Calcul de probabilité classique, exemples, exercices résolus

La Probabilité classique Il s'agit d'un cas particulier du calcul de la probabilité d'un événement. Il est défini comme le quotient entre les événements favorables à cet événement et le total des événements possibles, avec la condition que chacun de ces événements est tout aussi probable. La probabilité classique est également connue comme une probabilité a priori ou une probabilité théorique.

Le désir d'anticiper les choses fait partie de la nature humaine à tout moment: nous nous demandons tous s'il pleuvra le lendemain ou si une certaine équipe de football jouera ou non dans la première division la saison prochaine. Il y a des preuves archéologiques que les gens ont joué au jeu environ 40.000 ans.

Définition du concept de probabilité classique

Cependant, le premier livre sur les probabilités est dû à l'astronome néerlandais Christian Huygens qui l'a appelé Raisonnement lié au jeu de dés. Comme nous le voyons, la probabilité classique a ses origines dans les jeux du hasard.

Le dés a une longue histoire, c'est une pièce cubique dont les visages sont numérotés avec des points de un à six. En lançant un seul dés honnête: quelle est la probabilité de sortir, disons, un cinq?

C'est très simple: il n'y a qu'un seul visage entre 6 marqué avec cinq points, donc la probabilité P est:

P = 1/6

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Calcul en probabilité classique

Cette façon de calculer la probabilité d'un événement est une application de la règle de Laplace, initialement indiquée en 1812 par le mathématicien français Pierre de Laplace (1749-1827).

La règle de Laplace est utilisée dans la probabilité classique de calculer la probabilité d'un événement. Source: F. Zapata.

Être un événement dont nous voulons connaître sa probabilité d'occurrence p (a), alors:

P (a) = nombre de cas favorable à l'événement a / nombre de cas possibles

Le résultat de cette opération est toujours un nombre positif entre 0 et 1. Si un événement a une probabilité de se produire, cela signifie que cela n'arrivera pas.

D'un autre côté, si la probabilité d'occurrence est égale à 1, cela signifie que cela se produira sous quelque forme que ce soit et en tout cas, la probabilité qu'un événement se produit, ajouté avec la probabilité que cela ne se produise pas, est égal à 1 :

Ici, nous avons indiqué la probabilité que l'événement A ne se produise pas à travers une barre sur les lettres.

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De toute évidence, dans un dés juridique, l'un des 6 visages a la même probabilité de partir, donc la probabilité d'obtenir un visage avec 5 doit être 1/6.

Un détail important est le suivant: Pour appliquer la règle de Laplace, le nombre de cas possibles doit être fini, c'est-à-dire que nous devons être en mesure de leur dire et d'obtenir un numéro naturel.

Dans l'exemple des dés, il y a 6 cas possibles et un seul événement favorable. L'ensemble des cas possibles est appelé espace d'échantillon.

Lors de l'application de la règle de Laplace, il est pratique d'analyser soigneusement l'espace d'échantillonnage, y compris tous.

L'espace d'échantillonnage et les événements

L'espace d'échantillon est généralement indiqué par la lettre S ou la lettre grecque ω (Capital Omega) et était un concept introduit par Galileo.

Un joueur de dés a demandé aux sages car il est plus difficile d'obtenir un 9 lancement de trois dés qu'un 10, puis Galileo a calculé les moyens possibles d'obtenir un 9. Enfin, il a calculé les probabilités respectives, constatant que, en effet, P (9) < P (10).

Échantillon d'espace avec peu d'éléments

Si l'espace d'échantillon se compose de peu d'éléments, ceux-ci sont répertoriés comme un ensemble. Par exemple, supposons que vous vouliez trouver la probabilité que dans une famille avec deux enfants, les deux soient du même sexe.

Nous pouvons appliquer une probabilité classique déterminant correctement l'espace d'échantillon. Si m = femme et h = homme, l'espace d'échantillonnage des enfants est:

S = (m, m), (h, h), (m, h), (h, m)

Chaque élément de l'espace d'échantillonnage est un événement, par exemple, l'événement (M, M) signifie que les deux enfants de cette famille sont des femmes.

Avoir l'espace d'échantillonnage, le calcul de la probabilité demandée est très simple, car il n'y a que 2 cas favorables entre 4, de sorte que les deux enfants sont du même sexe: (m, m) et (h, h), par conséquent:

P (les deux enfants du même sexe) = 2/4 = 0.5

Échantillon d'espace avec de nombreux éléments

Lorsque l'espace d'échantillon se compose de nombreux éléments, il est préférable de donner une règle générale pour la trouver. Par exemple, si t est la durée de vie utile d'une équipe, l'espace d'échantillonnage est:

S = t∕t ≥ 0

Qu'il se lit comme suit: "Toutes les valeurs de T telles que t est supérieure ou égale à 0". Un événement de cet espace pourrait être que l'appareil a une durée de vie utile de t = 2 ans.

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Exemples de probabilité classique

La probabilité classique est appliquée à condition que les deux prémisses indiquées ci-dessus soient remplies, c'est-à-dire:

-Tous les événements sont tout aussi probables.

-L'espace d'échantillon est fini.

