Coplanares Points Equation, exemple et exercices résolus

Les Points de coplanares Ils appartiennent tous au même plan. Deux points sont toujours des coplanares, car ces points définissent une ligne à travers laquelle les infinies plates passent. Ensuite, les deux points appartiennent à chacun des plans qui traversent la ligne et seront donc toujours des coplanares.

D'un autre côté, trois points définissent un seul avion, dont il est suivi que trois points seront toujours des coplanares dans l'avion qu'ils déterminent.

Figure 1. A, B, C et D Ce sont des coplanares au plan (ω). E, F et G ne sont pas des coplanares A (ω) mais s'ils sont des coplanares à l'avion, les trois définissent. Source: F. Zapata.

Plus de trois points peuvent être coplanaires ou non. Par exemple, sur la figure 1, les points A, B, C et D sont des coplanares vers le plan (ω). Mais e, f et g ne sont pas des coplanares a (ω), bien qu'ils soient des coplanares à l'avion que trois définissent.

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Équation d'un avion étant donné trois points

L'équation d'un plan déterminé par trois points connus A, B, C est une relation mathématique qui garantit que tout point P des coordonnées génériques (x, y, z) qui remplit l'équation appartient audit plan. 

La déclaration précédente équivaut à dire que si p de coordonnées (x, y, z) rencontre l'équation de l'avion, ledit point sera alors à copatar avec les trois points A, B, C qui ont déterminé l'avion.

Pour trouver l'équation dudit avion, commençons par trouver les vecteurs UN B et CA:

UN B = [Bx - ax, par - ay, bz - az]

CA = [Cx - ax, cy - ay, cz - az]

Le produit vectoriel UN B X CA Il en résulte un vecteur perpendiculaire ou normal au plan déterminé par les points A, B, C.

Un point de coordonnées (x, y, z) appartient à l'avion s'il est vrai que le vecteur AP est perpendiculaire au vecteur UN B X CA, qui est garantie si elle est remplie:

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Ap • (ab X Ac) = 0

Cela équivaut à dire que le triple produit de AP, UN B et CA Être nul. L'équation précédente peut être écrite de manière matricielle:

Exemple

Laisse les points A (0, 1, 2); B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) et d (pour, 0, 1). Quelle valeur devrait avoir pour de sorte que les quatre points sont des coplanares?

Solution

Pour trouver la valeur de A, il est nécessaire que le point D fasse partie de l'avion déterminé par A, B et C, qui est garanti si l'équation de l'avion se réunit.

Développer le déterminant que nous avons:

A (-1-1) + 1 (-1 -7) -1 (1 -7) = -2a -8 + 6 = -2a -2 = 0

L'équation précédente indique que A = -1 Pour accomplir l'égalité. En d'autres termes, la seule façon de point d (pour, 0,1) être coplanaire avec les points A, B et C est que pour Valga -1. Sinon, ce ne sera pas coplanaire.

Exercices résolus

- Exercice 1

Un avion coupe les axes cartésiens x, y, z en 1, 2 et 3 respectivement. L'intersection dudit plan avec les axes détermine les points A, B et C. Trouvez le composant DZ d'un point D, dont les composants cartésiens sont:

 D (-dz, dz + 1, dz) 

À condition que d est coplanaire avec les points A, B et C. 

Solution

Lorsque les interceptions d'un plan avec les axes cartésiens sont connues, la forme segmentaire de l'équation du plan peut être utilisée:

x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1

Comme le point D doit appartenir au plan précédent, vous devez:

-Dz / 1 + (dz + 1) / 2 + dz / 3 = 1

C'est-à-dire:

-DZ + DZ / 2 + ½ + DZ / 3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½ 

Dz (-1 / 6⅙) = ½ 

Dz = -3 

De ce qui précède, il suit ce point D (3, -2, -3) est de coupler avec les points A (1, 0, 0); B (0, 2, 0) et C (0, 0, 3).

