Volume des solides de la révolution, types, exercices résolus

Il Révolution solide C'est la figure à trois dimensions générée par la rotation d'une surface plate autour de l'axe axial ou de l'axe de révolution. La figure 1 montre une animation d'un solide de révolution généré de cette manière.

Un autre exemple très facile à visualiser est de générer un cylindre circulaire droit, en tournant un rectangle de hauteur ou de H et Radio R, autour de l'axe X positif (figure 2). Pour trouver son volume, il existe une formule bien connue:

V = zone de base x hauteur

Figure 1. La figure générée par la rotation d'une courbe Sen x. Source: Wikimedia Commons. Macks / cc by-sa (https: // CreativeCommons.Org / licences / by-sa / 2.5).

D'autres solides de révolution sont la sphère, le cône circulaire droit et diverses figures, selon la surface placée en rotation et bien sûr, l'axe sélectionné.

Figure 2. Génération d'un cylindre circulaire droit et d'une sphère. Source: Wikimedia Commons.

Par exemple, la rotation du demi-cercle autour d'une ligne parallèle au diamètre Un solide de révolution creuse est obtenu.

Pour le cylindre, le cône, la sphère, à la fois des massifs et des trous, il existe des formules pour trouver le volume, qui dépend du rayon et de la hauteur. Mais lorsqu'il est généré par d'autres surfaces, le volume est calculé par des intégrales définies.

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Types de solides de révolution

Les solides de la révolution peuvent être classés en fonction de la courbe qui les génère:

Sphère

Il suffit de faire pivoter un demi-cercle autour d'un axe qui sera le diamètre de la sphère radio R. Son volume est:

V_sphère = (4/3) πr³

Chatte

Pour obtenir un cône H et Radio R, la surface qui doit. Son volume est:

V_Chatte = (1/3) πhr²

Cylindre

Tournant un rectangle autour d'un axe axial qui passe à travers un côté, qui peut être le côté court ou le côté long, un cylindre circulaire droit du rayon R et de la hauteur H est obtenu, dont le volume est:

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V_cylindre = πr²H

Toroïde

Le taureau a la forme d'un beignet. Il est obtenu en tournant une région circulaire autour d'une ligne dans le plan qui n'inscrit pas le cercle. Son volume est donné par:

V_Toroïde = 2πa²R

Où a est le rayon de la section transversale et R est le rayon du toroïde selon le schéma présenté sur la figure:

figure 3. Dimensions toroïdes. Source: Wikimedia Commons.

Méthodes pour calculer le volume d'une révolution solide

En calcul intégral, ces deux méthodes sont fréquentes:

-Disques et rondelles

-Coquilles

Méthode du disque ou rondelles

Lorsque vous tranchez un solide de révolution, la section transversale peut être un album, si le solide est solide ou si elle peut être une sorte de laveuse (un album avec un trou au milieu), s'il s'agit d'un trou solide.

Supposons qu'une région plate tourne autour de l'axe horizontal. De cette région plate, nous prenons un petit rectangle de largeur Δx, qui est tourné perpendiculairement autour de l'axe axial.

La hauteur du rectangle est entre la courbe la plus externe R (x) et le r (x) le plus interne (x). Ils correspondent respectivement au rayon externe et à la radio interne.

Lors de cette rotation, une rondelle de volume ΔV est générée, donnée par:

Δv = volume de trous à plein volume (le cas échéant)

Rappelant que le volume d'un cylindre circulaire droit est π. radio² x hauteur, nous avons:

Δv = π [r²(x) - r²(x)] Δx

Le solide peut être divisé en une multitude de petites portions de volume ΔV. Si nous les ajoutons tous, nous aurons le plein volume.

Pour ce faire, nous tendreons à 0 le volume ΔV, qui devient également très petit, devenant un différentiel DX.

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Ainsi, nous avons une intégrale:

V = ∫_pour^b π [r²(x) - r²(x)] dx

figure 3. Méthode des laveurs. Source: Larson. R. Calcul.

