Principe additif

Il principe additif Il s'agit d'une technique de comptage en probabilité qui permet de mesurer le nombre de façons d'une activité qui peut être effectuée qui, à son tour, a plusieurs alternatives à effectuer, dont une seule peut être choisie. Un exemple classique de cela est lorsque vous souhaitez choisir une ligne de transport pour aller d'un endroit à un autre.

Dans cet exemple, les alternatives correspondront à toutes les lignes de transport possibles qui couvrent l'itinéraire souhaité, qu'il soit aérien, mer ou terre. Nous ne pouvons pas aller dans un endroit en utilisant deux moyens de transport simultanément; Nous devons en choisir un seul.

Le principe additif nous indique que le nombre de façons dont nous devons faire ce voyage correspondra à la somme de chaque alternative (moyen de transport) possible pour aller à l'endroit souhaité, cela comprendra même les moyens de transport qui rendent échelle quelque part (ou lieux) intermédiaire.

De toute évidence, dans l'exemple précédent, nous choisirons toujours l'alternative la plus confortable et cela convient le mieux à nos possibilités, mais probablement il est très important de savoir combien de façons un événement peut avoir lieu.

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Probabilité

En général, la probabilité est le domaine des mathématiques qui est responsable de l'étude des événements aléatoires et des expériences.

Une expérience ou un phénomène aléatoire est une action qui ne donne pas toujours les mêmes résultats, même s'il est effectué avec les mêmes conditions initiales, sans rien modifier dans la procédure initiale.

Un exemple classique et simple pour comprendre en quoi consiste une expérience aléatoire est l'action de lancer une monnaie ou un dés. L'action sera toujours la même, mais nous n'obtiendrons pas toujours de "visage" ou un "six", par exemple.

La probabilité est responsable de fournir des techniques pour déterminer la fréquence à laquelle un événement aléatoire spécifique peut se produire; Entre autres intentions, la principale est de prédire les événements futurs possibles qui sont incertains.

Probabilité d'un événement

Plus particulièrement, la probabilité qu'un événement se produise est un nombre réel entre zéro et un; c'est-à-dire un nombre appartenant à l'intervalle [0,1]. Il est indiqué par P (A).

Si P (a) = 1, alors la probabilité que l'événement se produira est de 100%, et s'il est nul, il n'y a aucune possibilité de se produire. L'espace d'échantillon est l'ensemble de tous les résultats possibles qui peuvent être obtenus en effectuant une expérience aléatoire.

Il existe au moins quatre types ou concepts de probabilité, selon le cas: probabilité classique, probabilité fréquentiste, probabilité subjective et probabilité axiomatique. Chacun concentre différents cas.

La probabilité classique couvre le cas dans lequel l'espace d'échantillon a un nombre fini d'éléments.

Dans ce cas, la probabilité d'un événement A sera la quantité d'alternatives qui ont dû obtenir le résultat souhaité (c'est-à-dire le nombre d'éléments de l'ensemble A), divisé par le nombre d'éléments de l'espace d'échantillon.

Ici, il convient de considérer que tous les éléments de l'espace d'échantillonnage doivent être également probables (par exemple, comme une donnée qui n'est pas modifiée, dans laquelle la probabilité d'obtenir l'un des six nombres est le même).

Par exemple, quelle est la probabilité que lors du lancement d'un dés, un nombre impair sera obtenu? Dans ce cas, l'ensemble à former par tous les nombres impairs entre 1 et 6, et l'espace d'échantillon serait composé de tous les nombres de 1 à 6. Ensuite, il a 3 éléments et l'espace d'échantillonnage en a 6. Par conséquent, p (a) = 3/6 = 1/2.

Qu'est-ce que l'additif en principe?

Comme indiqué ci-dessus, la probabilité mesure la fréquence avec laquelle un certain événement se produit. Dans le cadre de la possibilité de déterminer cette fréquence, il est important de savoir combien de façons ce qui peut être effectué. Le principe additif nous permet de faire ce calcul dans un cas particulier.

Le principe additif établit ce qui suit: Si A est un événement qui a «un» en même temps, alors les façons d'être effectuées à ou b (a∪b) sont A + B.

En général, cela est établi pour l'union d'un nombre fini d'ensembles (supérieur ou égal à 2).

Exemples du principe additif

Premier exemple

Si une librairie vend des livres de littérature, de biologie, de médecine, d'architecture et de chimie, dont il a 15 types différents de livres de littérature, 25 de biologie, 12 de médecine, 8 d'architecture et 10 chimie, combien d'options une personne fait pour choisir Un livre d'architecture ou un livre de biologie?

Le principe additif nous dit que le nombre d'options ou de moyens de faire ce choix est 8 + 25 = 33.

Ce principe peut également être appliqué dans le cas où il s'agit d'un seul événement impliqué, qui à son tour a des alternatives différentes à effectuer.

Supposons que vous souhaitiez effectuer une activité ou un événement A, et qu'il existe plusieurs alternatives pour cela, disons n.

À son tour, la première alternative a₁ façons à effectuer, la deuxième alternative a₂ des moyens d'être effectués, et ainsi de suite, le numéro alternatif n peut être fait à partir d'un_n façons.

Le principe additif établit que l'événement a peut être tenu₁+ pour₂+… + A_n façons.

Deuxième exemple

Supposons qu'une personne veut acheter quelques chaussures. Quand il arrive au magasin de chaussures, il ne trouve que deux modèles différents de sa taille de chaussures.

Il y a deux couleurs disponibles et les cinq autres couleurs disponibles. De combien de façons cette personne doit-elle faire cet achat? Par le principe additif, la réponse est 2 + 5 = 7.

Le principe additif doit être utilisé lorsque vous souhaitez calculer la façon d'effectuer un événement ou un autre, pas les deux simultanément.

Pour calculer les différentes façons de réaliser un événement ensemble («y») avec un autre - c'est-à-dire que les deux événements doivent se produire simultanément - le principe multiplicatif est utilisé.

Le principe additif peut également être interprété en termes de probabilité comme suit: la probabilité d'un événement A ou d'un événement B, qui est désigné par P (a∪b), sachant qu'il ne peut pas se produire simultanément à B, il est donné par P (A∪b) = p (a) + p (b).

Troisième exemple

Quelle est la probabilité d'obtenir un 5 lors du lancement d'un dés ou d'un visage lors du lancement d'une devise?

Comme on le voit ci-dessus, en général, la probabilité d'obtenir un certain nombre lors du lancement d'un dés est 1/6.

En particulier, la probabilité d'obtenir un 5 est également 1/6. De même, la probabilité d'obtenir un visage lors du lancement d'une devise est de 1/2. Par conséquent, la réponse à la question précédente est p (a∪b) = 1/6 + 1/2 = 2/3.

Les références

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2. Cifuentes, J. F. (2002). Introduction à la théorie des probabilités. National de Colombie.
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6. Lutfiyya, l. POUR. (2012). Solveur de problèmes mathématiques finis et discrets. Éditeurs de la Research & Education Association.
7. Padró, f. C. (2001). Mathématiques discrètes. Politique. de la Catalogne.
8. Steiner, E. (2005). Mathématiques pour les sciences appliquées. Reverre.