Théorème

Nous expliquons ce qu'est le théorème de Moivre, nous démontons et proposons des exercices résolus

Quel est le théorème de Moivre?

Il Théorème Appliquer des processus d'algèbre fondamentaux, tels que l'extraction des pouvoirs et des racines en nombres complexes. Le théorème a été déclaré par le célèbre mathématicien français Abraham de Moivre (1730), qui a associé les nombres complexes à la trigonométrie.

Abraham Moivre a fait cette association à travers les expressions du sein et du coseno. Ce mathématicien a généré une sorte de formule à travers laquelle il est possible.

Explication

Le théorème de Moivre établit ce qui suit:

Si vous avez un nombre complexe dans la forme polaire z = R_Ɵ, où r est le module du nombre complexe z, et l'angle ɵ est appelé amplitude ou argument de tout nombre complexe avec 0 ≤ ɵ ≤ 2π, pour calculer sa puissance n-cette puissance, il ne sera pas nécessaire pour le multiplier par lui-même n- Tweces; c'est-à-dire qu'il n'est pas nécessaire de fabriquer le produit suivant:

Zⁿ = z _* z _* z_{*… *} z = r_{Ɵ *} r_{Ɵ *} r_{Ɵ *… *} r_Ɵ   N-you.

Pour le Contario, le théorème dit que, lors de l'écriture de z sous sa forme trigonométrique, de calculer le seul pouvoir, procédez comme suit:

Oui z = r (cos ɵ + i _* péché ɵ) puis zⁿ = rⁿ (cos n * ɵ + i _* sin n * ɵ).

Par exemple, si n = 2, alors z² = r²[Cos 2 (ɵ) + I Sen 2 (ɵ)]. Si vous devez n = 3, alors z³ = z² _* z. En outre:

z³ = r²[Cos 2 (ɵ) + I Sen 2 (ɵ)] _* R [cos 2 (ɵ) + i sen 2 (ɵ)] = r³[cos 3 (ɵ) + i Sen 3 (ɵ)].

De cette façon, les raisons trigonométriques du sein et du cosinus peuvent être obtenues pour les multiples d'un angle, tant que les raisons trigonométriques de l'angle sont connues.

De la même manière, il peut être utilisé pour trouver des expressions plus précises et moins déroutantes pour la racine n cette racine d'un nombre complexe z, de sorte que zⁿ = 1.

Pour démontrer le théorème de Moivre, le principe d'induction mathématique est utilisé: si un entier «a» a une propriété «p», et si pour un entier «n» supérieur à «a» qui a la propriété «p» se. + 1 a également la propriété «p», donc tous les nombres entiers sont plus importants ou égaux que «a» ont la propriété «p».

Démonstration du théorème de Moivre

De cette façon, la démonstration du théorème se fait avec les étapes suivantes:

Base inductive

Il est d'abord vérifié pour n = 1.

Peut vous servir: Curtosis: définition, types, formules, à quoi sert, par exemple

Comme z¹ = (r (cos ɵ + i _* sen ɵ)))¹ = r¹ (Cos ɵ + i _* Sen ɵ)¹ = r¹ [cos (1_* Ɵ) + i _* Sen (1_* Ɵ)], il doit n = 1 le théorème est accompli.

Hypothèse inductive

La formule est censée être vraie pour un entier positif, c'est-à-dire n = k.

z^k = (r (cos ɵ + i _* sen ɵ)))^k  = r^k (cos k ɵ + i _* sin k ɵ).

Vérification

Il est prouvé qu'il est vrai pour n = k + 1.

Comme z^{K + 1}= z^k _* Z, puis z^{K + 1} = (r (cos ɵ + i _* sen ɵ)))^{K + 1} = r^k (Cos kɵ + i _* sin kɵ) _*  R (cos ɵ + i_* senɵ).

Ensuite, les expressions se multiplient:

z^{K + 1} = r^{K + 1}((cos kɵ)_*(cosɵ) + (cos kɵ)_*(Yo_*sinɵ) + (i _* sin kɵ)_*(cosɵ) + (i _* sin kɵ)_*(Yo_* Senɵ)).

Un instant le facteur r est ignoré^{K + 1},  Et vous obtenez un facteur commun I:

(cos kɵ)_*(cosɵ) + i (cos kɵ)_*(Senɵ) + I (Sen Kɵ)_*(cosɵ) + i²(Sen Kɵ)_*(Senɵ).