Dans le cas où le solide est solide, alors la fonction r (x) = 0, la tranche du solide généré est un disque et le volume reste:

V = ∫_pour^b πr²(x) dx

Lorsque l'axe de la révolution est vertical, les équations précédentes prennent la forme:

V = ∫_pour^b π [r² (Y) - r² (y)] dy et v = ∫_pour^b πr²(Y) dy

Couche

Comme le souligne son nom, cette méthode consiste à supposer que le solide est composé de couches épaisses différentielles. La couche est un tube mince qui provient du tour d'un rectangle parallèle à l'axe de rotation.

Figure 4. Une couche cylindrique de hauteur 2, long h et rayon p. Source: Larson, R. Calcul.

Nous avons les dimensions suivantes:

-La hauteur du rectangle W

-Sa longitude H

-La distance entre le centre du rectangle et l'axe de rotation p

Sachant que le volume de la couche est Volume extérieur - volume intérieur:

π (p + w / 2)²H - π (p - w / 2)²H

Lors du développement de produits notables et de la simplification, il est obtenu:

Volume de couche = 2π⋅p⋅w⋅h

Maintenant, faisons la hauteur W du rectangle Δy, comme on le voit dans la figure suivante:

Figure 5. Méthode des couches d'axe de révolution horizontale. Source: Larson, R. Calcul d'une variable.

Avec cela, le volume ΔV est:

ΔV = 2π P x H x Δy

Et faire le nombre de couches n Soyez très grand, ΔY devient un DY différentiel, de sorte que le volume total est l'intégrale:

V = ∫_c^d 2π p (y) h (y) dy

La procédure décrite est appliquée de manière similaire lorsque l'axe de la révolution est vertical:

Figure 6. Méthode de calque pour l'axe de révolution verticale. Source: Larson, R. Calcul d'une variable.

Exercice résolu

Trouvez le volume généré par la rotation de la région plate entre les courbes:

y = x²;  y = 0; x = 2

Autour de l'axe et.

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Solution

-La première chose à faire est de graphiquement la région qui générera la révolution solide et indiquera l'axe de virage. Nous l'avons dans le graphique suivant:

Figure 7. Graphique des courbes pour l'exercice résolu. Source: F. Zapata avec Geogebra.

-Maintenant, les intersections entre la courbe y = x sont recherchées² et la ligne x = 2. Pour sa partie, la ligne y = 0 n'est autre que l'axe x.

Il est facile d'avertir que la parabole et la ligne se croisent au point (2,4), qui est corroborée en remplaçant x = 2 sur y = x².

-Ensuite, l'une des méthodes pour calculer le volume est choisie, par exemple la méthode de couche avec l'axe de révolution verticale:

V = ∫_pour^b 2π p (x) h (x) dx

Étape 1: dessinez le rectangle

Figure 8. Rectangle pour l'exemple résolu. Source: F. Zapata avec Geogebra.

Important: Dans la méthode de la couche, le côté long du rectangle est parallèle à l'axe de rotation.

Étape 2: Déterminer P (x)

La couche de la couche est X

Étape 3: Déterminez H (x)

La hauteur du rectangle est déterminée par la parabole x².

Étape 4: Établir et résoudre l'intégrale du volume

La variable d'intégration est x, qui varie entre 0 et 2, avec cela, nous avons les limites d'intégration. Remplacement des expressions pour p (x) et h (x)

 Certains exercices peuvent être résolus par les deux méthodes. Le lecteur peut-il résoudre ceci avec la méthode des laveuses?

Les références

1. Larson, R. 2010. Calcul d'une variable. 9na. Édition. McGraw Hill.
2. Purcell, E. 2007. Calcul avec géométrie analytique. 9na. Édition. Pearson Education.
3. Wikipédia. Solide de révolution. Récupéré de: dans.Wikipédia.org.
4. Wikipédia. Toroïde. Récupéré de: est.Wikipédia.org.
5. Wolfram Mathworld. Solide de révolution. Récupéré de: Mathworld.Wolfram.com.