Quels sont les nombres triangulaires? Propriétés et démonstrations

Il est connu comme Nombres triangulaires à la séquence de nombres obtenus en faisant une disposition ou une figure de points de triangle équilatéral. La première de la séquence est: 1, 3, 6, 10, 15, 21, ..

Le premier problème triangulaire est 1, le second est le 3, car il est obtenu en ajoutant une ligne à deux points à la précédente, pour former un triangle équilatéral de trois éléments.

Figure 1. Séquence des six premiers nombres triangulaires. Source: Wikimedia Commons. Melchoir / cc by-sa (https: // CreativeCommons.Org / licences / by-sa / 3.0)

Le troisième est 6, qui apparaît lors de l'ajout d'une ligne à trois points à la disposition précédente, de sorte qu'un triangle à trois points se forme par côté. Le 10 de la séquence est obtenu en ajoutant une autre ligne à la disposition précédente de sorte qu'un triangle à quatre points se forme par côté.

La formule qui vous permet de trouver l'élément n De la séquence triangulaire, le nombre triangulaire antérieur est:

T_n = T_N-1 + n

La liste des six premiers nombres triangulaires est réalisée comme ceci:

-Premier: 1

-Deuxième: 1 + 2 = 3

-Troisième: (1 +2) + 3 = 3 + 3 = 6

-Chambre: (1 + 2 + 3) + 4 = 6 + 4 = 10

-Cinquième: (1 + 2 + 3 + 4) + 5 = 10 + 5 = 15

-Sixième: (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 6 = 15 + 6 = 21

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Propriétés des nombres triangulaires

1.- Le nombre triangulaire n-simo tn de la séquence de nombres triangulaires est la moitié de n multiplié par n + 1:

T_n = ½ n (n + 1)

2.- La somme du nombre triangulaire n-éimo avec le nombre triangulaire antérieur, c'est-à-dire, (n-1) -sheimo, il est élevé carré:

T_n + T_N-1= n²

3.- La différence dans le nombre triangulaire n-ce moins le N-ESimo triangulaire moins un est n:

T_n - T_N-1 = n

4.- La somme des premiers nombres triangulaires est appelée le nombre tétraédrique SN et est égal à la sixième partie du produit multiplié par (n + 1) et multiplié par (n + 2):

Peut vous servir: taxer

S_n= ⅙ n (n + 1) (n + 2)

5.- Chaque nombre naturel N est le résultat de la somme de trois nombres triangulaires:

N = Δ1 + Δ1 + Δ3

Cette dernière propriété ou théorème a été découverte par le grand mathématicien Carl Friedrich Gauss en 1796, qu'il a marqué dans son journal en plaçant l'admiration grecque Eureka! Que signifie "Je l'ai réalisé".

C'était le même mot utilisé beaucoup plus tôt par l'archimed grec lorsqu'il a déterminé le poids apparent d'un corps submergé.

Dans cette relation, un nombre zéro est considéré comme triangulaire et il peut y avoir une répétition.

Manifestations

- Démonstration 1

Prouver que le nombre triangulaire n-C'est:

T_n = ½ n (n + 1)

Il est facile de déduire la formule précédente, si nous réalisons que nous pouvons ajouter le même nombre de points à l'arrangement triangulaire pour former un quadrilatère de points.

Comme le nombre total de points d'arrangement sous la forme d'un quadrilatère est le nombre de lignes n multiplié par le nombre de colonnes (N + 1), Alors la disposition triangulaire ne comportera que la moitié des points de la disposition sous la forme d'un quadrilatère.

Ici est illustré dans la figure 2.

Figure 2. Arrangement en forme carré dans lequel le nombre total de points est le nombre de lignes n multipliées par le nombre de colonnes n + 1. Le nombre total de points est également le double de celui de l'arrangement triangulaire. Source: Wikimedia Commons.

