Somme des carrés de deux nombres consécutifs

Pour savoir Quelle est la somme des carrés de deux nombres consécutifs, Vous pouvez trouver une formule, avec laquelle il suffit de remplacer les nombres impliqués pour obtenir le résultat. Cette formule peut être trouvée de manière générale, c'est-à-dire qu'elle sert à n'importe quelle paire de nombres consécutifs.

En disant "numéros consécutifs", il dit implicitement que les deux nombres sont des nombres entiers. Et en parlant de "les carrés", chaque numéro fait référence au carré.

Par exemple, si les nombres 1 et 2 sont considérés, leurs carrés sont 1² = 1 et 2² = 4, par conséquent, la somme des carrés est 1 + 4 = 5.

En revanche, si les nombres 5 et 6 sont pris, leurs carrés sont de 5² = 25 et 6² = 36, avec lesquels la somme des carrés est de 25 + 36 = 61.

Quelle est la somme des carrés de deux nombres consécutifs?

L'objectif est maintenant de généraliser ce qui est fait dans les exemples précédents. Pour cela, il est nécessaire de trouver une façon générale d'écrire un entier et son entier consécutif.

Si deux entiers consécutifs sont observés, par exemple 1 et 2, on peut voir que 2 peut être écrit comme 1 + 1. De plus, si les numéros 23 et 24 sont observés, il est conclu que 24 peut être écrit comme 23 + 1.

Pour les entiers négatifs, ce comportement peut également être vérifié. En effet, s'ils sont considérés comme -35 et -36, on peut voir que -35 = -36 + 1.

Par conséquent, si un entier «n» est choisi, alors l'entier consécutif à «n» est «n + 1». Ainsi, une relation entre deux entiers consécutifs a déjà été établi.

Quelle est la somme des carrés?

On leur donne deux entiers consécutifs "n" et "n + 1", puis leurs carrés sont "n²" et "(n + 1) ²". En utilisant les propriétés des produits notables, ce dernier terme peut être écrit comme suit:

(n + 1) ² = n² + 2 * n * 1 + 1² = n² + 2n + 1.

Enfin, la somme des carrés des deux nombres consécutifs est donnée par l'expression:

n² + n² + 2n + 1 = 2n² + 2n +1 = 2n (n + 1) +1.

Si la formule précédente est détaillée, on peut voir qu'il suffit de connaître le moindre nombre entier «N» pour savoir quelle est la somme des carrés, c'est-à-dire qu'il suffit d'utiliser le plus jeune des deux entiers.

Une autre perspective de la formule obtenue est: les nombres choisis sont multipliés, puis le résultat obtenu est multiplié par 2 et enfin il est ajouté 1.

D'un autre côté, le premier ajout de la droite est un nombre pair, et en ajoutant 1, le résultat sera étrange. Cela dit que le résultat de l'ajout des carrés de deux nombres consécutifs sera toujours un nombre impair.

Il peut également être souligné que deux nombres de coupe sont ajoutés, ce résultat sera toujours positif.

Exemples

1.- Considérez les entiers 1 et 2. Le plus jeune est 1. En utilisant la formule précédente, il est conclu que la somme des carrés est: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 4 + 1 = 5. Qui est d'accord avec les comptes faits au début.

2.- Si les entiers 5 et 6 sont pris, la somme des carrés sera de 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61, ce qui coïncide également avec le résultat obtenu au début.

3.- Si les entiers sont choisis -10 et -9, alors la somme de leurs carrés est: 2 * (-10) * (-9) + 1 = 180 + 1 = 181.

4.- Que les entiers soient cette fois -1 et 0, alors la somme de leurs carrés est donnée par 2 * (-1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1.