Concept de vagues linéaires, caractéristiques, exemples

Le Vagues linéaires Ce sont ceux dans lesquels le principe de superposition est applicable, c'est-à-dire ceux dans lesquels la forme d'onde et son évolution de l'espace-temps peuvent être obtenues comme la somme des solutions de base, par exemple de type harmonique. Toutes les vagues ne répondent pas au principe de superposition, qui ne respecte pas, il est appelé des vagues non linéaires.

La dénomination "linéaire" vient du fait que les ondes linéaires satisfont toujours une équation différentielle dans les dérivés partiels, dans lesquels tous les termes impliquant la variable dépendante ou ses dérivés sont élevés au premier pouvoir.

Les vagues qui sont visibles au loin sont des ondes linéaires, mais les vagues effrayées du premier plan sont non linéaires. Source: Pixabay.

D'un autre côté, les vagues non linéaires satisfont aux équations d'ondes qui ont des degrés quadratiques ou plus élevés dans la variable dépendante ou dans leurs dérivés.

Parfois, il est confus aux ondes linéaires avec des ondes longitudinales, qui sont celles dans lesquelles la vibration se produit dans le même sens de propagation, comme les ondes sonores.

Mais les ondes longitudinales, ainsi que transversale, peuvent à leur tour être linéaires ou non linéaires selon, entre autres facteurs, l'amplitude de la perturbation initiale et l'environnement dans lequel ils se propagent.

Il se produit généralement que lorsque la perturbation initiale est de petite amplitude, l'équation qui décrit la propagation de l'onde est de type linéaire ou peut être linéaire par certaines approches, bien qu'il ne l'est pas toujours.

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Équation différentielle en ondes linéaires

Dans un milieu linéaire, une forme d'onde limitée dans l'espace et le temps peut être représentée par la somme des fonctions des sinus ou des ondes cosinus de différentes fréquences et longueurs d'onde via des séries de Fourier. 

Les ondes linéaires ont toujours une équation différentielle du type linéaire associé, dont la solution représente la prédiction de ce qui sera la perturbation dans les moments postérieurs d'une perturbation initiale située spatialement à l'instant initial initial.

L'équation d'onde linéaire classique, en une seule dimension spatiale, dont les solutions sont des ondes linéaires est:

Dans l'équation précédente ou représente la perturbation d'une certaine quantité physique dans la position X Et pour le moment t, c'est-à-dire ou C'est une fonction de X et t:

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u = u (x, t)

Par exemple, si c'est une onde sonore dans l'air, ou Il peut représenter la variation de la pression par rapport à sa valeur sans déranger.

Dans le cas d'une onde électromagnétique, ou représente le champ électrique ou le champ magnétique oscillant perpendiculairement à la direction de propagation.

Dans le cas d'une corde tendue, ou représente le déplacement croisé par rapport à l'équilibre de l'équilibre de la corde, comme indiqué dans la figure suivante:

Forme d'onde dans un instant donné, dans le cas des ondes linéaires, cette forme est le chevauchement des ondes sinusoïdales de différentes fréquences et longueurs d'onde. Source: F. Zapata.

Solutions d'équations différentielles

Si vous avez deux solutions ou plus de l'équation différentielle linéaire, alors chaque solution multipliée par une constante sera une solution et sera également la somme d'entre elles. 

Contrairement aux équations non linéaires, les équations en ondes en ondes admettent des solutions harmoniques du type: 

ou₁= A⋅sen (k⋅x - ω⋅t) et ou₂= A⋅sen (k⋅x + ω⋅t) 

Cela peut être vérifié par une simple substitution dans l'équation d'onde linéaire.

La première solution représente une vague progressive qui avance vers la droite, tandis que la seconde à gauche rapidement C = ω / k.

Les solutions harmoniques sont caractéristiques des équations d'ondes linéaires.

D'un autre côté, la combinaison linéaire de deux solutions harmoniques est également une solution à l'équation d'onde linéaire, par exemple:

u = a₁ cos (k₁⋅x - Ω₁⋅t) + A₂ couler₂⋅x - Ω₂⋅t) est une solution.

La caractéristique la plus pertinente des ondes linéaires est que toute forme d'onde, aussi complexe, peut être obtenue par une somme d'ondes harmoniques simples dans le sein et le cosinus:

u (x, t) = a₀ + ∑_n POUR_n cos (k_n⋅x - Ω_n⋅t) + ∑_m B_m couler_m⋅x - Ω_m⋅t).

Vagues linéaires dispersives et non dispersives

Dans l'équation des ondes linéaires classiques, c représente la vitesse de propagation de l'impulsion.

Vagues non dispersives

Dans les cas où c C'est une valeur constante, par exemple les ondes électromagnétiques dans le vide, puis une impulsion au moment initial t = 0 Forme f (x) Il se propage selon:

u (x, t) = f (x - c⋅t)

Sans souffrir de distorsion. Lorsque cela se produit, on dit que le support n'est pas conçu.

Vagues dispersives

Cependant, dans les milieux dispersifs, la vitesse de propagation C peut dépendre de la longueur d'onde λ, c'est-à-dire: c = c (λ).