- Démonstration 2

Démontrer que la somme de n-Ce nombre triangulaire avec le n-Le moins un Le nombre triangulaire est n au carré:

T_n + T_N-1= n²

Il a déjà été démontré que le numéro triangulaire n-Ceci est donné par:

T_n= ½ n (n + 1)

Par conséquent, le nombre triangulaire antérieur est:

T_N-1 = ½ (n-1) ((n-1) + 1) = ½ n (n-1)

La somme des deux restes:

T_n + T_N-1 = ½ n (n + 1) + ½ n (n - 1)

½ n est pris pour obtenir:

T_n + T_N-1 = ½ n [(n + 1) + (n - 1) = ½ n [n + 1 + n - 1]

Et immédiatement l'expression est simplifiée à l'intérieur du support:

Il peut vous servir: estimation par intervalles

T_n + T_N-1 = ½ n [2 n] = ½ 2 n ⋅ n

Maintenant, se souvenant que ½ pour 2 est 1 et que n pour n est n carré, vous avez:

T_n + T_N-1 = n²

Cette propriété peut également être démontrée géométrique, le triangle est simplement terminé pour former un carré, comme le montre la figure 3.

figure 3. La somme du nombre triangulaire N-ESimo avec le nombre triangulaire antérieur est égal à N carré. Source: Wikimedia Commons.

- Démonstration 3

La différence dans le nombre triangulaire d'ordre n moins le nombre triangulaire d'ordre N-1 est n:

T_n - T_N-1 = n

Cela peut être testé simplement en se rappelant que le nombre triangulaire suivant est obtenu à partir de la précédente à travers la formule:

T_n = T_N-1 + n

Et à partir de là, il est évident que T_n - T_N-1 = n. Il est également facile de le visualiser graphiquement, comme le montre la figure 4.

Figure 4. La différence du nombre triangulaire d'ordre n moins le triangulaire antérieur de l'ordre n-1 est n. Source: Wikimedia Commons.

- Démonstration 5

La somme des premiers nombres n triangulaires sn Il est égal à la sixième partie du produit multiplié par (n + 1) et multiplié par (n + 2):

S_n = ⅙ n (n + 1) (n + 2)

Utilisons le nombre triangulaire de commande n: T_n= ½ n (n + 1). La somme du premier n Les nombres triangulaires le dénoteront pour S_n  

Par exemple, S₁ signifie la somme du premier problème triangulaire, qui sera sans aucun doute 1.

Voyons alors si la formule que nous essayons d'essayer est respectée n = 1:

S₁ = ⅙ 1⋅2⋅3 = 1

En effet, la formule pour n = 1 est vérifiée. Il est facile de visualiser que la somme des nombres triangulaires de N + 1 sera la somme des n plus du premier numéro triangulaire:

S_{N + 1} = S_n + T_{N + 1}

Supposons maintenant la formule de S_n Il est rempli pour n, puis nous le remplacons dans l'expression précédente et ajoutons le nombre triangulaire d'ordre N + 1:

S_{N + 1} = [⅙ n (n + 1) (n + 2)] + [½ (n + 1) (n + 2)]]

Peut vous servir: ligne perpendiculaire: caractéristiques, exemples, exercices

Regardons étape par étape ce qui est obtenu:

-Nous effectuons la somme des deux expressions fractionnées:

S_{N + 1} = [2 n (n + 1) (n + 2) + 6 (n + 1) (n + 2)] / 12 

-Il est supprimé du numérateur commun à 2 (n + 1) (n + 2) et simplifie:

S_{N + 1} = 2 (n + 1) (n + 2) [n +3] / 12 = (n + 1) (n + 2) (n +3) / 6

Le résultat précédent est d'accord avec la formule Sn Si N + 1 est remplacé, qui a été démontré par induction la formule de la somme des premiers termes triangulaires.

Numéro tétraédrique

Le résultat obtenu est appelé Nombre tétraédrique d'ordre n, Parce que c'est comme accumuler des couches triangulaires qui forment un tétraèdre, comme indiqué dans l'animation suivante.

Figure 5. La somme de n nombres triangulaires correspond à la pile de couches de n, n-1, ..., 1 triangles qui forment un tétraèdre ordinaire. Source: Wikimedia Commons.

Les références

1. Camacho J. Une apparence insoupçonnée de nombres triangulaires. Récupéré de: Masscience.com
2. Claudio. Nombres triangulaires. Récupéré de: simplement nombres. Blogspot. com
3. Wikipédia. Nombre triangulaire. Récupéré de: est.Wikipédia.com
4. Wikipédia. Nombre triangulaire. Récupéré de: dans.Wikipédia.com
5. Wikipédia. Nombre trétraédrique. Récupéré de: dans.Wikipédia.com