Propriétés de l'égalité

Quelles sont les propriétés de l'égalité?

Le Propriétés de l'égalité Ils se réfèrent à la relation entre deux objets mathématiques, que ce soit des nombres ou des variables. Il est indiqué par le symbole "=", qui va toujours au milieu de ces deux objets. Cette expression est utilisée pour établir que deux objets mathématiques représentent le même objet; En un autre mot, que deux objets sont la même chose.

Il y a des cas dans lesquels il est trivial d'utiliser l'égalité. Par exemple, il est clair que 2 = 2. Cependant, en ce qui concerne les variables, il n'est plus trivial et a des utilisations spécifiques. Par exemple, si vous devez y = x et d'autre part x = 7, on peut conclure que y = 7 également.

L'exemple précédent est basé sur l'une des propriétés de l'égalité, comme on le verra sous peu. Ces propriétés sont indispensables pour résoudre les équations (égalités qui impliquent des variables), qui forment une partie très importante en mathématiques.

Quelles sont les propriétés de l'égalité?

1. Propriété réfléchissante

La propriété réflexive, dans le cas de l'égalité, établit que chaque nombre est égal à lui-même et s'exprime comme b = b pour tout nombre réel b.

Dans le cas particulier de l'égalité, cette propriété semble évidente, mais dans d'autres relations entre les nombres, ce n'est pas. En d'autres termes, aucune relation de nombre réel ne rencontre cette propriété. Par exemple, un tel cas de la relation "inférieure à" (<); ningún número es menor que sí mismo.

2. Propriété symétrique

La propriété symétrique pour l'égalité dit si a = b, alors b = a. Peu importe l'ordre utilisé dans les variables, cela sera conservé par la relation égale.

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Une certaine analogie de cette propriété peut être observée avec la propriété commutative dans le cas de la somme. Par exemple, en raison de cette propriété, il est équivalent à écrire y = 4 ou 4 = y.

3. Propriété transitive

La propriété transitive en égalité établit que si a = b et b = c, alors a = c. Par exemple, 2 + 7 = 9 et 9 = 6 + 3; Par conséquent, pour la propriété transitive, il y a 2 + 7 = 6 + 3.

Une application simple est la suivante: Supposons que Julian a 14 ans et que Mario a le même âge de Rose. Si Rosa a le même âge de Julian, quel âge a Mario?

Derrière ce scénario, la propriété transitive est utilisée deux fois. Mathématiquement, il est interprété comme ceci: laissez "un" l'âge de Mario ", B" l'âge de Rosa et "C" l'âge de Julian. On sait que b = c et ce que c = 14.

Pour la propriété transitive, vous devez b = 14; c'est-à-dire que Rosa a 14 ans. Comme a = b et b = 14, en utilisant à nouveau la propriété transitive, a = 14; C'est-à-dire que l'âge de Mario est également de 14 ans.

4. Propriété uniforme

La propriété uniforme est que, si les deux côtés d'une égalité sont ajoutés ou multipliés. Par exemple, si 2 = 2, alors 2 + 3 = 2 + 3, ce qui est clair, bien 5 = 5. Cette propriété est plus utile lorsqu'il s'agit de résoudre une équation.

Les déclarations suivantes peuvent être établies:

- Oui a-b = c-b, alors a = c.

- Si x-b = y, alors x = y + b.

- Oui (1 / a) z = b, puis z = a ×

- Oui (1 / c) a = (1 / c) b, alors a = b.

5. Annuler la propriété

La propriété d'annulation est un cas particulier de biens uniformes, en particulier compte tenu du cas de soustraction et de division (qui, en arrière-plan, correspond également à une somme et à une multiplication). Cette propriété traite séparément.

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Par exemple, si 7 + 2 = 9, alors 7 = 9-2. Ou si 2y = 6, alors y = 3 (divisé par deux des deux côtés).

De même, dans le cas précédent, les énoncés suivants peuvent être établis via la propriété d'annulation:

- Oui a + b = c + b, alors a = c.

- Si x + b = y, alors x = y-b.

- Si az = b, alors z = b / a.

- Si Ca = CB, alors a = b.

6. Propriété de remplacement

Si nous connaissons la valeur d'un objet mathématique, la propriété de remplacement établit que cette valeur peut être remplacée dans n'importe quelle équation ou expression. Par exemple, si b = 5 et a = bx, en remplaçant la valeur de "b" dans la deuxième égalité, vous devez = 5x.

Un autre exemple est le suivant: Si "m" divise "n" et aussi "n" divise "m", alors vous devez avoir m = n.

7. Propriété électrique en égalité

En plus de voir que si une opération est effectuée comme une somme, une multiplication, une soustraction ou une division dans les deux termes d'égalité, il est préservé, de la même manière que d'autres opérations qui ne modifient pas une égalité peuvent être appliquées.

La clé est de toujours le faire des deux côtés de l'égalité et de s'assurer précédemment que l'opération peut être effectuée. Tel est le cas de la potentialisation; c'est-à-dire que si les deux côtés d'une équation au même pouvoir sont augmentés, une égalité est toujours.

Par exemple, comme 3 = 3, puis 3²= 3² (9 = 9). En général, étant donné un numéro entier «n», si x = y, alors xⁿ= Yⁿ.

8. Propriété racine en égalité

Ceci est un cas particulier de potentialisation et s'applique lorsque la puissance est un nombre rationnel et non entier, comme ½, qui représente la racine carrée. Cette propriété établit que si la même racine est appliquée des deux côtés d'une égalité (chaque fois que possible), l'égalité est conservée.

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Contrairement au cas précédent, il faut prendre soin ici avec la parité de la racine à appliquer, car il est bien connu que la racine d'un nombre négatif n'est pas bien définie.

Dans le cas où le radical est même, il n'y a pas de problème. Par exemple, si x³= -8, même lorsqu'il s'agit d'une égalité, une racine carrée ne peut pas être appliquée des deux côtés, par exemple. Cependant, si une racine cubique peut être appliquée (ce qui est encore plus pratique si vous souhaitez connaître explicitement la valeur de x), obtenant ainsi x = -2.