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Les ondes électromagnétiques sont dispersives lorsqu'ils voyagent à travers un milieu matériel. Aussi les ondes de surface de l'eau se déplacent à une vitesse différente selon la profondeur de l'eau.

La vitesse à laquelle une onde harmonique se propage A⋅sen (k⋅x - ω⋅t) est Ω / k = c Et la vitesse de phase est appelée. Si le médium est dispersif, alors c C'est une fonction de nombre d'onde k: C = c (k), où k Il est lié à la longueur d'onde au moyen de K = 2π / λ.

Relations de dispersion

La relation entre la fréquence et la longueur d'onde est appelée ratio de dispersion, qui s'est exprimé en termes de fréquence angulaire Ω Et le numéro d'onde k est: Ω = c (k) ⋅K.

Certaines caractéristiques des relations de dispersion des ondes linéaires sont les suivantes:

Dans les ondes dans lesquelles la longueur d'onde (distance entre les crêtes) est beaucoup plus grande que la profondeur H, Mais que sa largeur est bien inférieure à la profondeur que la relation de dispersion est:

Ω = √ (gh) ⋅K

De là, il est conclu qu'ils se propagent à vitesse constante √ (gh) (moitié non dispersive).

Mais les vagues dans des eaux très profondes sont dispersives, car leur ratio de dispersion est:

ω = √ (g / k) ⋅K

Cela signifie cette vitesse de phase Ω / k Il est variable et dépend du nombre d'onde et donc de la longueur d'onde de l'onde.

Vitesse de groupe

Si deux ondes linéaires harmoniques se chevauchent mais avancent à différentes vitesses, alors la vitesse de groupe (c'est-à-dire du package d'ondes) ne correspond pas à la vitesse de phase.

Vitesse de groupe V_g Il est défini comme la dérivée de fréquence par rapport au nombre d'ondes dans le rapport de dispersion: V_g = Ω '(k).

La figure suivante montre le chevauchement ou la somme de deux ondes harmoniques ou₁= A⋅sen (k₁⋅x - Ω₁⋅t) et ou₂= A⋅sen (k₂⋅x - Ω₂⋅t) qui voyagent à différentes vitesses V₁= Ω₁/ k₁ et V₂= Ω₂/ k₂. Notez comment la vitesse de groupe est différente de la vitesse de phase, dans ce cas, la vitesse de groupe est ∆ω / ∆k.

Il peut vous servir: propriétés magnétiques des matériauxOnde linéaire (bleue) dans un milieu dispersif. La courbe rouge a été ajoutée pour souligner que la vitesse de groupe est différente de la vitesse de propagation

Selon le rapport de dispersion, la vitesse de phase et la vitesse de groupe, dans les directions opposées, peuvent même avoir les directions opposées.

Exemples d'ondes linéaires

Ondes électromagnétiques

ondes électromagnétiques qui composent le rayonnement électromagnétique

Les ondes électromagnétiques sont des ondes linéaires. Son équation d'onde est déduite des équations de l'électromagnétisme (équations Maxwell) qui sont également linéaires.

L'équation de Schrödinger

C'est l'équation qui décrit la dynamique des particules à l'échelle atomique, où les caractéristiques ondulées sont pertinentes, par exemple le cas des électrons dans l'atome.

Ensuite, la fonction "onde électronique" ou onde comme on l'appelle également, est une onde linéaire.

Vagues en eau profonde

Les ondes linéaires sont également celles dans lesquelles l'amplitude est bien inférieure à la longueur d'onde et à la longueur d'onde beaucoup plus grande que la profondeur. Les vagues en eau profonde suivent la théorie linéaire (connue sous le nom de théorie ondulante d'Airy).

Cependant, l'onde qui s'approche du rivage et forme la crête caractéristique qui est roulée (et que les surfeurs aiment) est une vague non linéaire.

Sonner

Comme le son est une petite perturbation de la pression atmosphérique, il est considéré comme une onde linéaire. Cependant, l'onde de choc d'une explosion ou d'un front d'onde d'un plan supersonique, sont des exemples d'ondes non linéaires typiques.

Vagues sur une corde tendue

Les ondes qui se propagent à travers une corde tendue sont linéaires, à condition que la pulsation initiale soit petite, c'est-à-dire que la limite élastique de la corde n'est pas dépassée.

Les ondes linéaires sur les cordes se reflètent à leurs extrémités et se chevauchent, donnant naissance à des vagues stationnaires ou à des modes vibratoires qui donnent aux tons harmoniques et subarmoniques caractéristiques des instruments à cordes.

Les références

1. Griffiths G et Schiesser W. Ondes linéaires et non linéaires. Récupéré de: Sholarpedia.org.
2. Whitham g.B. (1999) "Waves linéaires et non linéaires". Wiley. 
3. Wikipédia. Vagues non linéaires. Récupéré de: est.Wikipédia.com
4. Wikipédia. Acoustique non linéaire. Récupéré de: dans.Wikipédia.com
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6. Wikiwaves. Vagues non linéaires. Récupéré de: wikiwaves.org