos α.t

et (t) = v_soit .Sin α.T - ½g.t²

Le vecteur de position reste:

r (t) = [V_soit cos α.t]Toi + [V_soit .Sin α.T - ½g.t²]] J

Dans ces équations, le lecteur attentif remarquera que le signe moins est dû au fait que la gravité pointe vers le sol, le sens choisi comme négatif, tandis que vers le haut, il est considéré comme positif.

Puisque la vitesse est la première dérivée de la position, il suffit de dériver r (t) concernant le temps et l'obtention:

V (t) = v_soit cos α Toi + (V_soit .Sin α - Gt) J

Enfin, l'accélération s'exprime - comme:

pour (t) = -g J

- Trajectoire, hauteur maximale, temps maximum et portée horizontale

Trajectoire

Pour trouver l'équation explicite de la trajectoire, qui est la courbe y (x), vous devez éliminer le paramètre de temps, effacer dans l'équation de x (t) et remplacer en y (t). La simplification est quelque peu laborieuse, mais elle est finalement obtenue:

Hauteur maximale

La hauteur maximale se produit lorsque V_et = 0. Sachant qu'il y a la prochaine relation entre la position et le carré de la vitesse:

figure 3. La vitesse dans le tir parabolique. Source: Giambattista, un. La physique.

V_et² = V_Oy ²- 2Gy

Action V_et = 0 Juste au moment où il atteint la hauteur maximale:

0 = V_Oy ²- 2 g.et_max → Et_max = V_Oy ²/ 2 g

Avec:

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V_Oy = V_soit Senα

Temps maximum

Le temps maximum est le temps que l'objet prend pour atteindre et_max. Pour le calculer, il est utilisé:

V_et = V_soit .Sin α - GT

Sachant que V_et C'est fait 0 quand t = t_max, résultat:

V_soit .Sin α - g.t_max = 0

t_max = V_Oy /g

Plage horizontale maximale et temps de vol

La portée est très importante, car elle indique où l'objet tombera. Nous saurons donc si cela donne ou non en blanc. Pour le trouver, nous avons besoin de temps de vol, de temps total ou t_V.

De l'illustration précédente, il est facile de conclure que t_V = 2.t_max. Mais l'attention n'est vraie que si le lancement est au niveau, c'est-à-dire que la hauteur du point de départ est la même que la hauteur de l'arrivée. Sinon, le temps résout l'équation du deuxième degré qui résulte du remplacement de la position finale et_final:

et_final = V_soit .Sin α.t_V - ½ g.t_V²

Dans tous les cas, la portée horizontale maximale est:

X_max = V_bœuf. t_V

Exemples de prise de vue parabolique

Le coup parabolique fait partie du mouvement des personnes et des animaux. Aussi de presque tous les sports et jeux où la gravité intervient. Par exemple:

Tir parabolique dans les activités humaines

-La pierre jetée par une catapulte.

-Le coup de pied de but du gardien de but.

-La balle qui lance le lanceur.

-La flèche qui sort de l'arc.

-Toutes sortes de sauts

-Jeter une pierre.

-Toute arme à lancer.

Figure 4. La pierre lancée par la catapulte et la balle Patey dans la boîte d'arrivée sont des exemples de coups de parabolisme. Source: Wikimedia Commons.

Le coup parabolique dans la nature

-L'eau poussant des jets naturels ou artificiels comme ceux d'une source.

-Des pierres et de la lave poussent d'un volcan.

-Une balle qui rebondit sur le trottoir ou une pierre qui le fait sur l'eau.

-Toutes sortes d'animaux qui sautent: kangourous, dauphins, gazelles, félines, grenouilles, lapins ou insectes, pour en mentionner quelques-uns.

Il peut vous servir: puissance mécanique: ce qui est, les applications, les exemplesFigure 5. L'Impala est capable de sauter jusqu'à 3 m. Source: Wikimedia Commons. Arturo de Frias Marques / CC By-S (https: // CreativeCommons.Org / licences / by-sa / 3.0).

Exercer

Une sauterelle formant un angle de 55 º avec l'horizontal et atterrit à 0.80 mètres plus tard. Trouver:

a) La hauteur maximale atteinte.

b) Si je sautions avec la même vitesse initiale, mais formant un angle de 45º, cela augmenterait-il?

c) Que peut dire de la portée horizontale maximale de cet angle?

Solution à

Lorsque les données fournies par le problème ne contiennent pas la vitesse initiale V_soit Les calculs sont un peu plus laborieux, mais à partir des équations connues, une nouvelle expression peut être déduite. À partir de:

X_max = V_bœuf . t_vol = V_soit.cos α. t_V

Quand il atterrit plus tard, la hauteur est à nouveau de 0, puis:

V_soit .Sin α.t_V - ½ g.t_V²= 0

Comme t_V C'est un facteur commun, il est simplifié:

V_soit .Sin α - ½ g.t_V= 0

On peut effacer t_V De la première équation:

t_V = x_max / V_soit.cos α

Et remplacer dans le second:

V_soit .Sin α - (½ g.X_max / V_soit.cos α) = 0

En multipliant tous les termes par V_soit.cos αL'expression ne modifie pas et le dénominateur disparaît:

(V_soit .Sin α.) (V_soit.cos α) - ½g.X_max = 0

V_soit² Sin α. cos α = ½ g.X_max

Peut déjà être effacé V_soit ou remplacez également l'identité suivante:

Sen 2α = 2 sen α. cos α → V_soit² Sen 2α = g.X_max

Se calcule V_soit²:

V_soit² = g.X_max / / Sen 2α = (9.8 x 0.8 / sen 110) m²/² = 8.34 m²/²

Et enfin la hauteur maximale:

et_max= V_Oy ²/ 2g = (8.34 x sen² 55) / (2 x 9.8) M = 0.286 M = 28.6 cm

Solution B

Le homard parvient à maintenir la même vitesse horizontale, mais lorsque l'angle diminue:

et_max= V_Oy ²/ 2g = (8.34 x sen² 45) / (2 x 9.8) M = 0.213 M = 21.3 cm

Atteint une plus petite hauteur.

Solution C

La portée horizontale maximale est:

X_max = V_soit² Sen 2a / g

Lorsque l'angle varie, la portée horizontale change également:

X_max = 8.3. 4 Sen 90 / 9.8  m = 0.851 M = 85.1 cm

Le saut est plus long maintenant. Le lecteur peut vérifier qu'il est maximum pour l'angle de 45 º alors:

sin 2α = sin 90 = 1.

Les références

1. Figueroa, D. 2005. Série: Physique pour la science et l'ingénierie. Volume 1. Cinématique. Édité par Douglas Figueroa (USB).
2. Giambattista, un. 2010. La physique. Deuxième édition. McGraw Hill.
3. Giancoli, D.  2006. Physique: principes avec applications. 6e. Ed Prentice Hall.
4. Resnick, r. 1999. Physique. Vol. 1. 3e édition. en espagnol. Société de rédaction continentale S.POUR. de c.V.
5. Sears, Zemansky. 2016. Physique universitaire avec physique moderne. 14e. Élégant. Volume 1.