Propriété distributive

Nous expliquons ce qu'est la propriété distributive, avec des exemples et des exercices résolus

Figure 1.- Propriété distributive de la multiplication concernant l'addition et la soustraction. Source: F. Zapata.

Qu'est-ce que la propriété distributive?

La propriété distributive de multiplication par rapport à la somme ou à la soustraction consiste à multiplier un facteur par la somme ou la soustraction de deux ou plusieurs quantités.

Ce sont trois quantités a, b et c, qui peuvent être des nombres réels, des quantités algébriques ou vectorielles, entre autres, et supposent qu'il est proposé de résoudre avec eux l'opération suivante:

A × (b + c)

Dans cette expression "a" est le facteur y (b + c) est la somme indiquée. Il existe deux façons de trouver la réponse de l'opération, la première consiste à obtenir la somme (b + c) et quoi que ce soit, elle est multipliée par «A».

Et l'inverse consiste à multiplier «A» pour chacun des termes B et C, puis à ajouter les résultats. Il n'est pas rare que la même opération soit effectuée de plusieurs manières. L'exemple suivant montre que les deux procédures sont équivalentes:

5 × (7 + 3) = 5 × 10 = 50

Ou bien:

5 × (7 + 3) = (5 × 7) + (5 × 3) = 35 + 15 = 50

Dans cette dernière procédure, les 5 se multiplient à 7 puis à 3, les résultats respectifs sont ajoutés pour obtenir la valeur finale.

La propriété distributive peut également être appliquée à la soustraction, par exemple:

8 × (12 - 5) = (8 × 12) - (8 × 5) = 96 - 40 = 56

Et dans les deux cas, peu importe la quantité de termes entre les parenthèses, car le facteur qui se multiplie est distribué à tous, comme dans cette autre opération:

5 × (3 - 7 + 10) = (5 × 3) - (5 × 7) + (5 × 10) = 15 - 35 + 50 = 30

Le facteur commun: l'inverse de la propriété distributive

Considérez l'opération suivante:

(7 × 2) + (7 × 6)

Dans chaque parenthèse, il y a un 7 qui se multiplie à un autre numéro. Eh bien, puisque 7 est répété entre les deux parenthèses et se multiplie, on l'appelle facteur commun, afin que l'opération puisse être écrite comme:

(7 × 2) + (7 × 6) = 7 × (2 + 6)

Cette opération est précisément l'inverse de la propriété distributive et peut être appliquée à toute quantité de termes qui ont un facteur commun, par exemple:

Peut vous servir: facteur commun pour le regroupement des termes: exemples, exercices

(6 × 8) + (6 × 11) + (6 × 4) - (6 × 9)

Le facteur commun est 6, car il est répété dans chacun des termes. Donc:

(6 × 8) + (6 × 11) + (6 × 4) - (6 × 9) = 6 × (8 + 11+ 4− 9)

Observations

Chaque fois que vous envisagez d'appliquer des biens distributifs, il est nécessaire d'observer la notation, en ce sens, il est important de souligner que:

• Cruz "×" Symboles et le point moyen-to-height "∙" sont utilisés indistinctement pour désigner la multiplication.
• Même si aucun de ces symboles n'est présent entre le facteur et la parenthèse qui contient les toxicomanes, il sera compris qu'il s'agit d'une multiplication. Par exemple, dans l'opération 5 (4 - 9), le 5 se multiplie à la fois à 4 et 9, de la même manière que dans les exemples précédents:

5 (4− 9) = 5 ∙ 4−5 ∙ 9 = 20 - 45 = −25

Dans cet exemple, le point à la hauteur moyenne a également été utilisé à la place de la croix.

Un autre fait important à considérer est la présentation des opérations, ce n'est pas le même 7 (5 + 1) que 7 + (5 × 1). Dans le premier cas, une propriété distributive est appliquée de la même manière que celle:

7 (5 + 1) = 7 ∙ 5 + 7 ∙ 1 = 35 + 7 = 42

D'un autre côté pour l'opération 7 + (5 × 1), procédez selon la hiérarchie des opérations, ce qui indique que les parenthèses doivent être éliminées en premier, de cette manière:

7 + (5 × 1) = 7 + 5 = 12

• La multiplication est commutative, il est donc accompli que:

a × (b + c) = (b + c) × a

Le facteur qui multiplie la somme peut être à gauche ou à droite de ceci et en tout cas le résultat est le même.

