Théorème du facteur d'explication, exemples, exercices

Il Théorème de facteur indique qu'un polynôme p (x) est divisible par un binôme de la forme (x - a) si x = a est une racine de p (x), c'est p (a) = 0. On dit qu'un polynôme est divisible parmi les autres lorsque son résidu ou son repos est nul.

Un polynôme est une expression de forme:

P (x) = a_n Xⁿ + pour_N-1 X^N-1 +… + A₁ x + a₀

Figure 1. Théorème de facteur. Source: F. Zapata.

Où:

-n est le degré de polynôme, étant le plus grand nombre entier auquel la variable indépendante x augmente,

-Valeurs A_n, pour_N-1 ,… + A₁ , pour₀ Ce sont les coefficients du polynôme, qui sont généralement des nombres réels, mais ils pourraient également être des nombres complexes.

Un polynôme de grade N peut se décomposer comme produit de binômes de forme:

(X - r_Toi)

Où r_Toi C'est la racine P (x) i-Alish:

P (x) = a_n (X - r₁) (X - r₂)… (X - r_n)

Puisque le nombre de racines d'un polynôme est égal au degré de même.

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Exemples

- Exemple 1

Considérez le polynôme par cas:

P (x) = 3⋅x² - 7⋅x + 2

Vous voulez savoir si ce polynôme est divisible par le binomial (x - 2). Si le théorème du facteur est utilisé, alors nous devons évaluer p (x = 2) pour savoir si la valeur 2 est une racine ou n'est pas. Nous procédons ensuite à l'évaluation de l'expression:

P (2) = 3⋅22 - 7⋅2 + 2 = 3⋅4 - 7⋅2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 12 - 12 = 0.

Il s'avère que x = 2 est p (x) racine, donc selon le théorème du facteur, le binomial (x - 2) est en effet un facteur de p (x).

Passons à la vérification directe, ce qui fait la division. Le détail de la façon dont la division est faite est illustré dans la figure suivante:

Figure 2.- Division polynomiale P (x) entre le X-2 binomial. Source: F. Zapata.

Il est vérifié que le quotient entre p (x) et (x -2) donne un polynôme d'un degré mineur appelé le quotient c (x) = 3⋅x - 1 avec résidu 0.

Peut vous servir: fonctions vectorielles

Nous pouvons résumer le résultat comme suit:

(3⋅x² - 7⋅x + 2) ÷ (x -2) = (3⋅x - 1) + 0

L'expression précédente peut être écrite d'une autre manière, se rappelant simplement que le dividende P (x) est égal au produit du diviseur (x -2) par le quotient (3⋅x - 1) plus le résidu (zéro dans ce cas ):

(3⋅x² - 7⋅x + 2) = (x -2) (3⋅x - 1) + 0

De cette façon, le polynôme p (x) (x), c'est-à-dire écrire comme produit de polynômes, le polynôme d'origine: le polynôme d'origine:

(3⋅x² - 7⋅x + 2) = (x -2) (3⋅x - 1)

- Exemple 2

Être le polynôme q (x) = x³ - x + 2. Vous voulez savoir s'il est divisible par le binomial (x + 1).

Le moyen le plus direct est simplement d'appliquer le théorème des facteurs. Dans ce cas, il vous suffit de vérifier si x = -1 annule ou non le polynôme Q (x).

Nous procédons en remplaçant:

Q (-1) = (-1)³ - (-1) + 2 = -1 + 1 + 2 = 2

Le résultat est différent de zéro, donc le théorème du facteur garantit que le polynôme q (x) n'est pas divisible entre (x + 1), puisque q (-1) ≠.

Maintenant, la division de Q (x) sera faite entre le binomial (x + 1) comme méthode de vérification de notre conclusion.

À cette occasion, la division sera effectuée par la méthode de la division synthétique, qui consiste à placer dans la ligne de première année supérieure de la première année tous les coefficients du polynôme, y compris les manquants, car ils n'ont aucun coefficient de coefficient.

Ensuite, dans la première colonne, le terme indépendant du diviseur est placé mais avec le signe modifié, dans notre cas, le diviseur est (x + 1). Son terme indépendant est 1, mais comme dans la première colonne, il est placé le signe modifié, c'est-à -1.

La figure suivante illustre comment la division synthétique est effectuée:

Peut vous servir: équations polynomialesfigure 3. Exemple de division synthétique polynomiale. Source: F. Zapata.

