En attente de formule de ligne et d'équations, représentation, exemples

La ligne en attente C'est la tangente de l'angle θ que cette ligne se forme avec l'axe horizontal, qui, par convention, est mesurée dans la direction opposée aux mains de l'horloge. La pente de toute ligne est toujours constante et c'est pourquoi c'est l'une de ses caractéristiques les plus essentielles.

Pour le calculer, vous devez connaître deux points de la ligne, dont les coordonnées sont (x x₁,et₁) et (x₂,et₂). Entre les deux points, un segment est dessiné qui appartient à la ligne puis les segments qui représentent la distance entre x sont dessinés₁ et x₂, et entre et₁ et et₂, Comme dans la figure inférieure.

Figure 1. La pente d'une ligne est la tangente de l'angle θ. Source: Wikimedia Commons.

Les trois segments constituent un triangle droit dont les jambes sont: Δx = x₂ - X₁  et Δy = et₂ - et₁. Ils correspondent respectivement à un déplacement horizontal et à une autre verticale.

Maintenant, un quotient est défini, appelé tangent de l'angle θ et abrégé tg θ, qui est précisément la pente m de la ligne:

m = tg θ = Δy / Δx

Notez que pour une ligne, cet angle reste constant, quels que soient les points pris pour calculer sa tangente. Dans tous les cas, cette valeur nous offre une mesure de son incliné la ligne.

À travers les coordonnées des points sélectionnés, la formule de pente reste:

M = (y - y₁ ) / (X₂ - X₁)

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Représentation graphique

Ci-dessous, nous avons plusieurs situations dans lesquelles le concept de pente est pertinent. Sa valeur peut facilement être calculée en mesurant le déplacement vertical et horizontal respectif, puis en faisant le quotient indiqué au début.

Cela nous donne une idée de la pente ou du déclin d'une structure, comme une rampe, un toit ou une route:

Peut vous servir: échantillonnage aléatoire: méthodologie, avantages, inconvénients, exemples Figure 2. De gauche à droite la pente d'une rampe, un toit et la pente d'une route, ce dernier exprimé en pourcentage. Source: Stewart, J. Préáculculo et Wikimedia Commons (image droite).

La pente de la rampe illustrée à la figure 2 à gauche est M = 1/12, le toit est M = 1/3 et la route est exprimée en pourcentage. Un pourcentage de 10% signifie que pour les 100 mètres qui progressent horizontalement, ils gagnent 10 mètres de haut:

figure 3. Un véhicule monte à travers une pente dont la pente est de 10%. Source: F. Zapata.

Dans ce cas, la pente est 10/100 = 0.1, qui exprimé en pourcentage est égal à 10%.

Types de pente

La pente d'une ligne peut être positive, négative ou nul. Par exemple, la ligne illustrée à la figure 1 a une pente positive. Nous l'apprécions immédiatement parce que nous voyons que la ligne est "levée" si nous la voyons de gauche à droite.

Si la ligne descend de la voir de gauche à droite, alors sa pente est négative. Et quand une ligne est horizontale, sa pente est nul.

Enfin, pour les lignes verticales, la pente n'est pas définie.

La représentation graphique de chaque type se trouve ci-dessous:

Figure 4. Les lignes selon votre pente. Source: F. Zapata.

Comment la pente est-elle calculée une ligne?

Le calcul de la pente est très simple, il vous suffit de trouver un déplacement vertical et un déplacement horizontal, puis de faire le quotient entre les deux.

Lorsque vous avez le dessin de la ligne dans le plan cartésien, ces déplacements choisissent deux points de la ligne P₁ Et P₂, déterminer leurs coordonnées et appliquer la définition donnée au début:

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M = (y - y₁ ) / (X₂ - X₁ )

Puisque la valeur de la pente est indépendante du choix de P₁ Et P₂ , Nous allons choisir un point P de coordonnées (x, y) qui appartient à la ligne, dont les coordonnées ne sont pas connues, et un autre point P₁ dont les coordonnées sont: (x₁,et₁).

