TECHNIQUES DE COMPTE Les techniques, applications, exemples, exercices

Le Compter les techniques Ils sont une série de méthodes de probabilité pour compter le nombre possible d'arrangements dans un ensemble ou plusieurs ensembles d'objets. Ceux-ci sont utilisés lors de la création de comptes manuellement compliqués en raison du grand nombre d'objets et / ou de variables.

Par exemple, la solution à ce problème est très simple: imaginez que votre patron vous demande de compter les derniers produits qui sont arrivés au cours de la dernière heure. Dans ce cas, vous pouvez aller compter les produits un par un.

Cependant, imaginez que le problème est le suivant: votre patron vous demande de compter combien de groupes de 5 produits du même type peuvent être formés avec ceux qui sont arrivés la dernière heure. Dans ce cas, le calcul est compliqué. Pour ces types de situations, des techniques de comptage toutes appelées sont utilisées.  

Ces techniques sont plusieurs, mais les plus importantes sont divisées en deux principes de base, qui sont multiplicatifs et additifs; permutations et combinaisons.

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Principe multiplicatif

Applications

Le principe multiplicatif, ainsi que l'additif, sont basiques pour comprendre le fonctionnement des techniques de comptage. Dans le cas du multiplicatif, il se compose des éléments suivants:

Imaginez une activité qui implique un nombre spécifique d'étapes (le total que nous le marquons comme "R"), où la première étape peut être faite sous les formes N1, la deuxième étape de N2, et la marche "R" des formulaires NR. Dans ce cas, l'activité pourrait être effectuée dans le nombre de formulaires résultant de cette opération: n1 x n2 x .. .x NR Formulaires

C'est pourquoi ce principe est appelé multiplicatif, et implique que chacune des étapes nécessaires pour effectuer l'activité doit être réalisée après l'autre. 

Exemple

Imaginons une personne qui veut construire une école. Pour ce faire, considérez que la base du bâtiment peut être construite de deux manières différentes, du ciment ou du béton. Quant aux murs, ils peuvent être adobe, ciment ou brique.

Quant au toit, cela peut être construit en ciment ou en feuille galvanisée. Enfin, la peinture finale ne peut être effectuée que d'une manière. La question qui se pose est la suivante: de combien de façons?

Tout d'abord, nous considérons le nombre de pas, qui serait la base, les murs, le toit et la peinture. Au total, 4 étapes, donc r = 4.

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Ce qui suit serait de répertorier le n:

N1 = façons de construire la base = 2

N2 = façons de construire les murs = 3

N3 = façons de faire le toit = ​​2

N4 = façons d'effectuer la peinture = 1

Par conséquent, le nombre de façons possibles serait calculée par la formule décrite ci-dessus:

N1 x n2 x n3 x n4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 façons d'effectuer l'école.

Principe additif

Applications

Ce principe est très simple, et c'est que, dans le cas de plusieurs alternatives pour effectuer la même activité, les façons possibles consistent en la somme des différentes façons possibles de réaliser toutes les alternatives.

En d'autres termes, si nous voulons mener une activité avec trois alternatives, où la première alternative peut être effectuée sous m, la deuxième des formes N et la dernière des formes W, l'activité peut être effectuée de: m + n + … + W Formulaires.

Exemple

Imaginez cette fois une personne qui veut acheter une raquette de tennis. Pour ce faire, vous avez trois marques au choix: Wilson, Babolat ou Head.

Lorsqu'il va au magasin, il voit que la raquette Wilson peut être achetée avec la poignée de deux tailles différentes, L2 ou L3 dans quatre modèles différents et peut être lié ou sans broderie.

La raquette Babolat, en revanche, a trois mangues (L1, L2 et L3), il existe deux modèles différents et peut également être lié ou sans broder.

La raquette de tête, quant à elle, est uniquement avec une mangue, L2, dans deux modèles différents et uniquement sans broder. La question est: de combien de façons cette personne doit-elle acheter sa raquette?

M = nombre de façons de sélectionner une raquette Wilson

N = nombre de façons de sélectionner une raquette Babolat

W = nombre de façons de sélectionner un rack de tête

Nous effectuons le principe du multiplicateur:

M = 2 x 4 x 2 = 16 formulaires

N = 3 x 2 x 2 = 12 formulaires

W = 1 x 2 x 1 = 2 formes

 M + n + w = ​​16 + 12 + 2 = 30 façons de choisir une raquette.

Pour savoir quand le principe multiplicatif et l'additif doivent.

Permutations

Applications

Pour comprendre ce qu'est une permutation, il est important d'expliquer ce qu'une combinaison est en mesure de les différencier et de savoir quand les utiliser.

Une combinaison serait un arrangement d'éléments dans lesquels nous ne sommes pas intéressés par la position que chacun d'eux occupe.

Une permutation, en revanche, serait un arrangement d'éléments dans lesquels nous sommes intéressés par la position que chacun d'eux occupe.

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Donnons un exemple pour mieux comprendre la différence.