Par conséquent, il existe des situations dans lesquelles la probabilité classique ne peut pas être appliquée, par exemple lorsque vous souhaitez anticiper si un nouveau traitement guérira une certaine maladie, ou la probabilité qu'une machine produit des articles défectueux.

D'un autre côté, il peut être appliqué avec succès dans les cas suivants:

Lancement

La probabilité classique découle de l'intérêt des gens pour le jeu. Source: Pixabay.

Comme nous l'avons vu, la probabilité qu'un certain visage sortira est égal à 1/6.

Prenez une lettre d'un pont

Nous avons un pont de 52 cartes d'un pont français, composé de quatre bâtons: coeurs, trèfles, diamants et picas. Ainsi, la probabilité d'extraire un cœur, sachant qu'il y a 13 cartes de chaque bâton est:

P (coeur) = 13/52

Lancement

Il s'agit d'un exemple typique de probabilité classique, car lors du lancement d'une devise, il existe toujours une probabilité égale à ½ d'obtention de visage ou de tampon.

Extraire les billes de couleur d'un sac 

À l'intérieur d'un sac, il peut y avoir des billes colorées, par exemple il y a des billes rouges, des billes bleues et des billes vertes V. La probabilité d'extraire un rouge est:

P (r) = r / n

Exercices résolus

- Exercice 1

Une fois qu'un dés honnête est lancé. Calculez les probabilités suivantes:

a) dessiner un nombre impair.

b) Laissez un 2 ou 5 sortir.

c) atteindre une valeur inférieure à 4.

d) obtenir une valeur inférieure ou égale à 4.

e) atteindre une valeur différente de 3

Solution à

L'espace d'échantillonnage est s = 1, 2, 3, 4, 5, 6, les valeurs impaises sont 1, 3 et 5, donc de 6 cas possibles, il y a trois cas favorables:

P (Odd) = 3/6 = 1/2 = 0.5

Solution B

Nous voulons extraire un 2 ou 5, c'est-à-dire que l'un de ces cas est donc favorable:

P (2 ou 5) = 2/6 = 1/3 = 0.33

Solution C

Dans ce cas, il y a 3 événements favorables: obtenez 1, 2 ou 3:

P (moins de 4) = 3/6 = ½ = 0.5

Solution d

Voici un événement favorable supplémentaire, car ils nous demandent les valeurs inférieures ou égales qui 4, alors:

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P (valeur inférieure ou égale à 4) = 4/6 = 2/3 = 0.67

Solution E

Un lancement différent de 3 signifie que toutes les autres valeurs sont sorties:

- Exercice 2

Dans une boîte, il y a un bleu, une boule verte, un rouge, un jaune et un noir. Quelle est la probabilité que, lorsque vous prenez une balle fermée avec vos yeux, c'est jaune?

Solution

L'événement «e» doit retirer une balle de la boîte avec les yeux fermés (si cela est fait avec les yeux ouverts, la probabilité est 1) et que c'est jaune.

Il n'y a qu'un seul cas favorable, car il n'y a qu'une seule balle jaune. Les cas possibles sont 5, car il y a 5 balles dans la boîte.

Par conséquent, la probabilité de l'événement «e» est égale à P (E) = 1/5.

Comme on peut le voir, si l'événement doit éliminer une balle bleue, verte, rouge ou noir, la probabilité sera également égale à 1/5. Par conséquent, c'est un exemple de probabilité classique.

Observation

S'il y avait eu 2 boules jaunes dans la boîte, P (E) = 2/6 = 1/3, tandis que la probabilité de retirer une boule bleue, verte, rouge ou noire aurait été égale à 1/6.

Comme tous les événements n'ont pas la même probabilité, ce n'est donc pas un exemple de probabilité classique.

- Exercice 3

Quelle est la probabilité qu'en lançant des dés, le résultat obtenu est égal à 5?

Solution

Un dés compte 6 faces, chacune avec un nombre différent (1,2,3,4,5,6). Par conséquent, il y a 6 cas possibles et un seul cas est favorable.

Ainsi, la probabilité que lors du lancement des dés soit obtenue 5 est égale à 1/6.

Encore une fois, la probabilité d'obtenir un autre résultat de dés est également égale à 1/6.

- Exercice 4

Dans une salle de classe, il y a 8 garçons et 8 filles. Si l'enseignant choisit au hasard une élève dans son salon, quelle est la probabilité que l'élève choisi est une fille?

Solution

L'événement "E" est de choisir un étudiant aléatoire. Au total, il y a 16 étudiants, mais comme vous voulez choisir une fille, il y a 8 cas favorables. Par conséquent p (e) = 8/16 = 1/2.

Également dans cet exemple, la probabilité de choisir un enfant est 8/16 = 1/2.

C'est-à-dire, il est si probable que l'élève choisi est une fille comme un garçon.

Les références

1. Août, un. Probabilité. Université de Porto Rico. Récupéré de: Docs.Uprb.Édu.
2. Galindo, E. 2011. Statistiques: méthodes et applications. Procède des éditeurs.
3. Jiménez, R. 2010. Mathématiques II. 2e. Édition. Prentice Hall.
4. Triola, m. 2012. Statistiques élémentaires. 11ème. Édition. Addison Wesley.
5. Mathématiques de Sangaku. Règle de Laplace. Récupéré de: Sangakoo.com.