Exemples d'application

Exemple 1

La multiplication d'un grand nombre par un autre peut être effectuée, à travers une propriété distributive, si le grand nombre se décompose en centaines, dizaines et unités. Par exemple, il est demandé:

Peut vous servir: signes de regroupement

5 × 852

Le numéro 852 se décompose en plus:

852 = 800 + 50 + 2

Et l'opération demandée est écrite comme:

5 × 852 = 5 × (800 + 50 + 2)

Il vous suffit maintenant d'appliquer la propriété distributive et d'obtenir la somme résultante:

5 × (800 + 50 + 2) = 4000 + 250 + 10 = 4260

Exemple 2

La propriété distributive facilite le calcul des sommes de sommes, des produits des différences et des produits de sommes par les différences:

(A + b) × (c + d) = a ∙ c + a ∙ d + b ∙ c + b ∙ d

(A + b) × (c - d) = a ∙ c - a ∙ d + b ∙ c - b ∙ d

(A - b) × (c - d) = a ∙ c - a ∙ d - b ∙ c + b ∙ d

Par exemple, les opérations suivantes sont résolues comme indiqué:

(5 + 4) × (2 + 13) = 5 ∙ 2 + 5 ∙ 13 + 4 ∙ 2 + 4 ∙ 13 = 10 + 65 + 8 +52 = 135

[(8 + (−17)] × (6 - 21) = 8 ∙ 6 - 8 ∙ 21 + (- 17) ∙ 6 - (- 17) ∙ 21 = 48−168-102 + 357 = 135

(11 - 7) × (9 - 16) = 11 ∙ 9 - 11 ∙ 16 - 7 ∙ 9 + 7 ∙ 16 = 99 - 176 - 63 +112 = −28

Exemple 3

Le comptoir d'un fleuriste a quatre vases avec des fleurs et dans chacun d'eux, il y a 9 roses et 2 œillets. La propriété distributive peut être utilisée pour trouver le nombre total de fleurs dans les quatre vases, en multipliant simplement par 4 la somme (9 + 2):

Fleurs totales = 4 × (9 + 2) = 36 + 8 = 44 fleurs

Propriété distributive en algèbre

La propriété distributive et le facteur commun ont une large utilisation dans l'algèbre et le calcul, car ils permettent de manipuler facilement les expressions algébriques, selon la commodité.

Parfois, il est préférable de développer une expression avec une propriété distributive, tandis que dans d'autres, il peut être plus efficace d'avoir l'expression factorielle.

Par exemple, supposons que l'expression doit être développée:

2 (x + 1)

Contrairement à l'opération 5 × (7 + 3) = 5 × 10 = 50, les termes entre les parenthèses ne sont pas similaires, donc sa somme n'est pas réduite à un seul terme (à la place, 7 + 3 est immédiatement réduit à 10). Dans ce cas, une propriété distributive est appliquée pour obtenir:

Il peut vous servir: segment de ligne et semi-rovi

2 (x + 1) = 2 ∙ x + 2 ∙ 1 = 2x + 2

Utilisation de biens distributifs pour résoudre les équations

Certaines équations algébriques sont résolues en appliquant une propriété distributive, par exemple:

8 (x-2) = 14

Appliquer une propriété distributive pour développer le côté gauche de l'égalité que vous avez:

8x - 16 = 14

8x = 14 + 16 = 30

x = 30/8 = 15/4

Produits remarquables

La propriété distributive sert à démontrer des produits notables, qui sont beaucoup utilisés en algèbre. Par exemple, il peut être démontré que le produit de la somme de deux quantités multipliés par la différence de ces mêmes quantités est égal à la différence de leurs carrés respectifs.

La nomination de quantités telles que "A" et "B" et l'application de la propriété est:

(a + b) × (a - b) = a⋅a - a⋅b + a⋅b - b⋅b = a² - b²

Exercices résolus

Exercice 1

Un groupe de 8 amis se promène un après-midi pour visiter un musée et manger une collation. Le transport coûte 5 €, l'entrée 2 et le rafraîchissement de 3 € par personne. Calculez le coût de la marche pour l'ensemble du groupe.

• Solution

Chaque participant doit dépenser (5 + 2 + 3) € par personne, et comme 8, le total est calculé par l'opération suivante: _

8 × (5 + 2 + 3) € = (8 × 5 + 8 × 2 + 8 × 3) € = (40 + 16 + 24) € = 80 €

Exercice 2

Le stand d'un funiculaire peut transporter 30 passagers assis et 12 passagers extensibles. Calculez combien de passagers sont transportés après 9 voyages si chacun transporte le maximum de personnes autorisées.

• Solution

Le nombre total de personnes qui font un seul voyage est (30 + 12), tout comme 9 voyages:

9 × (30 + 12) = 9 × 30 + 9 × 12 = 270 + 108 = 378 personnes.

Les références

1. Baldor, un. 1985. Arithmétique théorique. Éditions et distributions Codex, Madrid.
2. Leçons mates. Exercices résolus de biens distributifs et obtenir un facteur commun. Récupéré de: Demates leçons.com.
3. Mathématiques gigantesques. Propriété distributive ou comment se multiplier en parties. Récupéré de: mammmathématiques.com.
4. Smarttick. Exemples de propriété distributive. Récupéré de: Smartick.est.
5. Vicen vives. Mathematics 4, Sujet: Multiplication. Récupéré de: howlew it.com