Exemple

Imaginez une classe avec 35 élèves et avec les situations suivantes:

1. L'enseignant veut que trois de ses élèves l'aident à garder la classe propre ou à livrer du matériel aux autres élèves quand il en a besoin.
2. L'enseignant souhaite nommer des délégués de classe (un président, un assistant et un financier).

La solution serait la suivante:

1. Imaginez que par vote, Juan, María et Lucía sont choisis pour nettoyer la classe ou livrer le matériel. De toute évidence, d'autres groupes de trois personnes auraient pu se former, parmi les 35 étudiants possibles.

Nous devons nous demander ce qui suit: l'ordre ou la position occupée par chacun des étudiants importants lors de la sélection?

Si nous y réfléchissons, nous voyons que ce n'est vraiment pas important, car le groupe s'occupera des deux travaux également. Dans ce cas, c'est une combinaison, car nous ne sommes pas intéressés par la position des éléments.

2. Imaginons maintenant que Juan est élu président, Maria comme assistante et Lucia en tant que financière.

Dans ce cas, l'ordre est-il important? La réponse est oui, car si nous modifions les éléments, modifiez le résultat. Autrement dit, si au lieu de mettre Juan comme président, nous le mettons en tant qu'assistant et Maria en tant que présidente, le résultat final changerait. Dans ce cas, c'est une permutation.

Une fois la différence comprise, nous obtiendrons les formules des permutations et les combinaisons. Cependant, avant de définir le terme «n!»(ENE Factorial), car il sera utilisé dans les différentes formules.

n!= au produit de 1 à n.

n!= 1 x 2 x 3 x 4 x… x n

L'utiliser avec des nombres réels:

dix!= 1 x 2 x 3 x 4 x… x 10 = 3 628 800

 5!= 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120

La formule des permutations serait la suivante:

Npr = n!/ (N-r)!

Avec lui, nous pouvons découvrir les arrangements où l'ordre est important et où les éléments sont différents.

Combinaisons

Applications

Comme nous l'avons mentionné ci-dessus, les combinaisons sont les arrangements où nous ne nous soucions pas de la position des éléments.

Sa formule est la suivante:

Ncr = n!/ (N-r)!r!

Exemple

S'il y a 14 étudiants qui veulent être des bénévoles pour nettoyer la salle de classe, combien de groupes de nettoyage peuvent être formés si chaque groupe doit être 5 personnes?

La solution serait donc la suivante:

N = 14, r = 5

14c5 = 14! / (14 - 5)!5! = 14! / 9!5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!= Groupes 2002

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Exercices résolus

Exercice 1

Source: Pixabay.com

Natalia est commandée par sa mère d'aller dans un magasin d'alimentation et d'acheter un soda pour se rafraîchir. Lorsque Natalia demande à la consommation dépendante, il lui dit qu'il y a quatre saveurs de sodas, trois types et trois tailles.

Les saveurs des boissons gazeuses peuvent être: queue, citron, orange et menthe.

Les types de boissons gazeuses peuvent être: normales, sans sucre, sans caféine.

Les tailles peuvent être: petites, moyennes et grandes.

La mère de Natalia n'a pas précisé quel type de soda voulait combien de façons Natalia a pour acheter la boisson?

Solution

M = numéro de taille et type que vous pouvez sélectionner lors du choix du soda de queue.

N = numéro de taille et type que vous pouvez sélectionner lors du choix du soda au citron.

W = taille et numéro de type que vous pouvez sélectionner lors du choix du soda orange.

Y = taille et numéro de type que vous pouvez sélectionner lors du choix du soda à la menthe.

Nous effectuons le principe du multiplicateur:

M = 3 × 3 = 9 formes

N = 3 × 3 = 9 formulaires

W = 3 × 3 = 9 formulaires

Y = 3 × 3 = 9 formulaires

 M + n + w + y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 façons de sélectionner le soda.

Exercice 2

Source: Pixabay.com

Un club de sport annonce des ateliers d'accès gratuit afin que les enfants apprennent à patiner. 20 enfants sont enregistrés, donc deux groupes de dix personnes décident de diviser afin que les instructeurs puissent donner des cours plus à l'aise.

À leur tour, ils décident de surmonter quel groupe chaque enfant tombera. Dans combien de groupes différents un enfant pourrait entrer.

Solution

Dans ce cas, la façon de trouver une réponse passe par la technique de combinaison, dont la formule était: NCR = N!/ (N-r)!r!

n = 20 (nombre d'enfants)

  R = 10 (taille du groupe)

20c10 = 20! / (20 - 10)!dix! = 20! / dix!dix! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10!/ dix!dix!= 184.756 groupes.

Les références

1. Jeffrey, R.C., Probabilité et l'art du jugement, la presse de l'Universite de Cambridge. (1992).
2. William Feller, «Une introduction à la théorie des probabilités et à ses applications«, (Vol 1), 3e éd., (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Fondations logiques et mesure de la probabilité subjective". Acte psychologique.
4. Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Introduction aux statistiques mathématiques (6e Ed.). River supérieur de la selle: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) La science de la conjecture: preuve et probabilité avant Pascal,Johns Hopkins University Press.