La pente est:

M = (y - y₁) / (x - x₁)

Nous pouvons effacer le et:

et et₁ = m (x - x₁)

Supposons maintenant le point P₁ C'est l'intersection de la ligne avec l'axe vertical, de coordonnées (0, b). Remplacer cela dans l'équation précédente:

et - b = m (x - 0) → y = mx + b

Cette expression est connue comme l'équation de la ligne sous la forme En attente - intersection, Puisque la ligne est déterminée sans équivoque lorsque sa pente et son intersection avec l'axe vertical sont connues.

Connaître uniquement la pente ne suffit pas pour caractériser une ligne sur l'avion, car Infinite Straight pourrait avoir la même pente, ce qui signifie qu'ils sont parallèles, mais passez par d'autres points.

Exercices résolus

- Exercice 1

Trouvez la pente de la ligne indiquée dans la figure suivante:

Figure 5. À travers le graphique d'une ligne, deux points sont choisis pour calculer sa pente. Source: F. Zapata.

Solution

P₁ Et P₂ Ce sont deux points faciles à lire qui serviront au calcul, note également qu'ils sont les intersections respectives avec les axes de coordonnées.

Les coordonnées de chaque point sont:

P₁ (4.0) et p₂ (0,4)

En remplaçant l'équation de la pente:

m = (4 - 0) / (0 - 4) = 4 / (- 4) = -1

La pente est négative, ce qui était attendu après avoir observé les graphiques.

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- Exercice 2

Trouvez l'équation de la ligne qui passe par le point (1, -6) et est parallèle à la ligne y = 2x - 3.

Solution

La pente de la ligne recherchée doit être la même que celle de y = 2x - 3, car ils sont parallèles. Pour cette ligne, la pente est m = 2, donc celle que nous recherchons a la forme:

et et₁ = 2 (x - x₁)

Maintenant, nous remplaçons le point par lequel passe notre ligne: x₁ = 1 et₁ = -6.

et - (-6) = 2 (x - 1)

Donc y = 2x - 2 - 6 → y = 2x - 8

Exemples

Deux quantités peuvent être liées de telle manière que votre graphique est une ligne droite. Dans ce cas, il est dit que les montants ont une dépendance linéaire et la pente de la ligne peut être interprétée comme la raison du changement d'une variable à l'autre.

Exemple 1

Supposons qu'une piscine est remplie d'eau à un taux constant dans le temps. Naturellement, plus le temps passe, plus il est stocké d'eau. Eh bien, le taux auquel la piscine est remplie est précisément la pente de la ligne qui relie le volume au temps:

Figure 6. La pente comme raison du changement. Source: Stewart, J./ Pxfuel.

Dans cet exemple, la piscine est remplie à un rythme de 6/3 gallons par minute ou 2 gallons / minute.

Exemple 2

Lorsqu'un mobile se déplace en ligne droite à vitesse constante, la pente du graphique de position dépend du temps n'est autre que ladite vitesse. Le graphique montre un mobile avec une vitesse positive, ce qui signifie qu'il s'éloigne de l'origine.

Figure 7. La pente du graphique Versus Time est la vitesse du mobile dans un mouvement rectiligne uniforme. Source: Wikimedia Commons / Pixabay.

Les références

1. Alvarez, J. La pente d'une route. Récupéré de: Geogebra.est.
2. Carena, m. 2019. Manuel des mathématiques de préunité. Université nationale de la côte.
3. Hoffman, J. Sélection de problèmes de mathématiques. Volume 4.
4. Jiménez, R. 2008. Algèbre. Prentice Hall.
5. Stewart, J. 2006. Précaulement: mathématiques pour le calcul. 5e. Édition. Cengage Learning.
6. Zill, D. 1984. Algèbre et trigonométrie. McGraw Hill.