Comme je² = -1, nous le remplaçons dans l'expression et obtenons:

(cos kɵ)_*(cosɵ) + i (cos kɵ)_*(Senɵ) + I (Sen Kɵ)_*(cosɵ) - (sin kɵ)_*(Senɵ).

Maintenant, la partie réelle et imaginaire est commandée:

(cos kɵ)_*(cosɵ) - (sin kɵ)_*(sinɵ) + i [(sin kɵ)_*(cosɵ) + (cos kɵ)_*(Senɵ)].

Pour simplifier l'expression, les identités trigonométriques des angles pour le cosinus et les sinus sont appliquées, qui sont:

cos (a + b) = cos a _* cos b - sen a _* péché b.

sin (a + b) = sen a _* cos b -Cos a _* cos b.

Dans ce cas, les variables sont les angles ɵ et kɵ. Appliquant des identités trigonométriques, vous avez:

cos kɵ _* cosɵ -  péché kɵ _* sinɵ = cos (kɵ + ɵ)

péché kɵ _* cosɵ + cos kɵ _* sinɵ = sin (kɵ + ɵ)

De cette façon, l'expression demeure:

z^{K + 1} = r^{K + 1} (cos (kɵ + ɵ) + i _* sin (kɵ + ɵ))

z^{K + 1} = r^{K + 1}(cos [(k +1) ɵ] + i _* sin [(k +1) ɵ]).

Ainsi, il pourrait être démontré que le résultat est vrai pour n = k + 1. Par le principe de l'induction mathématique, il est conclu que le résultat est vrai pour tous les entiers positifs; c'est-à-dire n ≥ 1.

Tout négatif

Le théorème de Moivre est également appliqué lorsque n ≤ 0. Considérons un tout négatif "n"; Alors "n" peut être écrit comme "-m", c'est-à-dire n = -m, étant "m" un entier positif. Donc:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = (cos ɵ + i _* Sen ɵ) ^-m

Pour obtenir l'exposant "M" de manière positive, l'expression est écrite à l'envers:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos ɵ + i _* Sen ɵ) ^m

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(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos mɵ + i _* sin mɵ)

Maintenant, il est utilisé que si z = a + b * i est un nombre complexe, alors 1 ÷ z = a-b * i. Donc:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = cos (mɵ) - i _* Sen (Mɵ).

En utilisant ce cos (x) = cos (-x) et que -sen (x) = sen (-x), il doit:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = [cos (mɵ) - i _* péché (mɵ)]

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = cos (- mɵ) + i _* Sen (-mɵ)

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = cos (nɵ) - i _* péché (nɵ).

De cette façon, on peut dire que le théorème s'applique à toutes les valeurs entières de "n".

Exercices résolus

Calcul de puissance positive

L'une des opérations avec des nombres complexes sous sa forme polaire est la multiplication entre deux d'entre elles; Dans ce cas, les modules se multiplient et les arguments sont ajoutés.

Si vous avez deux nombres complexes Z₁ et Z₂ Et vous voulez calculer (z₁* Z₂)², Alors procédez comme suit:

z₁z₂ = [r₁ (Cos ɵ₁ + Toi _* sen ɵ₁)]] * [R₂ (Cos ɵ₂ + Toi _* sen ɵ₂)]

Une propriété distributive est appliquée:

z₁z₂ = r₁ r₂ (Cos ɵ_1* car ɵ₂ + Toi _* car ɵ_1* Toi _* sen ɵ₂ + Toi _* sen ɵ_1* car ɵ₂ + Toi²_* sen ɵ_1* sen ɵ₂).

Ils sont regroupés, dessinant le terme «i» comme facteur commun des expressions:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos ɵ_1* car ɵ₂ + Je (car ɵ_1* sen ɵ₂ + sen ɵ_1* car ɵ₂) + i²_* sen ɵ_1* sen ɵ₂]]

Comme je² = -1, il est remplacé dans l'expression:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos ɵ_1* car ɵ₂ + Je (car ɵ_1* sen ɵ₂ + sen ɵ_1* car ɵ₂) - Sen ɵ_1* sen ɵ₂]]

Les vrais termes avec réels et imaginaires avec imaginaire sont regroupés:

z₁z₂ = r₁ r₂ [(cos ɵ_1* car ɵ₂ - sen ɵ_1* sen ɵ₂) + i (cos ɵ_1* sen ɵ₂ + sen ɵ_1* car ɵ₂)]

Enfin, des propriétés trigonométriques sont appliquées:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos (ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (ɵ₁ + Ɵ₂)].