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- Exercice 2

Déterminer si les points A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) et d (2, 3, 1) sont des coplanares.

Solution

Nous formons la matrice dont les rangs sont les coordonnées de D-A, B-A et C-A. Alors le déterminant est calculé et il est vérifié si zéro ou non.

Après avoir effectué tous les calculs, il est conclu qu'ils sont des coplanares.

- Exercice 3

Deux lignes sont données dans l'espace. L'un d'eux est la ligne (R) dont l'équation paramétrique est:

(R): x = 1 + 2 λ; y = 1 - λ; Z = 1

Et l'autre est la ou les lignes dont l'équation est:

(S): x + 2 y = 1; Z = -1

Démontrez que (r) et (s) ils sont du coplanarium droit, c'est-à-dire qu'ils sont dans le même plan.

Solution

Commençons arbitrairement deux points sur la ligne (R) et deux sur la ligne (s):

Droit (r): λ = 0; A (1, 1, 1) et λ = 1; B (3, 0, 1)

Faisons x = 0 Sur la ligne (s)=> y = ½; C (0, ½, -1). Et d'un autre côté, si nous faisons y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).

C'est-à-dire que nous avons pris des points A et B qui appartiennent à la ligne (R) et aux points C et D qui appartiennent à la (s) ligne (s). Si ces points sont des coplanares, alors les deux lignes seront également.

Maintenant, nous choisissons de pointer un pivot, puis nous trouvons les coordonnées des vecteurs UN B, CA et PUBLICITÉ. De cette façon, vous obtenez:

B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => UN B= (2, -1, 0)

C -A: (0-1, 1/2 -1, -1 -1) => CA= (-1, -1/2, -2)

D -a: (1-1, 0 -1, -1 -1) => PUBLICITÉ= (0, -1, -2)

L'étape suivante consiste à construire et à calculer le déterminant dont la première ligne est les coefficients vectoriels UN B, La deuxième rangée sont celles de CA et la troisième rangée celles du vecteur PUBLICITÉ:

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Alors que le déterminant se révèle nul, alors nous pouvons conclure que les quatre points sont des coplanarios. De plus, on peut dire que les lignes (R) et (S) sont également des coplanares.

- Exercice 4

Les lignes (R) et (S) sont des coplanares, comme démontré dans l'exercice 3. Trouver l'équation de l'avion qui les contient.

Solution

Les points A, B, C définissent complètement cet avion, mais nous voulons imposer que tout point x de coordonnées (x, y, z) appartient à la même.

X - a: (x -1, y -1, z - 1) => Hache= (X -1, y -1, z -1)

B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => UN B= (2, -1, 0)

C -A: (0-1, 1/2 -1, -1 -1) => CA= (-1, -1/2, -2)

De sorte que x appartient au plan défini par a, b, c et dans lequel les lignes (r) et (s) sont contenues, il est nécessaire que le déterminant formé dans sa première rangée soit annulé par les composants de Hache, dans le second par ceux de UN B Et dans le troisième par ceux de CA:

Après ce résultat, nous nous regroupons de cette manière:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

Et immédiatement, on voit qu'il peut être réécrit comme ceci:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

Par conséquent, x + 2y - z = 2 est l'équation du plan qui contient les lignes (r) et (s).

Les références

1. Fleming, w. 1989. Mathématiques préalables. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. 2006. Algèbre linéaire. Pearson Education.
3. Loyal, J. M. 2005. Géométrie analytique plate. Mérida - Venezuela: éditorial vénézuélien C. POUR.
4. Navarro, Rocio. Les vecteurs. Récupéré de: livres.Google.co.aller.
5. Pérez, C. D. 2006. Précalation. Pearson Education.
6. Prenowitz, w. 2012. Concepts de base de la géométrie. Rowman et Littlefield.
7. Sullivan, m. 1997. Précalation. Pearson Education.