Avec ce résultat, il est prouvé que (x + 1) ce n'est pas un facteur de polynôme q (x) = x³ - x + 2 puisque le résidu n'est pas nul.

Cette conclusion n'est pas surpris, car elle avait déjà été prédite avec le théorème du facteur. Notez que lors du remplacement de x = -1 dans q (x), ce qui est obtenu est précisément le résidu ou le reste de la division polynomiale, puisque q (-1) = résidu = 2.

Bien sûr, la division fournit les informations supplémentaires sur le quotient C (x) = x² - X.

Rappelant que le dividende Q (x) est égal au diviseur (x + 1) par rapport c (x) plus le résidu r = 2 Nous avons l'expansion du polynôme q (x) comme suit:

Q (x) = (x + 1) (x² - x) + 2 = x (x + 1) (x - 1) + 2

Il convient de noter que cette expression n'est pas la factorisation dudit polynôme, car il y a un terme non nul, ce qui est précisément la valeur de la valeur 2.

Exercices

- Exercice 1

Trouvez les facteurs polynômes

P (x) = x³ - 5 x² + 2 x + 8

Et écrivez aussi votre factorisation.

Solution

Le théorème du facteur indique que nous devons rechercher les racines pour puis trouvez les facteurs (x - pour), Dans ce cas, comme c'est un polynôme de grade trois, il doit y avoir trois racines. 

Comme il s'agit d'un polynôme avec des coefficients entiers, les racines doivent être parmi les diviseurs du terme indépendant qui, dans ce cas, est 8. Ces diviseurs sont:

± 1, ± 2, ± 4, ± 8.

Nous commençons par explorer +1: p (+1) = 1³ - 5⋅ 1² + 2⋅1 + 8 = 1 - 5 + 2 + 8 = 6 qui est différent de 0, donc +1 n'est pas racine.

Nous explorons -1:

P (-1) = (-1)³ - 5⋅ (-1)² + 2⋅ (-1) + 8 = -1 - 5 - 2 + 8 = 0

D'après le résultat, il est conclu que -1 est la racine de p (x) y (x - (- 1)) = (x + 1) est un facteur polynomial.

Peut vous servir: carrés minimaux

Nous devons trouver deux autres facteurs:

Nous avons essayé le suivant qui est +2:

P (+2) = (+2)³ - 5⋅ (+2)² + 2⋅ (+2) + 8 = 8 + (-20) + 4 + 8 = 0

Encore une fois, nous obtenons zéro. Alors l'autre facteur est (x - 2).

Comme c'est un polynôme de troisième année, nous avons seulement besoin de trouver un facteur. Nous avons maintenant essayé la valeur +4 pour savoir si le polynôme annule:

P (+4) = (+4)³ - 5⋅ (+4)² + 2⋅ (+4) + 8 = 64 - 80 + 8 + 8 = 0.

Autrement dit.

Vous n'avez pas à continuer de chercher, car c'est un polynôme de grade 3 qui a trois racines au plus. Dans cet exercice, toutes les racines se sont avérées réelles et entières.

Par conséquent, le polynôme P (x) est un facteur comme ceci:

P (x) = x³ - 5 x² + 2 x + 8 = (x + 1) (x - 2) (x - 4).

- Exercice 2

Être le polynôme p⋅x³ - x + 2p. Déterminez la valeur de P pour le polynôme pour être divisible par (x + 2).

Solution

Nous utilisons le théorème du facteur, qui indique que si x = -2 annule le polynôme alors (x - (- 2)) est un facteur dudit polynôme.

Ensuite, x est remplacé par (-2) dans le polynôme d'origine, il est simplifié et est égal à zéro:

P⋅ (-2)³ - (-2) + 2p = 8p + 2 + 2p = 10p + 2 = 0

Maintenant, la valeur de P est effacée afin que l'égalité soit remplie à zéro:

P = -2 / 10 = -⅕ 

Cela signifie que le polynôme: 

-⅕⋅X³ - X - ⅖

Il est divisible par (x + 2), ou ce qui est équivalent: (x + 2) est l'un de ses facteurs.

Les références

1. Baldor Aurelio. Algèbre. Groupe éditorial de Patria.
2. Demana, w. PREMUCULCULO: graphique, numérique, algébrique 7e éd. Pearson Education.
3. Jiménez, R. 2008. Algèbre. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Précaulement: mathématiques pour le calcul. 5e. Édition. Cengage Learning.
5. Zill, D. 1984. Algèbre et trigonométrie. McGraw Hill.