En conclusion:

(Z₁* Z₂)²= (r₁ r₂ [cos (ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (ɵ₁ + Ɵ₂)])²

= R₁²r₂²[cos 2 * (ɵ₁ + Ɵ₂) + i sin 2 * (ɵ₁ + Ɵ₂)].

Exercice 1

Écrivez le nombre complexe sous forme polaire si z = - 2 -2i. Ensuite, en utilisant le théorème de Moivre, calculez z⁴.

Solution

Le nombre complexe z = -2 -2i est exprimé dans la forme rectangulaire z = a + bi, où:

A = -2.

B = -2.

Sachant que la forme polaire est z = r (cos ɵ + i _* sen ɵ), il est nécessaire de déterminer la valeur du module «r» et la valeur de l'argument «ɵ». Comme r = √ (a² + b²), les valeurs données sont remplacées:

Il peut vous servir: fonctions trigonométriques: basique, dans le plan cartésien, exemples, exercice

R = √ (a² + b²) = √ ((-2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Ensuite, pour déterminer la valeur de «ɵ», la forme rectangulaire de ceci est appliquée, qui est donnée par la formule:

donc ɵ = b ÷ a

Tan ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Comme le (ɵ) = 1 et il doit<0, entonces se tiene que:

Ɵ = arcan (1) + π.

= Π / 4 + π

= 5π / 4.

Comme déjà réalisé par la valeur de "r" et "ɵ", le nombre complexe z = -2 -2i peut être exprimé sous la forme polaire en remplacement des valeurs:

Z = 2√2 (cos (5π / 4) + i _* péché (5π / 4)).

Maintenant, le théorème de Moivre est utilisé pour calculer Z⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5π / 4) + i _* péché (5π / 4))⁴

= 32 (cos (5π) + i _* sin (5π)).

Exercice 2

Trouvez le produit de nombres complexes l'exprimant sous sa forme polaire:

Z1 = 4 (cos 50^soit + Toi_* Sen 50^soit)

Z2 = 7 (cos 100^soit + Toi_* Sen 100^soit).

Ensuite, calculez (z1 * z2) ².

Solution

Le produit des nombres donnés est d'abord formé:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^soit + Toi_* Sen 50^soit)] * [7 (cos 100^soit + Toi_* Sen 100^soit)]

Ensuite, les modules se multiplient les uns avec les autres et les arguments sont ajoutés:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [Cos (50^soit + 100^soit) + i_* Sen (50^soit + 100^soit)]

L'expression est simplifiée:

z₁ z₂ = 28 _* (Cos 150^soit + (Yo_* Sen 150^soit).

Enfin, le théorème de Moivre s'applique:

(Z1 * z2) ² = (28 _* (Cos 150^soit + (Yo_* Sen 150^soit)) ² = 784 (cos 300^soit + (Yo_* Sen 300^soit).

Calcul des pouvoirs négatifs

Pour diviser deux nombres complexes z₁ et Z₂ Dans sa forme polaire, le module est divisé et les arguments sont soustraits. Ainsi, le quotient est z₁ ÷ Z₂ Et il est exprimé comme suit:

z₁ ÷ Z₂ = R1 / r2 ([cos (ɵ₁- Ɵ₂) + i sen (ɵ₁ - Ɵ₂)]).

Comme dans le cas précédent, si vous souhaitez calculer (Z1 ÷ Z2) ³ La division est d'abord des effets, puis le théorème de moivre est utilisé.

Exercice 3

Dices:

Z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

Z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

calculer (z1 ÷ z2) ³.

Solution

Suivant les étapes décrites ci-dessus, on peut conclure que:

(Z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2)) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Les références

1. Arthur Goodman, L. H. ( mille neuf cent quatre vingt seize). Algèbre et trigonométrie avec géométrie analytique. Pearson Education.
2. Croucher, m. (s.F.). Par le théorème de Moivre pour les identités de trig. Projet de démonstrations de Wolfram.
3. Hazewinkel, m. (2001). Encyclopédie des mathématiques.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algèbre et trigonométrie.
5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Education.
6. Stanley, G. (s.F.). Algèbre linéaire. Graw-hill.
7. , M. (1997). Préqualcule. Pearson Education.